新人教版2020年中考数学二轮复习专题练习下几何问题翻折问题

翻折问题1.在VABC中，AB＝AC，BAC＜60，D为BC延长线上一点，E为ACD内部一点，且ABE＋ECD＝90．（1）若ABE＝60，如图1，直接写出AC、BE间的数量关系：___________；2）若ABE＝45，如图2，求证：BE＝2AC；3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA沿BE翻折，翻折后的点A落在点M处，且MCBC，连接EM，交BC的延长线于N，若CN＝2，求AN的长．剖析：（1）AC＝BE提示：作AFBC于F，BGCE交EC延长线于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC21ABE＋ECD＝90，ABE＝60ECD＝30，BCG＝301∴CBG＝60，BG＝BC2∴ABF＝EBG，BF＝BG∴RtVABF≌RtVEBG，∴AB＝BE∴AC＝BE（2）作AFBC于F，BGCE交EC延长线于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC2ABE＋ECD＝90，ABE＝45ECD＝45，BCG＝452CBG＝45，BG＝2BC＝2BF2ABF＝EBG，RtVABF∽RtVEBGBEBG2，∴ABBDBE＝2ABBE＝2AC（3）作AFBC于F，MHBE于H则ABF＋BAF＝90，BF＝FC＝BC12由题意，MBE＝ABE＝45，AB＝BMABM＝90，ABF＋MBC＝90BAF＝MBC∵MCBC，∴BCM＝AFB＝903VABF≌VBMC，AF＝BC＝2BF，BF＝MCBC＝2MC由（2）知，BE＝2AB，BE＝2BMMBH＝45，∴BMH＝45，BH＝MH＝2BM＝1BE22BH＝EH＝MH，MEH＝EMH＝45BME＝90，RtVBMC∽RtVMNCMC＝2CN＝4，FC＝4，FN＝6，AF＝8∴AN＝FN2AF26282102.如图，在RtVABC中，C90，翻折C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为、F分别在边AC、BC上）EF（点E1）若VCEF与VABC相似．①当ACBC2时，求AD的长；②当AC3，BC4时，求AD的长；（2）当点D是AB的中点时，VCEF与VABC相似吗？请说明原由．4剖析：（1）若VCEF与VABC相似．①当ACBC2时，VABC为等腰直角三角形，如答图1所示．此时D为AB边中点，AD2AC2．2②当AC3，BC4时，有两种情况：（I）若CE：CF3：4，如答图2所示．：：∵CECFACBC，EF∥BC．由折叠性质可知，CDEF，∴CDAB，即此时CD为AB边上的高．在RtVABC中，AC3，BC4，5∴AB5，3AC．∴cosAAB53ADACcosA31.8；（II）若CF：CE34所示．：，如答图3VCEF∽VCAB，CEFB．由折叠性质可知，CEFECD90，又∵AB90，∴AECD，ADCD．同理可得：BFCD，CDBD，1AB1∴此时AD52.5．22综上所述，当AC，3BC4时，AD的长为1.8或2.5．2）当点D是AB的中点时，VCEF与VABC相似．原由以下：如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．6CD是RtVABC的中线，∴CDDBAB，DCBB．由折叠性质可知，CQFDQF90，∴DCBCFE90，BA90，CFEA，又∵CC，VCEF∽VCBA．ABa，点G，H分别在边AB，DC上，且HA＝HG．点3.在矩形ABCD中，ADE为AB边上的一个动点，连接HE，把VAHE沿直线HE翻折获取VFHE．1）如图1，当DH＝DA时，①填空：HGA＝___________度；②若EF∥HG，求AHE的度数，并求此时a的最小值；（2）如图3，AEH＝60，EG＝2BG，连接FG，交边DC于点P，且FGAB，G为垂足，求a的值．7剖析：（1）①45②分两种情况：第一种情况（如图1）HAG＝HGA＝45，AHG＝180－45－45＝90由折叠可知：HAE＝F＝45，AHE＝FHE又∵EF∥HG，FHG＝F＝45AHF＝AHG－FHG＝90－45＝45即AHE＋FHE＝45，8AHE＝22.5此时，当B与G重合时，a的值最小，最小值是2第二种情况（如图2）EF∥HG，HGA＝FEA＝45即AEH＋FEH＝45由折叠可知：AEH＝FEH，AEH＝FEH＝22.5EF∥HG，GHE＝FEH＝22.5AHE＝90＋22.5＝112.5此时，当B与E重合时，a的值最小设DH＝DA＝x，则AH＝GH＝2x在RtVAHG中，AHG＝90，AG＝2AH＝2x∵AEH＝FEH，GHE＝FEH，9AEH＝GHEGH＝GE＝2x，AB＝AE＝2x＋2xAB2x2xa22ADx（2）过点H作HQ交AB于Q，则AQH＝GQH＝90在矩形ABCD中，D＝DAQ＝90D＝DAQ＝AQH＝90∴四边形DAQH为矩形，AD＝HQ设AD＝x，GB＝y，则HQ＝x，EG＝2y由折叠可知：AEH＝FEH＝60FEG＝180－60－60＝6010在RtVEFG中，EG＝EF·cos60，EF＝4y在RtVHQE中，EQ＝HO3xtan603QG＝QE＋EG＝3x2y3∵HA＝HG，HQAB，AQ＝GQ＝3x2y3＝AQ＋QE23x2y∴AE3＝由折叠可知：AE＝EF∴23x2y4y，3y＝3x3∴AB＝2AQ＋GB＝23x2yy73x33∴a＝AB7AD3.34.如图，VABC为等边三角形，D为VABC内一点，且ADB＝120，把VADB沿BD翻折，点A落在点E处，连接CE．（1）求证：BD＋CE＝AD；11（2）连接CD，若AD＝8，CD＝7，求CE的长．剖析：（1）将VABD绕点A逆时针旋转60得VACF，连接DF、CF、EF则VADF是等边三角形，AD＝DF，ADF＝AFD＝60ADB＝120，∴ADB＋ADF＝180∴B、D、F三点在同素来线上AFC＝ADB＝120，∴DFC＝60由题意，EDF＝ADF＝60，DE＝ADDE＝DF，VDEF是等边三角形EF＝DE＝AD，DFE＝6012E、C、F三点在同素来线上BD＋CE＝CF＋CE＝EF＝AD（2）过C作CGDE于G∵VDEF是等边三角形，∴DEF＝60＝131x，DG＝8－x设CEx，则GE＝x，CG＝2221223在RtVCDG中，8xx7222解得x＝3，x＝512CE的长为3或5已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使极点B落在CD边上的P点处．1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①求证：VOCP∽VPDA；②若VOCP与VPDA的面积比为1:4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作MEBP于点E．试问当点M、N在搬动过程中，线段EF的长度可否发生变化？若变化，说明原由；若不变，求出线段EF的长度．13剖析：（1）①∵四边形ABCD是矩形，∴C＝D＝90APD＋DAP＝90VAOP是由VABO沿AO折叠，∴APO＝B＝90APD＋CPO＝90DAP＝CPO，∴VOCP∽VPDA②∵VOCP∽VPDA，VOCP与VPDA的面积比为1:4CP21∴SPDAAD4△OCP，△CP1AD2AD＝8，∴CP＝4设AB＝x，则DP＝x－4在RtVPDA中，AP2＝AD2＋DP214x2＝82＋(x－4)2，∴x＝10即边AB的长为10（2）∵折叠后VAOB与VAOP重合，AP＝AB，OAB＝OAPAB＝CD，∴AP＝CDP是CD的中点，DP＝1AP2D＝90，∴PAD＝30又OAB＝OAP，∴OAB＝303）线段EF的长度不变作MH∥BN交PB于点HAP＝AB，APB＝ABPMHP＝ABP，MHF＝NBFMHP＝APB，15MP＝MHMP＝BN，∴BN＝MHNFB＝MFH，∴VNBF≌VMHFFH＝FBEF＝EH＋FH，EF＝EP＋FB＝1PB2由（1）得：AB＝10，AD＝8，DP＝6PC＝4，PB＝45，EF＝25如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AEC＝2ABE．连接BF、AC．（1）求证：四边形ABFC是矩形；（2）在图1中，若点M是BF上一点，沿AM折叠VABM，使点B恰好落在线段DF上的点B处（如图2），AB＝13，AC＝12，求MF的长．16剖析：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥DFABE＝FCE，BAE＝CFE∵E是BC的中点，∴BE＝CEVAEB≌VFEC，∴AB＝FC∴四边形ABFC是平行四边形AF＝2AE，BC＝2BEAEC＝2ABE，AEC＝ABE＋BAEABE＝BAE，AE＝BE，AF＝BC∴四边形ABFC是矩形2）∵四边形ABFC是矩形，AB＝13，AC＝1217CF＝AB＝13，BF＝AC＝12，ACF＝MFB＝90VABM是由VABM折叠获取的∴AB＝AB＝13，BM＝BM在RtVABC中，BC＝AB2AC21321225BF＝CF－BC＝13－5＝8设MF＝x，则BM＝BM＝12－x在RtVBMF中，BF2＋MF2＝BM2即82＋x2＝(12－x)2，解得x＝103MF＝10.37.在直角梯形ABCD中，AD∥BC，B＝90，C＝60，AD＝CD点，E在射线BC上，将VABE沿AE翻折，点B落到点F处，射线EF与射线CD交于点M．（1）如图1，当点M在CD边上时，求证：FM－DM＝3AB.3（2）如图2，当点E在BC边的延长线上时，线段FM、DM、AB的数量关系是：_______________；（3）在（2）的条件下，过A点作AGCM，垂足为点G，设直线BG与直线AM交于点N，若AD＝6，FM＝1，求GN的长．18剖析：（1）过A作AGCD，交CD的延长线于G，连接AM、ACAD∥BC，ACB＝DACAD＝CD，ACD＝DACACB＝ACD，AB＝AGAB＝AF，∴AF＝AG又AM＝AM，AFM＝G＝90VAMF≌VAMG，19FM＝GMFM－DM＝DGADG＝BCD＝60，∴DG＝3AG3AB33∴FM－DM＝3AB3（2）DMFM3AB3提示：过A作AGCM于G，连接AM、AC同（1）可证：AB＝AG＝AF，FM＝GM∵DM－GM＝DG，DG＝3AG3AB333∴DMFMAB3（3）连接AC，作MHBC于H，DKBC于K20AD＝6，FM＝，BCD＝60∵1CD＝6，KC＝3，AB＝DK＝33，BC＝9∵DMFM3AB，3∴DM＝333143CM＝10，HC＝5，MH＝53，BH＝4设BE＝x，则FE＝x，ME＝x1，HE＝x4MH2＋HE2＝ME2，(53)2＋(x－4)2＝(x－1)2解得x＝15，BE＝15，CE＝6BCG＝60，∴ECG＝120ACB＝ACD＝30，BAG＝120VAMF≌VAMG，21MAF＝MAG∴MAE＝GAC－EAC＋MAG＝1BAFEAC2BAE－EAC＝BAC＝60又GAC＝60，GAN＝CAEAB＝AG，BAG＝120，∴ABG＝30AGN＝150＝ACE，VAGN∽VACEAG＝1AC，2GN＝1CE＝328.如图1，等腰直角三角板的一个锐角极点与正方形ABCD的极点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC、DC于点E、F，连接EF．（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；（2）在图1中，过点A作AMEF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；．．（3）如图2，将RtVABC沿斜边AC翻折获取RtVADC，E、F分别是BC、CD边上的点，EAF＝1BAD，连接EF，过点A作AMEF于点M．试猜想AM2与AB之间的数量关系，并证明你的猜想．22答案：见解析剖析：（1）猜想：BE＋DF＝EF证明：延长CB到G，使BG＝DF，连接AG∵四边形ABCD是正方形AB＝AD，ABC＝D＝90ABG＝90，ABG＝DVABG≌VADFAG＝AF，GAB＝FAD∵EAF＝45，FAD＋BAE＝BAD－EAF＝90－45＝45GAE＝GAB＋BAE＝45GAE＝EAF23又∵AG＝AF，AE＝AE，VAEG≌VAEFEG＝EF即BE＋DF＝EF2）AM＝AB3）猜想：AM＝AB证明：延长CB到G，使BG＝DF，连接AGRtVABC沿斜边AC翻折获取RtVADCAB＝AD，ABC＝D＝90ABG＝90，ABG＝DVABG≌VADFAG＝AF，GAB＝FADEAF＝1BAD，2FAD＋BAE＝1BAD2∴GAE＝＋＝FAD＋1＝GABBAEBAEBAD224GAE＝EAF又∵AG＝AF，AE＝AE，VAEG≌VAEF∴EG＝EF，S＝SVAEGVAEF1EG·AB＝1EF·AM22AM＝AB（1）如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点E处，BE交AD于点F．求证：BF＝DF；（2）若矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝10，将矩形ABCD沿过B点的直线折叠，使点C，D落在点E，G处，折痕交线段AD（不含端点）于点H，线段BE交直线AD于点F．图2是该矩形折叠后的一种情况．请研究并解决以下问题：①当VBEH为直角三角形时，求DH的长；②当1DH＜10时，求tanBEH的取值范围．25剖析：（1）由题意，1＝2AD∥BC，∴1＝32＝3，BF＝DF（2）①∵H不与端点A，D重合BEH＜90，EBH＜90∴当VBEH为直角三角形时，只能BHE＝90连接CHBC＝BE，CBH＝EBH，BH＝BHVBCH≌VBEHBHC＝BHE＝9026VDHC∽VABH，ABDHDCAHDH4，解得DH＝2或DH＝810DH即4∴当VBEH为直角三角形时，DH的长为2或8②BE∥HG，∴BEH＝EHG∴tanBEH＝tanEHGEG4GHGH＝1DH＜10，∴0.4＜tanBEH410.已知矩形ABCD的一条边AD8ABCD折叠，使得极点B落在CD边上，将矩形的P点处．271）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．①图中COP___VOCPVPDA1：AB②若与的面积比为4，求边的长为_____；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求OAB的度数为_____度；（3）如图2，在（1）的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BNPM，连接MN交PB于点F，作MEBP于点E．试问当点M、N在搬动过程中，线段EF的长度可否发生变化？若变化，说明原由；若不变，求出线段EF的长度．剖析：（1）如图1，①∵四边形ABCD是矩形，ADBC，DCAB，DABBCD90．由折叠可得：APAB，POBO，PAOBAO．APOB．APO90．APD90CPOPOC．QDC，APDPOC．VOCP∽VPDA．QVOCPVPDA1：②与的面积比为4，28OCOPCP11PDPADA42PD2OC，PA2OP，DA2CP．QAD8，CP4，BC8．设OPx，则OBx，CO8x．在RtVPCO中，QC90，CP4，OPx，CO8x，x2（8x）242．解得：x5．ABAP2OP10．边AB的长为10．2）如图1，P是CD边的中点，1DPDC．2QDCAB，ABAP，1DPAP．2QD90，DP1sinDAP．AP2DAP30．29QDAB90，PAOBAO，DAP30，OAB30．OAB的度数为30．（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2．，∥AN，QAPABMQAPBABP，ABPMQP．APBMQP．MPMQ．QMPMQ，MEPQ，1PEEQPQ．2QBNPM，MPMQ，BNQM．QMQ∥AN，QMFBNF．30在VMFQ和VNFB中，QMFBNFQFMBFN．QMBNVMFQ≌VNFB．QFBF．1QFQB．2111EFEQQFPQQBPB．222由（1）中的结论可得：PC4，BC8，C90．PB824245．EF1PB25．2∴在（1）的条件下，当点M、N在搬动过程中，线段EF的长度不变，长度为25．问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后获取折痕MN．CE1AM2时，求的值为_____．当CDBN31方法指导：为了求得类比归纳

AM的值，可先求BN、AM的长，不如设：AB=2BNCE1AM3则的值等于______；（注：若答案不是整数，请化为在图（1）中，若CDBN1AMCE1AMCE则（n为整数），则的值等小数）；若CD4BN的值等于______；若CDnBN于____．（用含n的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C、D重合），AB1CE1AM(m1),CDn,则的值等于______．（用含压平后获取折痕MN设BCmBNm,n的式子表示）32剖析：方法一：如图（1-1），连接BM、EM、BE由题设，得四边形ABNM和四边形FENM关于直线MN对称．∴MN垂直均分BE．∴BMEM,BNEN∵四边形ABCD是正方形，∴ADC90,ABBCCDDA2CE1,CEDE1∵CD2设BNx,则NEx,NC2x在RtVCNE中，NE2CN2CE2．∴x2(2x)212解得x554，即BN433在RtVABM和在RtVDEM中，AM2AB2BM2，DM2DE2EM2，AM2AB2DM2DE2设AMy则DM2y∴y222(2y)21211解得y即AM44AM1BN55方法二：同方法一，BN4如图（1－2），过点N做NG//CD交AD于点G，连接BEAD∥BC∴四边形GDCN是平行四边形．34∴NGCDBC5同理，四边形ABNG也是平行四边形．∴AGBN4∵MNBE,EBCBNM90QNGBC,MNGBNM90,EBCMNG在VBCE与VNGM中EBCMNGBCNGNGM90VBCE≌VNGM,ECMG.∵AMAGMG,AM511.44AM1.∴BN5类比归纳249n12（或）；；n2151017联系拓广n2m22n1n2m2112.VABC中，AB＝AC，BAC＜60，D为BC延长线上一点，E为ACD内35部一点，且ABE＋ECD＝90．（1）若ABE＝60，如图1，直接写出AC、BE间的数量关系：AC______BE；2）若ABE＝45，如图2，求证：BE＝2AC；3）在（2）的条件下，如图3，将线段BA沿BE翻折，翻折后的点A落在点M处，且MCBC，连接EM，交BC的延长线于N，若CN＝2，求AN的长为______．剖析：1）AC＝BE提示：作AFBC于F，BGCE交EC延长线于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC2ABE＋ECD＝90，ABE＝60ECD＝30，BCG＝30361CBG＝60，BG＝BCABF＝EBG，BF＝BGRtVABF≌RtVEBG，AB＝BEAC＝BE（2）作AFBC于F，BGCE交EC延长线于GAB＝AC，BF＝FC＝1BC2ABE＋ECD＝90，ABE＝45ECD＝45，BCG＝452CBG＝45，BG＝BC＝2BFABF＝EBG，RtVABF∽RtVEBGBEBG2,BE2ABABBDBE＝2AC（3）作AFBC于F，MHBE于H37ABF＋1则BAF＝90，BF＝FC＝BC2由题意，MBE＝ABE＝45，AB＝BMABM＝90，ABF＋MBC＝90BAF＝MBCQMCBC，BCM＝AFB＝90VABF≌VBMC，AF＝BC＝2BF，BF＝MCBC＝2MC由（2）知，BE＝2AB，BE＝2BMQMBH＝45，BMH＝45，BH＝MH＝2BM＝1BE22BH＝EH＝MH，MEH＝EMH＝45BME＝90，RtVBMC∽RtVMNCNCMC1MCBC2QNC2，MC4，BC838FN6，AF8ANFN2AF262821013.如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，尔后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B．（1）求CBF的度数为______度；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB，试判断BAE与GCB的大小关系，并说明原由；（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC与AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，尔后连续对折，使AB与DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN订交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B；再沿直线AH折叠，使D点落在EF上，对应点为D；第三步：设CG，AH分别与MN订交于点P，Q，连接BP，PD，DQ，QB．试判断四边形BPDQ的形状为______，并证明你的结论．剖析：（1）如图1，由对折可知，391EFC＝90，CF＝CD∵四边形ABCD为正方形，CD＝CB，CF＝1CB21又由折叠可知，CB＝CB，CF＝CB∴在RtVBFC中，sinCF＝1CBF＝CB`2CBF＝30解法二：如图1，连接B＇D，．（2）BAE＝GCB原由以下：如图2，连接BD由对折知，EF垂直均分CD，BC＝BD由折叠知，BC＝BC40∵四边形ABCD为正方形，BC＝CDBC＝CD＝BD，VBCD为等边三角形CDB＝60∵四边形ABCD为正方形CDA＝DAB＝90，BDA＝30QDB＝DA，DAB＝DBA1DBA＝(180－BDA)＝75BAE＝DAB－DAB＝90－75＝15由（1）知CBF＝30QEF//BC，＝CBF＝30BCB由折叠知，GCB＝1＝130＝152BCB2BAE＝GCB3）四边形BPDQ为正方形如图3，连接AB由（2）知，由折叠知，

BAE＝GCBGCB＝PCN，BAE＝PCN41由对折知，AEB＝＝，1，1＝22又∵四边形ABCD是正方形，AB＝BCAE＝CN，VAEB≌VCNPEB＝NP同理可得，FD＝MQ由对称性可知，EB＝FDEB＝NP＝FD＝MQ由两次对折可知，OE＝ON＝OF＝OMOB＝OP＝OD＝OQ，∴四边形BPDQ为矩形由对折知，MN，BD于点OEF于点OPQ∴四边形BPDQ为正方形如图，在RtVABC中，C＝90，AC＝4，BC＝5，D是BC边上一点，CD＝3，P是AC边上一动点（不与A、C重合），过点P作PE∥BC交AD于点E．（1）设AP＝x，DE＝y，求y关于x的函数关系式；（2）以PE为半径的eE与以DB为半径的eD可否相切？若能，求tanDPE的值；若不能够，请说明原由；VABD沿直线AD翻折，获取VABD，连接EC、BC，当ACE＝BCB（3）将时，求AP的长．42剖析：（1）在RtVACD中，AC＝4，CD＝3，AD＝5APAEx5yQPE//BC，∴AD，即5AC45y＝-x＋5（0＜x＜4）（2）关于，＝EP＝3x；关于eD，r＝DB＝2；圆心距ED＝-5x＋5eErE4D4当两圆外切时，r＋r＝ED，D3x＋2＝-5x＋544解得x＝3，PC＝522QPE//BC，DPE＝PDC43tanDPE＝tanPDC＝PC5＝6CD－＝35当两圆内切时，|rr|ED，|－＝－＋4ED4解得x7或x＝6（舍去），PC＝1＝22tanDPE＝tanPDC＝PC1CD6（3）延长AD交BB于F，则AF垂直均分BB在RtVBDF中，BD＝2，sinBDF＝sinADC＝AC4AD5BF＝8，BB＝165544QADC＝BDF，CAD＝DBF当ACE＝BCB时，VCAE∽VCBBACBC45y＝564AEBB，即5y16，255564＝256∴x5525，解得x4125如图①，把矩形纸片ABCD沿EF、GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，已知FPH＝90，PF＝8，PH＝6．1）求图①中矩形ABCD的边BC的长为______；2）求图①中四边形EFHG的面积为______；（3）如图②，点M是直线EF上的动点，点N是直线GH上的动点，连接M、MN、ND，求AM＋MN＋ND的最小值为______．答案：24；57.6；24剖析：（1）由题意，BF＝PF＝8，CH＝PH＝6QFPH＝90，FH＝PF2PH2826210BC＝BF＋FH＋HC＝8＋10＋6＝242）连接BE、CG45QADPBC，PEF＝BFEPFE＝BFE，PEF＝PFEPE＝PF＝8同理，PG＝PH＝6EG＝PE＋PG＝8＋6＝14作PQBC于Q，则PQ＝PFPH8624105FHS＝1EG