高等数学第十章二重积分概念

高等数学第十章二重积分概念第一页，共三十五页，2022年，8月28日三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质

第十章第二页，共三十五页，2022年，8月28日柱体体积=底面积×高特点：平顶.曲顶柱体体积=？特点：曲顶.1、曲顶柱体的体积一、引例曲顶柱体第三页，共三十五页，2022年，8月28日解法:

类似定积分解决问题的思想:1.曲顶柱体的体积

给定曲顶柱体:底：

xoy

面上的闭区域D顶:

连续曲面侧面：以D

的边界为准线,母线平行于z轴的柱面问题：求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积先分割曲顶柱体的底，取典型小区域，第四页，共三十五页，2022年，8月28日1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n

个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束第五页，共三十五页，2022年，8月28日4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束第六页，共三十五页，2022年，8月28日2.平面薄片的质量

有一个平面薄片,在xoy

平面上占有区域

D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束第七页，共三十五页，2022年，8月28日2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第

k小块的质量机动目录上页下页返回结束取典型小块，将其近似看作均匀薄片，第八页，共三十五页，2022年，8月28日两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束和的极限第九页，共三十五页，2022年，8月28日极限有界函数二、二重积分的定义及可积性定义:第十页，共三十五页，2022年，8月28日可积积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作为函数f(x,y)在闭区域上的，记作二重积分注意：二重积分仅与被积函数和积分区域有关.第十一页，共三十五页，2022年，8月28日（1）如果

f(x,y)在有界闭区域D上连续，则

f(x,y)

在D上一定可积。（二重积分存在定理）（2）如果

f(x,y)在D

上可积，则该积分与D

因此，在直角坐标系中，用平行于

x

轴和

y

轴的两组直线分割

D

，如图所示的分法和分点的取法无关，几点说明第十二页，共三十五页，2022年，8月28日（3）几何意义：

当f(x,y)0时，二重积分表示曲顶柱体的体积；当f(x,y)0时，此时曲顶柱体位于

x0y

平面的下方，且二重积分的值也为负，故二重积分表示的是曲顶柱体体积的相反数。当f(x,y)在D

上有正有负，此时将

xoy

面上方的曲顶柱体体积取为正，xoy

面下方的曲顶柱体体积取为负，则

f(x,y)在

D

上的二重积分即为这些曲顶柱体体积的代数和。

第十三页，共三十五页，2022年，8月28日二重积分存在定理:定理2.(证明略)限个点或有限个光滑曲线外都连续

,积.若有界函数在有界闭区域D

上除去有（4）二重积分的物理意义：平面薄片的质量二重可积的必要条件:设函数在有界闭区域上可积，则该函数有界第十四页，共三十五页，2022年，8月28日性质1：常数因子可以提到积分号外面，即性质2：和或差的积分等于积分的和或差，即（二重积分与定积分有类似的性质）三、二重积分的性质第十五页，共三十五页，2022年，8月28日性质3（可加性）：如果积分区域D

被一曲线分成两部分性质4：如果在区域D

上总有，f(x,y)1,

是D

的面积，则和几何：高为1的平顶柱体的体积数值上等于柱体的底面积第十六页，共三十五页，2022年，8月28日性质5：如果在D

上总有则有不等式特殊地，由于则有但该结论的逆命题不成立第十七页，共三十五页，2022年，8月28日解第十八页，共三十五页，2022年，8月28日例2.

比较下列积分的大小:其中解:

积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束第十九页，共三十五页，2022年，8月28日性质6：设M

、m

分别是

f(x,y)在D

上的最大值和最小值，

是D

的面积，则因为所以由性质5有由性质1有

由性质4有（二重积分估值不等式）第二十页，共三十五页，2022年，8月28日解第二十一页，共三十五页，2022年，8月28日解第二十二页，共三十五页，2022年，8月28日例5.估计下列积分之值解:

D

的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束第二十三页，共三十五页，2022年，8月28日性质7.(二重积分中值定理)证:

由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束第二十四页，共三十五页，2022年，8月28日性质8.

函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束第二十五页，共三十五页，2022年，8月28日内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)机动目录上页下页返回结束第二十六页，共三十五页，2022年，8月28日

第二节目录上页下页返回结束作业习题101:4,5第二十七页，共三十五页，2022年，8月28日被积函数相同,且非负,思考与练习解:

由它们的积分域范围可知1.

比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束第二十八页，共三十五页，2022年，8月28日2.

设D

是第二象限的一个有界闭域,且0<y<1,则的大小顺序为()提示:因0<y<1,故故在D上有机动目录上页下页返回结束第二十九页，共三十五页，2022年，8月28日3.计算解:机动目录上页下页返回结束第三十页，共三十五页，2022年，8月28日4.证明:其中D为解:

利用题中x,y

位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.机动目录上页下页返回结束第三十一页，共三十五页，2022年，8月28日备用题1.估计的值,其中D

为解:

被积函数D的面积的最大值的最小值机动目录上页下页返回结束第三十二页，共三十五页，2022年，8月28日2.判断的正负.解：当时，故又当时，于是机动目录