华师版九年级数学上册教学课件第1部分

第21章二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结21.1二次根式华师大版九年级数学上册第21-23章教学课件全套学习目标1.理解二次根式的概念;2.会确定二次根式有意义时字母的取值范围;(重点)3.探索二次根式的性质;(难点)4.运用二次根式的性质进行化简计算.(难点)问题2

什么是一个数的算术平方根？如何表示？正数的正的平方根叫做它的算术平方根.问题1

什么叫做一个数的平方根？如何表示？一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.0的算术平方根是0.a的平方根是

.用(a≥0)表示.观察与思考导入新课正数有两个平方根且互为相反数；0有一个平方根就是0；负数没有平方根.问题3平方根的性质：问题4所有实数都有算术平方根吗？正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根.下球体S圆形的下球体在平面图上的面积为S，则半径为__________.如图所示的值表示正方形的面积，则正方形的边长是

.b-3表示一些正数的算术平方根．你认为下列各代数式有哪些共同特点？讲授新课二次根式的定义及有意义的条件一二次根式的定义理解要点：两个必备特征①外貌特征：含有“”②内在特征：被开方数a

≥02.二次根式实质上是非负数的算术平方根.3.

a既可以是一个数，也可以是一个式子.1.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.知识归纳请你凭着自己已有的知识,说说对二次根式的认识！例

下列各式是二次根式吗?(m≤0),(x,y异号)解析：（1）、（4）、（6）均是二次根式，其中+1属于“非负数+正数”的形式一定大于零.而（5）中xy<0,（7）根指数不是2，是3.而（3）不是，是因为在实数范围内，负数没有平方根.典例精析4201.根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据．二次根式的性质1及应用二一般地，有归纳由其定义我们还可进一步知道：二次根式具有双重非负性.到目前为止，非负数的三种表现形式归纳如下：a2,︱a︱,文字叙述：任何一个非负数算术平方根的平方都等于这个数.计算解：

（2）用到了（ab）2=a2b2这个结论.练一练类似地，计算：再计算：0.500.5二次根式的性质2及应用三一般地，有a-a(a≥0)(a＜0)归纳2.从取值范围来看,

a≥0a取任何实数1.从运算顺序来看,先开方,后平方先平方,后开方3.从运算结果来看:=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣知识要点化简解：练一练解：由x-1≥0，得x≥1

1.当x取何值时,二次根式有意义?当x≥1时，在实数范围内有意义.

试求当x=5时，二次根式

的值.当x=5时，思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？x为全体实数.当堂练习

2.（1）若

,则a-b+c=___；解：（1）由题意可知a-2=0,b-3=0,c-4=0,解得a=2,b=3,c=4.所以a-b+c=2-3+4=3.（2）由题意知1-x≥0,且x-1≥0,联立解得x=1.从而知y=2015,所以x+2y=1+2×2015=4031.（1）二次根式的概念（2）根号内字母的取值范围（3）二次根式的值抓住被开数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.课堂小结二次根式定义性质（a≥0）（即表示一个非负数）导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时二次根式的乘法与积的算术平方根第21章二次根式21.2二次根式的乘除1.利用积的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算；

(重点)2.会进行简单的二次根式的乘法运算.(重点、难点)学习目标问题1

什么叫二次根式？问题2

两个基本性质:=aa(a≥0)-a(a＜0)==∣a∣(a≥0)导入新课观察与思考当a是正数或0时，是实数吗？取a值分别为1，2，3，4，5试一试！类比有理数的运算，你认为任何两个实数之间可以进行哪些运算？加、减、乘、除四则运算两个二次根式能否进行加、减、乘、除运算？怎样运算？让我们从研究乘法开始．请写出两个二次根式，猜一猜，它们的积应该是多少？

特殊化，从能开得尽方的二次根式乘法运算开始思考！？计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律？1.

×=____(a≥0,b≥0)662020一般地,对于二次根式的乘法法则是:讲授新课二次根式的乘法法则及运算一_____2516___,25162.=×=×a、b必须都是非负数！算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.(a≥0,b≥0)知识要点

计算解:练一练反过来：（a≥0，b≥0）（a≥0，b≥0）一般地，有在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．积的算术平方根的性质及化简二

化简:（1）（2）解：练一练1.把被开方数分解因式(或因数)；2.把各因式(或因数)积的算术平方根化为每个因式(或因数)的算术平方根的积；化简二次根式的步骤：3.如果因式中有平方式(或平方数)，应用关系式(a≥0)把这个因式(或因数)开出来，将二次根式化简.想一想？成立吗？为什么？非负数解：1.计算：当堂练习2.计算：1.本节课学习了算术平方根的积和积的算术平方根.(a≥0,b≥0)2.化简二次根式的步骤：

3）将平方项应用化简.1）将被开方数尽可能分解成几个平方数.2）应用课堂小结导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时二次根式的除法第21章二次根式21.2二次根式的乘除1.掌握二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质；（重点）2.会利用除法法则进行二次根式的运算.（难点）学习目标1.二次根式的两个基本性质:=a(a≥0)=∣a∣a(a≥

0)-a(a＜0)=导入新课观察与思考2.二次根式的乘法：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积.3.二次根式乘法运算规律公式（a≥0,b≥0)关键：将被开方数因式分解或因数分解，使被开方数出现“完全平方数”或“偶次方因式”.如何化简二次根式（2）（3）_______；

_______；_______；_______；_______；_______．计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？讲授新课二次根式的除法法则及运算一我们知道，两个二次根式可以进行乘法运算，那么，两个二次根式能否进行除法运算呢？归纳一般地，二次根式的除法法则（a≥0，b＞0）两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.思考：等式中的a和b有没有条件的限制？解：典例精析例1计算：公式的逆用商的算术平方根的性质及化简二注意:(1)这里的被开方数是一个整式（可以是多项式，也可以是单项式）.(2)注意被开方数的取值范围.1.与积的算术平方根的性质比较：共同点：一个根号变成两个根号.区别：取值范围不同.商的算术平方根:2.理解和记忆商的算术平方根要注意的问题：比较,得出结论解：提示：（1）要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么，有时还要对分母进行化简；（2）有理化因式确定方法.如有理化因式是它本身，的有理化因式是.这种方法有的地方称之为分母有理化，即把分母中的根号化去的过程.例2化简解：观察上面各数并思考：（1）你觉得这些数能否再化简，它们已经是最简二次根式了吗？（2）这些结果有什么共同特点，你认为一个二次根式满足什么条件就可以说它是最简二次根式了？最简二次根式的概念及判断三可以发现这些式子有如下两个特点：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

简记为：分母无根号，根号无分母解：

解题支招：为了能迅速准确地把二次根式化成最简二次根式，需要熟记1~100以内非二次根式的化简.如

等.典例精析1.化简:2.把下列各式分母有理化：当堂练习1.利用商的算术平方根的性质化简二次根式.2.二次根式的除法有两种常用方法：（1）利用公式：（2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理化运算.课堂小结3.最简二次根式的概念被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．4.如何化去分母中的根号，请举例说明．可以用二次根式的性质，乘除运算法则及分数基本性质化去分母中的根号．5.把一个二次根式化为最简二次根式的依据是什么？把一个二次根式化为最简二次根式的依据是二次根式的基本性质，二次根式的乘除运算，分数基本性质．导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第21章二次根式21.3二次根式的加减1.探索二次根式加减运算的步骤和方法;（重点）2.了解二次根式的混合运算可类比整式的混合运算及数的混合运算;（重点）3.准确熟练地进行二次根式的混合运算.（难点）学习目标二次根式计算、化简的结果符合什么要求？（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

最简二次根式导入新课回顾思考观察下列二次根式有什么共同特征：（1）…

，，，（2）

…

，，，每组的二次根式的被开方数相同讲授新课同类二次根式一探究归纳，

，，，，（3）…经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式.下列根式又有什么共同特征？(1)说出的三个同类二次根式;(2)下列各式中哪些是同类二次根式?巩固概念：答案不唯一，如先化成最简二次根式，再作判断.答：问题

现有一块长7.5dm、宽5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板？7.5dm5dm二次根式的加减法则及运用二（化成最简二次根式）（逆用分配律）∴在这块木板上可以截出两个分别是8dm2和18dm2的正方形木板．解：列式如下：思考:如何合并同类二次根式？

合并同类二次根式的方法是：（1）化为最简二次根式（2）系数相加减（3）二次根式不变二次根式的加减法则类比合并同类项，说说计算过程有什么规律？

二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式（同类二次根式）进行合并.一化二找三合并知识要点例

计算提示按照二次根式的加减法则进行，即先化简,后判定,再合并.典例精析解：

比较二次根式的加减与整式的加减，你能得出什么结论？二次根式的加减实质是合并同类二次根式（被开方数相同）.整式的加减的实质是合并同类项．（1）（2）计算：

思考：（1）中，先计算什么？后计算什么，最后的目标是什么？（2）呢？二次根式的混合运算方法三典例精析与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；对于（1）：先算乘，再化简，若有相同的二次根式进行合并，最后的目标是二次根式是最简二次根式；对于（2）：先算除，再化简，若有相同的二次根式进行合并，把所有的二次根式化成最简二次根式．解：（1）

思考：（1）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：分配律或多项式乘单项式；第二步的依据是：二次根式乘法法则；第三步的依据是：二次根式化简．解：（2）

思考：（2）中，每一步的依据是什么？第一步的依据是：多项式除以单项式法则；第二步的依据是：二次根式除法法则．二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式仍然适用.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2;（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2;完全平方公式知识要点1.计算解：解：解题反思：（1）有括号的先去括号再进行运算；（2）被开方数不相同的最简二次根式是不能合并的.当堂练习2.计算：（1）（2）（3）提示把二次根式看成“项”，（1）、（2）、（3）分别可以看成整式乘法中“单项式×多项式”、“多项式÷单项式”、“多项式×多项式”的运算.看看和你做的一样吗？（1）解：（2）（3）3.计算：用了公式（a+b）（a-b）=a2-b2.用了公式（a+b）2=a2+2ab+b2.1.同类二次根式的定义.2.二次根式加减运算的步骤:(1)把各个二次根式化成最简二次根式；(2)把各个同类二次根式合并.3.如何合并同类二次根式与合并同类项类似,把同类二次根式的系数相加减,作为结果的系数,根号及根号内部都不变.几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式.课堂小结谈一谈本节课自己的收获和感受？（1）以前学过的运算法则在二次根式的混合运算中依然成立；（2）计算结果最后一定要化成最简形式；（3）二次根式的混合运算与整式的运算非常类似，即运算性质和运算律是一致的，体现了数式通性的特点；（4）计算时要做到准确熟练.复习和小结第21章二次根式导入新课讲授新课当堂练习课堂小结加、减、乘、除二次根式三个概念两个性质两个公式四种运算最简二次根式同类二次根式有理化因式1.2.2.1.

知识梳理1．二次根式的概念一般地，形如____(a≥0)的式子叫做二次根式；对于二次根式的理解：①带有根号；②被开方数是非负数,即a≥0.[易错点]二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义.2．二次根式的性质3．最简二次根式满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．(1)被开方数不含_______；(2)被开方数中不含能___________的因数或因式．开得尽方分母4．二次根式的运算

＝______(a≥0，b≥0)；＝____(a≥0，b>0)．二次根式加减时，可以先将二次根式化成_____________，再将________________的二次根式进行合并．被开方数相同最简二次根式1.当x

_____

时，

有意义.3.求下列二次根式中字母的取值范围.解得-5≤x＜3解：①②说明：二次根式被开方数不小于0，所以求二次根式中字母的取值范围常转化为不等式（组）.≤3a=4考点分类确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围一2.有意义的条件是

.1.已知：+=0,求

x-y的值.2.已知x,y为实数,且

+3(y-2)2=0,则x-y的值为()

A.3

B.-3

C.1

D.-1解：由题意，得x-4=0且2x+y=0解得x=4,y=-8x-y=4-(-8)=4+8=12D二次根式的非负性的应用二方法技巧初中阶段主要涉及三种非负数：≥0，≥0，a2≥0.如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.即由a≥0，b≥0，c≥0且a＋b＋c＝0，一定得到a＝b＝c＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一.二次根式性质的应用三设＝a，＝b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是()A．0.03abB．3abC．0.1ab3D．0.1a3bC二次根式的化简四A二次根式的运算五1.确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围2.二次根式的非负性的应用3.二次根式性质的应用4.二次根式的化简5.二次根式的运算复习归纳C0课后演练

3．若１＜x＜４，则化简的结果是＿＿＿＿＿4.下列各式中，是最简二次根式的是（）3B5.下列各式中哪些是二次根式？那些不是？为什么？⑧⑦⑥⑤④①②③a<0-(a2+1)<0(a-1)2≥06.计算：若a为底,b为腰,此时底边上的高为∴三角形的面积为(2)若满足上式的a,b为等腰三角形的两边,求这个等腰三角形的面积.设a、b为实数,且|2-a|+b-2=0√解:若a为腰,b为底,此时底边上的高为∴三角形的面积为7.（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，ABPDC若点P为线段CD上动点.已知△ABP的一边AB=①则AD=____BC=____12（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使三角形的三边为8.②设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP,则AP=_________，BP=__________.③当a=1时，则PA+PB=______,当a=3,则PA+PB=______.④PA+PB是否存在一个最小值？导入新课讲授新课当堂练习课堂小结22.1一元二次方程第22章一元二次方程1.理解一元二次方程的概念；(重点)2.了解一元二次方程的一般形式；(重点)3.经历探究一元二次方程的概念的过程.（难点）学习目标1.你还记得什么叫方程？什么叫方程的解吗？2.什么是一元一次方程？它的一般形式是怎样的？一般形式：ax+b=0(a≠0)3.我们知道了利用一元一次方程可以解决生活中的一些实际问题，你还记得利用一元一次方程解决实际问题的步骤吗?1.审;2.设;3.列;4.解;5.验;6.答.导入新课回顾与思考问题1

某地为增加农民收入，需要调整农作物种植结构，计划2016年无公害蔬菜的产量比2014年翻一翻，要实现这一目标，2015年和2016年无公害蔬菜产量的年平均增长率应是多少？思考：1.根据以往的经验，你想用什么知识来解决这个实际问题？方程一元二次方程及其一般形式一讲授新课2.如图：如果假设无公害蔬菜产量的年平均增长率是x,2014年的产量为a，那么2015年无公害蔬菜产量为

，2016年无公害蔬菜产量为

.a+ax=a(1+x)a(1+x)+a(1+x)x=a(1+x)23.你能根据题意，列出方程吗？a(1+x)2=2a把以上方程整理得：

.x2+2x-1=0（1）201420152016问题2在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的宽应为多少？3220x1.若设小路的宽是xm，那么横向小路的面积是______m2，纵向小路的面积是

m2,两者重叠的面积是

m2.32x2.由于花坛的总面积是570m2.你能根据题意，列出方程吗？整理以上方程可得：思考：2×20x32×20－(32x＋2×20x)＋2x2=5702x2x2-36x＋35=0（2）3220x想一想：还有其它的列法吗？试说明原因.(20-x)(32-2x)=57032-2x20-2x3220请观察下面两个方程并回答问题：

x2+2x-1=0x2-36x+35=0（1）它们是一元一次方程吗？（2）与一元一次方程有何异同？（3）通过比较你能归纳出这类方程的特点吗？

类比发现，探索新知

1.等号两边都是整式

2.只含有一个未知数

3.未知数的最高次数是2特点：一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为

的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.为什么要限制a≠0?b,c可以为零吗？想一想

ax

2+bx+c=0(a≠0)二次项系数一次项系数常数项（4）通过与一元一次方程的对比，你能给这类方程取个合理的名字吗？（1）列表填空：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项4x2=3x(x-1)2-9=0x(x+2)=3(x+2)4x2-3x=0x2-2x-8=0x2-x-6=04-301-2-81-1-6练一练（2）下列方程中哪些是一元二次方程，并说明理由.x+2=5x-3x2=42x2-4=(x+2)2(3)方程（2a-4)x2-2bx+a=0在什么条件下为一元二次方程？不是是是不是当2a-4≠0时，即a≠2时，该方程为一元二次方程.通过以上习题的练习的情况，你认为在确定一元二次方程的各项系数及常数项的时候，需要注意哪些？（1）在确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时必须把方程化为一般形式才能进行.（2）二次项系数、一次项系数以及常数项都要连同它前面的符号.（3）二次项系数a≠0.议一议

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).

判断未知数的值x=-1,x=0,x=2是不是方程x2-2=x的根.一元二次方程的根二1.判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根：x2-3x+2=0(x1=1，x2=2，x3=3)2.构造一个一元二次方程，要求：（1）常数项为零；（2）有一根为2.当堂练习当x1=1时，x2-3x+2=1-3+2=0,因而是该方程的解；当x2=2时，x2-3x+2=4-6+2=0,因而是该方程的解；当x3=3时，x2-3x+2=9-6+2=5≠0，因而不是该方程的解.x2-2x=03.已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，求a的值.解：由题意得把x=3代入方程x2+ax+a=0，得32+3a+a=09+4a=04a=-9

4.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0)一个根为1,求a+b+c的值.解：由题意得思考:若a+b+c=0,你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?解：由题意得∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根是1.拓广探索

若a-b+c=0,4a+2b+c=0，你能通过观察,求出方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个根吗?x=2一般地,任何一个关于x的一元二次方程都可以化为

的形式,我们把(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.

能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解(或根).课堂小结22.2一元二次方程的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时直接开平方法和因式分解法第22章一元二次方程1.学会用直接开平方法及因式分解法解简单的一元二次方程；（重点）2.了解用直接开平方法及因式分解法解一元二次方程的解题步骤.(重点)学习目标一元二次方程的一般式是怎样的？你知道求一元二次方程的解的方法有哪些吗？（a≠0）导入新课回顾与思考解:所以方程x2=9有两个根，x1=3,x2=-3.直接开平方解方程一讲授新课例：解方程x2=9.

一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得,，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.知识回顾2.用直接开平方法解下列方程:(1)3x2－27=0;(2)(2x－3)2=9.1.方程的根是方程的根是方程的根是

x1=0.5,x2=－0.5x1＝3，x2＝－3x1＝2，x2＝－1练一练x1＝3，x2＝－3x1＝0，x2＝3因式分解:

把一个多项式化成几个整式的积的形式.在学习因式分解时，我们已经知道，可以利用因式分解求出某些一元二次方程的解.用因式分解法解一元二次方程二问题

什么是因式分解？问题引导

例解下列方程：（1）x2－3x＝0;(2)25x2=16解：（1）将原方程的左边分解因式，得x（x-3）＝0;则x=0,或x-3=0,解得x1=0，x2=3.(2)将方程右边常数项移到左边，再根据平方差公式因式分解，得x1=0.8，x2=-0.8.像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.典例精析若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；将方程的左边分解因式；根据若A·B=0,则A=0或B=0,将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.因式分解法的基本步骤是：这样解是否正确呢？交流讨论：解：方程的两边同时除以x，得x=1.故原方程的解为x=1.不正确，方程两边同时除以的数不能为零，还有一个解为x=0.1.填空：（1）方程x2+x=0的根是_________________；（2）x2－25=0的根是________________.x1=0,x2=-1x1=5,x2=-5练一练2.解方程：x2-5x+6=0解:把方程左边分解因式，得

（x-2）（x-3）=0

因此x-2=0或x-3=0.∴x1=2，x2=31.用因式分解法解下列方程：(1)4x2=12x;(2)(x-2)(2x-3)=6;(3)x2+9=-6x;(4)9x2=(x-1)2当堂练习解:(1)移项得4x2-12x=0,即x2-3x=0,

x(x-3)=0,得x1=0,x2=3;(2)原方程可以变形为2x2-7x=0,

分解因式为x(2x-7)=0,解得x1=0,x2=3.5;(3)原方程可以变形为（x+3)2=0,解得x=-3;(4)移项得9x2-(x-1)2=0,变形得（3x-x+1)(3x+x-1)=0,

解得x1=-0.5,x2=0.25.

解方程：（x+4）（x-1）=6.解:把原方程化为一般形式，得

x2+3x-10=0把方程左边分解因式，得（x-2）（x+5）=0

因此x-2=0或x+5=0.∴x1=2，x2=-5解下列一元二次方程：（1）（x－5)(3x－2)=10;(2)(3x－4)2=(4x－3)2.解：(1)化简方程，得3x2－17x=0.将方程的左边分解因式，得x(3x－17)=0,∴x=0,或3x－17=0解得x1=0,x2=(2)(3x－4)2=(4x－3)2.(2)移项，得（3x－4)2－(4x－3)2=0.将方程的左边分解因式，得〔(3x－4)+(4x－3)〕〔(3x－4)－(4x－3)〕=0,

即(7x－7)(-x－1)=0.∴7x－7=0,或-x－1=0.∴x1=1,x2=-1（1）将方程变形，使方程的右边为零；（2）将方程的左边因式分解；（3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.课堂小结注意：当方程的一边为0时，另一边容易分解成两个一次因式的积时，则用因式分解法解方程比较方便.

22.2一元二次方程的解法导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时配方法第22章一元二次方程1.掌握用配方法解一元二次方程；（重点）2.能根据一元二次方程的特征，灵活选择解法.(难点)学习目标读诗词解题：

(通过列方程，算出周瑜去世时的年龄)

大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.

十位恰小个位三，个位平方与寿符.哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解：设个位数字为x，十位数字为x-3

x2-11x+30=0x2=10(x-3)+x导入新课思考这种方程怎样解？变形为的形式．（a为非负常数）变形为x2－4x＋1＝0（x－2）2=3用配方法解一元二次方程讲授新课像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后,再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.(1)x2＋8x＋

=(x＋4)2(2)x2－4x＋

=(x－

)2(3)x2－___x＋9=(x－

)2配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.166342探究归纳例用配方法解下列方程:(1)x2-4x-1=0;(2)2x2-3x-1=0.典例精析用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.(2)－x2＋4x－3=0(1)x2＋12x=－91.用配方法解下列方程：当堂练习解：(1)两边同时加上36，得x2＋12x+36

=－9+36，配方得（x+6）2=27，解得（2）原方程可变形为x2-4x+3=0,配方得（x-1）（x-3)=0,

x1=1,x2=3.2.用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－3k＋5的值必定大于零.解：k2－3k＋5=(k-)2+，∵(k-)2≥0，∴k2－3k＋5＞0.

3.先用配方法解下列方程：（1）x2－2x－1＝0；（2）x2－2x＋4＝0；

（3）x2－2x＋1＝0；

然后回答下列问题：（4）你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（5）对于形如x2＋px＋q＝0这样的方程，在什么条件下才有实数根？解：(1)左右两边同时加2，得x2-2x+1=2,配方得（x-1）2=2，解得（2）左右两边同时减去3，得x2-2x+1=-3,

配方得(x-1)2=-3,很明显此方程无解；（3）原方程配方得(x-1)2=0,解得x=1;

（4）略；（5）

1.一般地,对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定义,可解得

，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.

2.像这种先对原一元二次方程配方,使它出现完全平方式后,再用直接开平方法求解的方法叫做配方法.

注意:配方时,等式两边同时加上的是一次项系数一半的平方.课堂小结用配方法解一元二次方程的步骤:移项:把常数项移到方程的右边;配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方;开方:根据平方根意义,方程两边开平方;求解:解一元一次方程;定解:写出原方程的解.22.2一元二次方程的解法第3课时公式法第22章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.学会用公式法解一元二次方程；（重点）2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法；(难点)3.体会解决问题方法的多样性.（难点）学习目标1.化1:把二次项系数化为1;2.移项:把常数项移到方程的右边;3.配方:方程两边同加一次项系数一半的平方;4.变形:化成（x+m）2=a(a≥0);5.开平方，求解.“配方法”解方程的基本步骤：导入新课回顾与思考解：两边同时除以2，得x2+6x-1=0,

两边同时加上10，得x2+6x+9=10，

配方得(x+3)2=10,

解得用配方法解下面这个一元二次方程：你还会其他的解法吗？一起用配方法解下面这个一元二次方程吧并模仿解一般形式的一元二次方程讲授新课一元二次方程的求根公式一两边同除以a移项两边同时加上整理开方解得步骤

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；这种解一元二次方程的方法叫做公式法.知识要点探索发现x1=x2=1.从两根的代数式结构上看有什么特点？2.根据这种结构可以进行什么运算？你发现了什么？用公式法解下列一元二次方程：解：（1）用公式法解一元二次方程二用公式法解下列一元二次方程：解：将原方程化为一般形式，得运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此时方程无实数解.1.用公式法解下列一元二次方程：解:（1）原方程即为，练一练解方程：（精确到0.001）.解：用计算器求得：2.用公式法解一元二次方程：解:去括号，得，化简，得，即1.用公式法解方程，得到（）AA.C.D.B.当堂练习2.用公式法解下列方程：解：3.选择恰当的方法解下列方程：解：当x=0时，原方程成立；当x≠0时，两边同时除以x，得

2x-7=2,解得x=4.5.

综上原方程的解为x1=0,x2=4.5;

4.关于x的一元二次方程当a，b，c

满足什么条件时，方程的两根为互为相反数？解：由题意可设该二元一次方程的两根分别为k，-k,

由求根公式得

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式；这种解一元二次方程的方法叫做公式法.课堂小结运用公式法解一元二次方程的步骤：（1）把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；（2）求出的值；（3）若，把a、b、c及的值代入一元二次方程的求根公式，求出方程的根；若，此时方程无实数解.22.2一元二次方程的解法第4课时一元二次方程根的判别式第22章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.了解一元二次方程根的判别式；（重点）2.会判断一元二次方程根的情况；(难点)3.掌握一元二次方程根的判别式的应用.（难点）学习目标用公式法求下列方程的根:用公式法解一元二次方程的一般步骤:1）把方程化为一般形式确定a,b,c的值3)代入求根公式计算方程的根2)计算的值导入新课观察与思考温故而知新

一般地，对于一元二次方程

如果，那么方程的两个根为配方法如何把一元二次方程写成（x+h)2=k的形式？讲授新课一元二次方程根的判别式问题引导思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况?3.当方程没有实数根时，有.

1.当方程有两个不相等的实数根时，有；2.当方程有两个相等的实数根时，有；反过来，对于一元二次方程：我们把叫做一元二次方程的根的判别式，用符号“”来表示.反之，同样成立！当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根.即一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),例：下列一元二次方程根的个数：方程有两个不相等的根.方程有两个相等的根.方程没有实数根.典例精析按要求完成下列表格：Δ的值根的情况有两个相等的实数根没有实数根有两个不相等的实数根方程判别式

与根练一练一般步骤：3.判别根的情况，得出结论.2.计算的值，确定的符号.不解方程，判别下列方程根的情况.1.化为一般式，确定的值.当堂练习有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根不解方程，判别关于的方程的根的情况.∵分析：系数含有字母的方程不解方程，判别关于x的方程的根的情况.解：故该方程有两个不相等的实数根.对于一元二次方程：反之，同样成立！当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根.课堂小结22.2一元二次方程的解法第5课时一元二次方程的根与系数的关系第22章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.了解一元二次方程根与系数的关系；（重点）2.会应用一元二次方程根与系数的关系.(难点)学习目标2.求根公式是什么？根的个数怎么确定的？1.一元二次方程的解法有哪些，步骤呢？导入新课知识回顾

方程

x1

x2

x1+x2

x1∙x2

x2-3x+2=0x2-2x-3=0x2-5x+4=0问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+x2，x1•x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系？2

132-1

3

2-31

4

54讲授新课一元二次方程的根与系数的关系一

方程

-2x1+x2，x1∙x2与对应的一元二次方程的系数有什么关系?猜想：当二次项系数为1时，方程x2+px+q=0的两根为x1,,x2.9x2-6x+1=03x2-4x-1=03x2+7x+2=0猜想：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常数且a≠0）的两根为x1、x2，则：

x1+x2和x1.x2与系数a，b，c的关系解：任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=,x1

·x2=-（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0一、直接运用根与系数的关系例1.不解方程，求下列方程两根的和与积.利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题二在使用根与系数的关系时，应注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=－时，注意“－”不要漏写.二、求关于两根的代数式的值例2.设是方程的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.

解:由题意知三、构造新方程例3.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为1.解:（x-2)（x-3）=0,

x2-5x+6=0.(答案不唯一）例4.方程的两根的和为6，一根为2，求p、q的值.四、求方程中的待定系数解:若方程的另一个根为x1,由题意得2+x1=-p=6,2x1=q,即x1=4,p=-6,q=8.

1.方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围.解:由已知得Δ=即m>0m-1<0∴0<m<1当堂练习2.求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二次项系数为5..解:5（x-2)（x-3）=0,5x2-25x+30=0.一正根，一负根△＞0x1x2＜0两个正根△≥0x1x2＞0x1+x2＞0两个负根△≥0x1x2＞0x1+x2＜0课堂小结一元二次方程根与系数的关系？注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，则有22.3实践与探索第1课时利用一元二次方程解决图形、数字问题第22章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点）2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点）3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．学习目标问题1

解一元二次方程有哪些方法？导入新课观察与思考

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．

问题2

解方程：

(80－2x)(60－2x)＝1500解:(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式

x2－70x＋825＝0．(2)确认a，b，c的值a＝1，b＝－70，c＝825(3)判断b2－4ac的值

b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0，(4)代入求根公式,得x1＝55，x2＝15(80－2x)(60－2x)＝1500问题3

列一元一次方程解应用题的步骤：

①审题，

②找等量关系③列方程，④解方程，⑤答.那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.讲授新课利用一元二次方程解决图形问题一806060-2x80-2xxx(80－2x)(60－2x)＝1500得x1＝55，x2＝15解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为（80-2x）cm、（60-2x）cm.检验：当x1＝55时长为80－2x＝-30cm

宽为60－2x＝-50cm．想想，这符合题意吗？不符合．舍去．当x2＝15时长为80－2x＝50cm

宽为60－2x＝30cm．符合题意所以只能取x＝15．答：截取的小正方形的边长是15cm列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．方法归纳问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为_____________.x+2，x+4问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n，其余的为_______________________

n+2，n+1，n-1，n-2问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，

则这个两位数是

.10a+b问题4：一个三位数，百位x，十位y，个位z，

表示为

.100x+10y+z利用一元二次方程解决数字问题二问题引导例：两个连续奇数的积为63，求这两个数.解：设两个奇数为x和x+2x(x+2)=63解得x1=-9，x2=7.x+2=-7，x+2=9答：这个两个数为7、9或者-7、-9.典例精析1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587x-1=13x+1=15x-1=-15x+1=-13

答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。当堂练习3x2-588=0x1=14,x2=-14.2.一个两位数，十位数字与个位数字之和为5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新数与原来的两位数之积为736，求这个两位数.分析：设原来的两位数个位数字为x，则十位数字为（5-x）十位个位两位数原两位数新两位数5-x5-xx

x10（5-x）+x10x+5-x解：由题意得[10(5-x)+x](10x+5-x)=736,

整理得x2-5x+6=0,

解得x1=2,x2=3.答：这个两位数是23或32.3.在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手21次，求参加聚会的人数.解：设参加聚会的人数有x人

解得x1=7，x2=-6(舍去)答：参加聚会的人数为7人.4.一块长方形铁板，长是宽的2倍，如果在4个角上截去边长为5cm的小正方形，

然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是3000cm3，求铁板的长和宽．解：设铁板的宽为xcm,则长为2xcm5(2x-10)(x-10)=3000解得x1=25,x2=-10（舍）.故铁板的长为2x=50（cm),所以铁板的长为50cm.，宽为25cm.列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要求．课堂小结22.3实践与探索第2课时利用一元二次方程解决平均变化率、利润问题第22章一元二次方程导入新课讲授新课当堂练习课堂小结1.能列出关于平均变化率、利润问题的一元二次方程；（重点）2.体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点）3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识．学习目标导入新课回顾与思考问题1

列一元二次方程解应用题的步骤是哪些？应该注意哪些？问题2

生活中还有哪类问题可以用一元二次方程解决？

问题1

思考，并填空：

1.某农户的粮食产量年平均增长率为

x，第一年

的产量为

60000kg，第二年的产量为____________kg，

第三年的产量为______________kg．60000

1+x（）讲授新课利用一元二次方程解决平均变化率问题一问题引导

2.某糖厂

2017年食糖产量为

a

吨，如果在以后两

年平均减产的百分率为

x，那么预计

2018年的产量将是_________．2019年的产量将是__________．a(1-x)

问题2你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？

两年后：变化后的量=变化前的量

问题3

两年前生产

1t甲种药品的成本是

5000元，生产

1t乙种药品的成本是

6000元，随着生产技术的进步，现在生产

1t甲种药品的成本是

3000元，生产

1t乙种药品的成本是

3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？乙种药品成本的年平均下降额为

(6000-3600

)÷2=1200（元）．

甲种药品成本的年平均下降额为

(5000-3000)÷2=1000（元），解：设甲种药品成本的年平均下降率为

x.

解方程，得

x1≈0.225，x2≈1.775．

根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于

1的正数，应选

0.225．所以，甲种药品成本的年平均下降率约为

22.5%．一年后甲种药品成本为5000(1-x)元，两年后甲种药品成本为元．列方程得=3000．解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程

得乙种药品成本年平均下降率为

0.225.

两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况．

解方程，得

x1≈0.225，x2≈1.775．

问题4

你能概括一下“变化率问题”的基本特征吗？解决“变化率问题”的关键步骤是什么？“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变；解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量，找出相应的等量关系．归纳小结例：山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？利用一元二次方程解决利润问题二典例精析【解析】(1)设每千克核桃降价x元，利用销售量×每件利润＝2240元列出方程求解即可；(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．解：（1）设每千克核