2005数一真题、答案及解析

网网.xy

2x

微分方程xy2yxlnx满足y(1)1的解为 9u(x,y,z)

x2y2z 3（3）设函数3

6

18，单位向量n

{1,1,1}

x2yR2x2y设是由锥面x2yR2x2y的整个边界的外侧，则xdydzydzdxzdxdy 设1,2,3均为3A(1,2,3)，B(123,12243,13293)如果A1，那么B 1,2,3,4X,再从1,2,XY,P{Y2} 二、选择题（8432分.每小题给出的四个选项中，只有一f(xlimn1x3nf(x)在(,处处可导 恰有两个不可导点 至少有三个不可导点 F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数F(x)是周期函数f(x)是周期函数F(x)是单调函数f(x)是单调函数 x设函数u(x,y)(xy(xyxy(t)dt,x

x

y

x

y

y2

x2 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和 设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1A(12)线性无关的充分必要10 20 (C)10 (D)20

A*B*交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B* 交换A*的第1列与第2列得B* (D)交换A*的第1行与第2行得B* 设二维 量(X,Y)的概率分布

已知随 {X0}与{XY1}相互独立， a=0.2,a=0.4, a=0.3,a=0.1,[]X1X2,Xn(n2)N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，SnX~N nS2~2 (n 网网~t(n S

(nX1~(1,[]

nX2Xi三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（11分设D{(x,y)x2y2 2,x0,y0}，[1x2y2]表示不超过1x2y2的D大整数.计算二重积分xy[1x2y2D

n(2n（17）（11分如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线在点 与 处的切线，其交点为 设函 具有三阶连续导数，计算定积分3(x2xf0（I）存在0,1),f(1设函数yL(y)dx 2x2y (y)dx 0；求函数(y)的表达式

2x2yf(xxx1a)x21a)x22x22(1a)xx a

1 已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零矩阵B 3

6（k为常数k,设二维随量(X,Y)的概率密度 f(x,y)1,0x1,0y （II）Z2XYfZX1X2Xn(n2为来自总体N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，记YiXiX,i1,2,,（II）Y1与Yn的协方差Cov(Y1Yn2005年考研数学一解.y

x2x

y1x1 【分析】本题属基本题型，直接用斜渐近线方程进行计算即可【详解】因为a=limf(x) x

1 x2x2 blimf(x)ax 1 x2(2x 于是所求斜渐近线方程为y x xy2yxlnxy(1)1y1xlnx1 【分析】直接套用一阶线性微分方程yP(x)yQ(x)的通解yePx)dx[Q(x)ePx)dxdxC]，y2ylnxx y

2 [ln

2xdxC]

1[x

lnxdxx 2=1xlnx1xC12 x 由y(1) xlnx u(x,y,z)

x2y2z （3）设函数

6

18，单位向量n

3{1,1,1}33(1,2,3)uucosucosucos 因此，本题直接用上述即可 【详解】因为x3y6z9=1

11 33133 3133x2yR2x2y设是由锥面x2yR2x2y的整个边界的外侧，则xdydzydzdxzdxdy2(1 2)R3 【分析】本题是封闭曲面且取外侧，自然想到用转化为三重积分，再用球【详解】xdydzydzdxzdxdy =3R2d4sindd2(1

2 设1,2,3均为3维列A(1,2,3)，B如果A1，那么B

(123,12243,13293)可【详解】由题设，有B(123,12243,132931=(1,2,3

3

1

BA

31291,2,3,4X,再从1,2,XY,P{Y2} 【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率,且第一次试验的各种两两【详解 P{Y2}=P{X1}P{Y2X1}+P{X2}P{Y2X+P{X3}P{Y2X3}+P{X4}P{Y2X =1(0111)13 二、选择题（8432分.每小题给出的四个选项中，只有一f(xlimn1x3nf(x)在(, 处处可导 恰有一个不可导点 恰有两个不可导点 至少有三个不可导点[C]n1x【详解】x1fn1x

1n1x1f(xn13x1f(x)limx

1 3n1)nxxx3 xf(x)

x3

1xx

F(x)是偶函数f(x)是奇函数（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数F(x)是周期函数f(x)是周期函数F(x)是单调函数f(x)是单调函数 A【详解F(xxf(t)dtCF(x0

fF(x)F(xF(xF(x1)F(x，即f(x)f(xxxf(xf(xf(x)f(x)xxf(t)dtF(x0f(t)dtC为偶函数，可见(A)为正确选项方法二令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B) 令f(x)=x,则取F(x)=1x2,排除2故应选x设函数u(x,y)(xy(xyxy(t)dtx

x

y

x

y2

y2

x2 【分析】先分别求出x2y2xy，再比较答案即可【详解】因为u(xy(xy(xy(xyu(xy)(xy)(xy)(xy)于 (xy)(xy)(xy)(xy)，x

(xy)(xy)(xy)(xy) (xy)(xy)(xy)(xy)y2ux

y2，应选xyzlnyexz1，根据隐函数存在定理，存在点(0,1,1)的一个只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 【分析F(x,y,zxyzlnyexz1,分别求出FzFxFy，再考虑在点(0,1,1)0，则可确定相应的隐函数.【详解】令F(x,y,zxyzlnyexz1,Fyexzz，Fxz，Flnyexzx y=y(x,z).故应选(D).设1,2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为1,2，则1A(12)线性无关的充分必要条件是10 20 (C)10 (D)20 k11k2A(12)0，k11k211k2220，由于1,2线性无关，于是有k1k21

(k1k21)1k2220 k22当20k10,k20，此时1A(12线性无关；反过来，若1A(12)线性无关20(,否则，1A(12)11线性相关

10方法二：由于[1,A(12)][1,1122][1,2 0 2可见，A()线性无关的充要条件是 10.故应选2

A*B*交换A*的第1列与第2列得B* (B)交换A*的第1行与第2行得B*A*12列得B*.(D)A*12行得B* AB，于是B*(EA)*A*E A* E121A*E， A*E

B*,可见应选

设二维 量(X,Y)的概率分布

已知随机{X0}与{XY1}相互独立， a=0.2,a=0.4, a=0.3,a=0.1,[B]式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设， 又{X0}与{XY1}相互独立，于是P{X0,XY1}P{X0}P{XY1} a=(0.4a)(ab) 由此可解得a=0.4,b=0.1,故应选X1X2,Xn(n2)N(0,1)的简单随机样本，X为样本均值，SnX~N nS2~2 (n1)X~t(nS

1~F(1,nX2Xi

可nXn1n ~N(0,1)，可排除1nnXnSn SnS

~t(n1，可排除(C);

(n1)S

(n1)S

~

(n1，不X2~2(1nX2~2(n1)X2~2(1)与

X2~2(n1)

n

(n1)XX1 1~F(1,n1X1XnX

XiXn

i三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（15）（11分设D{(x,y)x2y2 2,x0,y0}，[1x2y2]表示不超过1x2y2的D大整数.计算二重积分xy[1x2y2D【详解】令D1xy)0x2y21,x0,yD2{(x,y)1x2y2 2,x0,y则xy[1x2y2dxdyxydxdy2 2sincosdr3dr22sincosd r0=137

求幂级数(1)n1(1

n(2n.【详解】因为lim(n1)(2n11n(n1)(2n

n(2n

S(x)2n(2n ,x S(x)

S(x)x,

( 2n

x (

1 1x2

,x由 S(0)0,S(0)所 S(x)

xS(t)dt dtarctan 01tS(x)xS(t)dtxarctantdtxarctanx1ln(1x2

1x2x从 f(x)2S(x)1 2xarctanxln(1x) ,x1（17）（11分如图，曲线C的方程为y=f(x)，点(3,2)是它的一个拐点，直线l1与l2分别是曲线在点 与 处的切线，其交点为 设函 具有三阶连续导数，计算定积分3(x2xf0【详解】由题设图形知 f(0)2; f(3)2,f(3) 3(x2x)f(x)dx3(x2x)df(x)(x2x)f 33f(x)(2x 33=3(2x1)df(x)(2x1)f 33

f =162[f(3)f(0)]（I）存在0,1),f(1于是由介值定理知，存在0,1F(0f(1（II）在[0,]和[,1]上对f(x)分别应用日中值定理，知存在两个不同的0,),,1)f(f(f(0)f(f(1)f( 1于 f()f()f()1f()1

1 1设函数yL(y)dx 2x2y (y)dx 0；求函数(y)的表达式

2x2y【分析（I）C与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲 【详解 (y)dx2xydy (y)dx2xydy (y)dx2xydy0323 2x2y 2x323

y l 2x2y (

P2x2y4Q2x2y4PQx0QP

(y)dx 2x2

x0 Q2y(2x2y4)4xg2xy4x2y2 (2x2y4 (2x2y4)2 )P(y)(2x2y4)4(y)y32x2(y)(y)y44(y))

(2x2y4 .(y)2 (y)y44(y)y32y5.由③得yy2c，将y代入④得2y54cy32y5所以c0，从而y)f(xxx)1a)x21a)x22x22(1a)xx a

1【分析】（I）根据二次型2，可知对应矩阵的行列式为0，从而可求a的值（II）【详解（I）A1

11

0 1

1

A10

10

002（II）这里A

0

0

2,0 (2EA)x011,20 1 解(0EA)x030 由于1,2已经正交，直接将1,23单位化，得： 11

1 22 22 0 令Q 3，即为所求的正交变换矩阵，由x=Qy，可化原二次型为标准形f(x,x,x)=2y22y2 f(xxx2y22y20y0,y0,yk（k为任意常数

c 0kc，其中c为任意常数 3

已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零矩阵B 6（k为常数 3 k,,系所含解向量的个数为多少，而这又转化为确定系数矩阵A的秩.【详解】由AB=O知，BAx=0rAr(B（1）k9,r(B)=2,r(A1,r(A1,r(A)=1.Ax=0的基,1 3 Ax=0xk12k26k1k2为任意常数 k (2)k=9r(B)=1,从而1rA1r(A)=2,Ax=0xk12k1为任意常数r(A)=1,Ax=0ax1bx2c