人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》测试题含答案

人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》测试题含答案一、选择题(30分)1.在△ABC中，的对边分别为，且，则（）（A）为直角（B）为直角（C）为直角（D）不是直角三角形2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（）（A）1、2、3（B）（C）（D）3.三角形的三边长为,则这个三角形是()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形.4..已知△ABC各边均为整数，且，，，则的长为（）A．5B．6C．7D．5或65.在Rt△ABC中，∠A=90º，a=15，b=12，则第三边c的长为（）A．B．9C．或9D．都不是6.有一块苗圃如图所示，已知AB＝3米，BC＝4米，CD＝12米，DA＝13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（）ABAB第11题图第8题图第7题图第6题图第10题第8题图第7题图第6题图第10题l1l2l3ACB7如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分与正方形ABCD的面积比是（）A、3：4B、5：8C、9：16D、1：28.如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长是无理数的边数是（）A、0B、1C、2D、39.在△ABC中，AB=20，AC=15，AD为BC边上的高，且AD=12，则△ABC的周长为（）A．42B．60C．42或60D．2510如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2,l2，l3之间的距离为3,则AC的长是（）A．B．C．D．7二、填空题(30分)11.在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部,一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是12.将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数,,.13.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为.第14题图第15题第14题图第15题路3m路3m4m第16题第13题图14.某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱．已知大厅圆柱高4米，底面周长1米．由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少米．15.如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC上F点处，已知CE＝3厘米，AB＝8厘米，则图中阴影部分的面积为平方厘米．16.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．第19题17.如图是一种“羊头形”图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②、②′，以此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为_________cm．第19题P第18题P第18题第17题18.如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以点为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长19.如图，已知图中每个小方格的边长均为1，则点到直线的距离为（结果保留根号）．20.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是．AABC图1图2三、解答题(60分)21.(7分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积验证勾股定理：a2+b2=c2.BCDAab22.(7分)一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？23(7分).如图，已知等腰△ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求△ABC的周长.DDBCA24(7分)．如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？BB125C13DA25.(7分)一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树终于折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺．清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的．”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧．”冠华兴致勃勃地说．张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形．”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的．”绣亚补充说．几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案．（读者朋友，你算出来了吗？）26.(7分)如图，在△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．AACPB第26题27(8分)在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c.若∠C＝90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2＝c2.若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论.图1图1图2图3图2图328.(10分)阅读材料并解答问题.我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一.古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在《几何》课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”.以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法.方法l：若m为奇数(m≥3)，则a＝m，b＝(m2－1)和c＝(m2+1)是勾股数.方法2：若任取两个正整数m和n(m＞n)，则a＝m2－n2，b＝2mn，c＝m2+n2是勾股数.（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的△ABC是直角三角形.（2）请根据方法l和方法2按规律填写下列表格：勾m3511…股(m2－1)41260…弦(m2+1)51361…m233444556…n121321435…A＝m2－n23587121591611…B＝2mn412624168403060…C＝m2+n251310252017413461…（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.第28题图第28题图参考答案一、选择题1.A2.C3.C4.D5.B6.B7.B8.C9.C．10.A分析：1.A分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为，即，因根据这一公式进行判断.正解：，∴.故选（A）2.C分析：彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足的形式.因为，选（C）3.C4.D错解：由勾股定理，得．故选A．剖析：致误原因是受“勾3股4弦5”的影响，将△ABC当成了直角三角形而用了勾股定理，出现了知识的“负迁移”．实际上，题中并没有给出直角三角形这个前提条件．正解：由三角形三边关系，得，即4<AB<7．又∵AB为整数，∴AB的长为5或6，D．5.B错解：由勾股定理，得，故选A．剖析：致误原因是生搬硬套公式，没有分辨清楚哪个是斜边，哪些是直角边．实际上，∠A=90º，它所对的边是斜边，即斜边应为a，而不是c．正解：在Rt△ABC中，∵∠A=90º，∴，即．∴．故选B．6.B析解：所求四边形是个不规则的四边形，故连接AC，运用转化的思想，转化为两个三角形的面积，在直角三角形ABC中，则由勾股定理求得，，而在△ACD中，三边长分别为5,12,13，由，可得，由勾股定理的逆定理，可得△ACD为直角三角形，所以，故选B．7.B8.C9.解：分两种情形①当高AD在△ABC内部时，其解题过程同错解．②当高AD在△ABC外部时，如图2，在Rt△ABD中，由勾股定理，得，在Rt△ACD中，由勾股定理，得，∴BC=BD-CD=7，∴△ABC的周长为7+20+15=42．故选C．BABABACCDD图1图210.A二、填空题11.1012.5，12，13;8，15，17;11，60，61（此题答案不唯一）13.2414.515.3016.417.818.19.20.76分析：11.利用方体展开图和勾股定理求得1012.5，12，13;8，15，17;11，60，61（此题答案不唯一）13.2414.展开后，得三条相等的平行直线，利用勾股定理求解．15.3016.4分析：只需要把走“捷径”的路求出，以及原来走的路找到，就可以求出少走几步路．解：原来走的路为；3+4=7(m)设走“捷径”的路为xm，则有x=(m)少走的路为7-5=2(m)又因为2步为1米，所以他们仅仅少走了4步路．点评：本题十分有新意，十分自然，从同学们常遇到的走“捷径”问题出发，在应用勾股定理的同时，让我们自觉地多走几步路，就可以留下一片绿色．17.8析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8．本题实际是勾股定理的变形应用，只要发现其中的规律，解决问题不是很难的．解：根据勾股定理可知，正方形的面积②+正方形②′的面积=正方形①的面积（64×64）cm2，所以正方形②的面积为（×64×64）cm2；同理可求正方形③的面积为（×64×64）cm2；正方形④的面积为（×64×64）cm2；正方形⑤的面积为（×64×64）cm2；正方形⑥的面积为（×64×64）cm2；正方形⑦的面积为（×64×64）cm2．所以正方形⑦的边长为8cm．18.19.解析：本题须先构造△ABC并求出其面积，为此连结AC、BC，由图可知：S△ABC=BC·AD=AB·CE，利用勾股定理可得：AB==,将BC=4，AD=5，AB=代入上式可得：CE=．即点C到线段AB的距离CE=．20.76三、解答题21.∵四边形BCC′D′为直角梯形，∴S梯形BCC′D′=(BC+C′D′)·BD′=.∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，∴∠BAC=∠BAC′.∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°.∴S梯形BCC′D′=S△ABC+S△CAC′+S△D′AC′=ab+c2+ab=.∴=.∴a2+b2=c2.22.符合23.由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB又AC=AB=BD+AD=12+AD，在Rt△ADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故△ABC的周长为2AB+BC=cm24.由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD=km，∴最低造价为120000元25.设直角三角形的三边长分别为，如图，则米，米．abc又，即，abc所以（米）．解得（米）．ACPBE第26题图26.如图，将△APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE为等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+PB2=BE2,则∠BPE=90°，∴∠BACPBE第26题图27.解（1）若△ABC是锐角三角形，则有a2+b2＞c2.证明如下：如图2，过点A作AD⊥CB于D，设CD＝x，则DB＝a－x，由勾股定理有b2－x2＝c2－(a－x)2，即a2+b2＝c2+2ax，又a＞0，x＞0，所以a2+b2＞c2.（2）当△ABC是钝角三角形时，不妨假定∠C为钝角，则有a2+b2＜c2.证明如下：如图3，过点B作BD⊥AC，交AC的延长线于点D，设CD＝x，则有BD2＝a2－x2，根据勾股定理有AD2+BD2＝AB2，即(b+x)2+a2－x2＝c2，化简得：a2+b2+2bx＝c2，因为b＞0，x＞0，所以a2+b2＜c2.说明本题是一道探索