高数矩阵的概念及运算

高数矩阵的概念及运算第一页，共五十六页，2022年，8月28日本节知识点和教学要求知识点矩阵的概念-矩阵的加减和倍数矩阵的乘法-初等变换和矩阵的秩逆矩阵-求解可逆矩阵方程教学要求熟练掌握矩阵运算的基本法则熟练运用初等变换，进而能求矩阵的秩熟练运用初等变换求矩阵的逆熟练运用初等变换求解可逆矩阵方程第二页，共五十六页，2022年，8月28日2.2.1矩阵的概念引例某商店上半年电视销售情况(单位:百台)51吋47吋42吋一分店735二分店120求全年电视销售情况？51吋47吋42吋一分店1065二分店231某商店下半年电视销售情况(单位:百台)简记为第三页，共五十六页，2022年，8月28日定义矩阵——矩形数表

用大写黑体拉丁字母A,B,C等表示元素aij数学理论中，元素可以是数，也可以是其他对象;方阵：m=n时,称n阶方阵或n阶矩阵;1阶矩阵就是一个数.向量:1×n阶矩阵——行向量,

n×1阶矩阵——列向量.矩阵的简记法:(aij)mn用行向量表示用列向量表示这里，Aj为列向量，Bi为行向量。第四页，共五十六页，2022年，8月28日矩阵的相等矩阵的元素都一一对应相等时，两个矩阵才相等.行数和列数不相等的矩阵绝不能相等!行数和列数相同的矩阵称同型矩阵，即两个矩阵相等的先决条件是两者为同型矩阵。零矩阵矩阵O=(aij)mn的mn个元素均为零。即第五页，共五十六页，2022年，8月28日转置矩阵AT显然,n阶方阵的转置仍然是n阶方阵.(AT)T=A.第六页，共五十六页，2022年，8月28日系数矩阵和增广矩阵例2.2.1三元线性方程组的和分别是系数矩阵增广矩阵n元线性方程组的情况见教材127页。第七页，共五十六页，2022年，8月28日中国古代算书《九章算术》中的“方程”刘徽的《九章算术》中《方程》章是这样说的。“程，课程也。群物总杂,各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这段话的意思可以从《方程》章的第一道题看出,题目是“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉,下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何?”(秉——捆)第八页，共五十六页，2022年，8月28日“置上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗于右方;中、左行列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次,亦以直除……”(直除——减去对应的各数，到不能再减为止).

按照这种解法，列出下列算式：《方程》章的解法为第九页，共五十六页，2022年，8月28日用右行上禾秉数3遍乘中行各数，得6,9,3,102减去右行对应各数，得3,7,2,63，再减一次，得0,5,1,24，不能再减了(消去一个未知数——上禾每秉的实);又用3遍乘左行各数,得3,6,9,78减去右行对应各数，得0,4,8,39.如下:第十页，共五十六页，2022年，8月28日接着用中行“中禾不尽者遍乘左行而以直除……”，即接着消去左右两行中的中禾每秉的实,同现代的解一次方程组的加减消元法十分一致.最后:左方下禾不尽者，上为法，下为实，实即下禾之实。求中禾，以法乘中行下实，而除下禾之实。余如中禾秉数而一，即中禾之实。求上禾，亦以法乘右行下实，而除下禾、中禾之实。余如上禾秉数而一，即上禾之实。实皆如法，各得一斗。”法国的彪特在刘徽之后约一千三百年的《算术》一书中开始用不甚完整(没有认识负数)的加减消元法解联立一次方程组。前面解题过程中的方框即可视为矩阵,可见矩阵并以矩阵解一次方程组是我国古代数学家首创.第十一页，共五十六页，2022年，8月28日１)定义2.2.2矩阵的加减和倍数

1、矩阵的加法设有两个矩阵那末矩阵与的和记作，规定为第十二页，共五十六页，2022年，8月28日只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.例如(即引例)说明第十三页，共五十六页，2022年，8月28日(交换性)(结合性)(零矩阵的单位性)2)矩阵加法的运算规律(保持转置性)第十四页，共五十六页，2022年，8月28日(5)负矩阵的存在性和矩阵的减法称为矩阵A的负矩阵。这就是矩阵的减法第十五页，共五十六页，2022年，8月28日设某公司的职工按男女区分统计如下从矩阵A＋B中可了解该机械公司的职工总数情况：男性技术人员、生产工人、其他职工分别为150、400、15人，而女性职工分别为35、300、35人．我们分别用矩阵A和B来列出总公司和分公司的职工人数情况，然后汇总统计用矩阵A＋B表示，即总公司分公司技术人员生产工人其他技术人员生产工人其他男50100510030010女10200152510020第十六页，共五十六页，2022年，8月28日例2.2.4设容易看出,有第十七页，共五十六页，2022年，8月28日1)定义2、矩阵的倍数(即数与矩阵相乘)第十八页，共五十六页，2022年，8月28日矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.（设为矩阵，为数）2)数乘矩阵的运算规律(对加法的分配性)(保持转置性)(结合性)第十九页，共五十六页，2022年，8月28日引例1计算过程可表示如下:2.2.3矩阵的乘法一个小学生买了12支铅笔,每支0.3元;练习本15本,每本0.2元;蓝墨水一瓶,价0.8元.共花去多少钱?这是一行矩阵与一列矩阵的乘法.第二十页，共五十六页，2022年，8月28日能用矩阵表示计算过程吗?是否更简约?引例2上例,若还有一个小学生买了8支铅笔;练习本10本;蓝墨水2瓶,各样物品价格相同.两人各自共花去多少钱?若另一商店的价格是用矩阵如何表示?有何优点?当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵了第二十一页，共五十六页，2022年，8月28日引例3某商店上半年电视经营情况51吋47吋42吋一分店735二分店120某商店上半年电视销售情况(单位:百台)简记为51吋47吋42吋进货价321.5销售价3.32.21.6(单位:千元/台)第二十二页，共五十六页，2022年，8月28日这个结果的意义是什么?进货金额销售金额利润一分店34.537.73.2二分店77.70.7(数量矩阵×价格矩阵)(单位：十万元)第二十三页，共五十六页，2022年，8月28日并把此乘积记作设是一个矩阵，是一个矩阵，那末规定矩阵与矩阵的乘积是一个矩阵，其中1.矩阵的乘法定义第二十四页，共五十六页，2022年，8月28日设第二十五页，共五十六页，2022年，8月28日故解第二十六页，共五十六页，2022年，8月28日

设A,B分别是n1和1n矩阵,且计算AB和BA.第二十七页，共五十六页，2022年，8月28日解第二十八页，共五十六页，2022年，8月28日例如不存在.注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.第二十九页，共五十六页，2022年，8月28日矩阵乘积的认识

定义4设A是一个mn矩阵,B是一个ns矩阵则A的第i个行向量与B的第j个列向量之乘积为一个数，这个数就是AB的第i行第j列的元素,且第三十页，共五十六页，2022年，8月28日定义

由阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作或运算性质方阵的行列式即同阶方阵乘积的行列式等于各自行列式的乘积。第三十一页，共五十六页，2022年，8月28日因为所以如果有2.矩阵的乘法和线性方程组的关系就有即第三十二页，共五十六页，2022年，8月28日一般的线性方程组可以非常简单地表示为矩阵方程这里,第三十三页，共五十六页，2022年，8月28日（其中为数）;若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且3.矩阵乘法的性质（运算律）第三十四页，共五十六页，2022年，8月28日例

设则从此例还可以看到:两个非零的矩阵,其乘积可能等于零.因此在矩阵等式中,不能用消去律.注意矩阵不满足交换律，即：×第三十五页，共五十六页，2022年，8月28日则有但也有例外，比如设这属于特例，称之为“可交换矩阵”。第三十六页，共五十六页，2022年，8月28日4.单位矩阵——如同数和乘法中的1单位矩阵是一个方阵,并且除左上角到右下角的对角线(称为主对角线)上的元素均为1以外,其他元素全都为0,即这里,A是m×n阶矩阵,上式任何矩阵左乘或右乘一个单位矩阵,其积仍为该矩阵.可验证第三十七页，共五十六页，2022年，8月28日解法1例2.2.8已知第三十八页，共五十六页，2022年，8月28日解法2第三十九页，共五十六页，2022年，8月28日五、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘（矩阵的倍数）矩阵与矩阵相乘（要逐步熟悉）转置矩阵方阵的行列式对称阵与伴随矩阵共轭矩阵第四十页，共五十六页，2022年，8月28日

（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律.

（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.注意作业第四十一页，共五十六页，2022年，8月28日思考题成立的充要条件是什么?第四十二页，共五十六页，2022年，8月28日思考题解答答故成立的充要条件为第四十三页，共五十六页，2022年，8月28日作业(教材第143页)2.2.4-2.2.6同学们再见！第四十四页，共五十六页，2022年，8月28日九章算术卷八第四十五页，共五十六页，2022年，8月28日解*

例2第四十六页，共五十六页，2022年，8月28日由此归纳出小结第四十七页，共五十六页，2022年，8月28日当时，显然成立.假设时成立，则时，用数学归纳法证明第四十八页，共五十六页，2022年，8月28日所以对于任意的都有第四十九页，共五十六页，2022年，8月28日定义

把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例１、转置矩阵四、矩阵的其它运算(已并入前面各项,其它的本书不再深入)第五十页，共五十六页，2022年，8月28日转置矩阵的运算性质第五十一页，共五十六页，2022年，8月28日3、对称阵与伴随矩阵定义设为阶方阵，如果满足，即那末称为对称阵.对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等.说明第五十二页，共五十六页，2022年，8月28日例6设列矩阵满足证明第五十三页，共五十六页，2022年，8月28日例7证明任一阶