演示文稿应用统计学置信区间估计

演示文稿应用统计学置信区间估计1现在是1页\一共有32页\编辑于星期六（优选）应用统计学置信区间估计现在是2页\一共有32页\编辑于星期六33

由于点估计存在误差，因此仅对总体参数作出点估计是不够的，还需要了解估计的精度及其误差。参数的区间估计就是在给定的可信度下，估计未知参数的可能取值范围。设

为总体分布的未知参数，若由样本确定的两个统计量和对给定的概率

(0<<1)，满足则称随机区间为的置信度为1-的置信区间。

区间估计现在是3页\一共有32页\编辑于星期六4一.总体方差

2的区间估计1.2

分布设总体

X～N(0,1)，

X1,X2,···,Xn

为

X

的一个样本，则它们的平方和为服从自由度为n

的

2分布，记为

2～

2(n)

§6.1单个正态总体均值和方差的区间估计现在是4页\一共有32页\编辑于星期六5若对于随机变量X1,X2,···,Xn，存在一组不全为零的常数c1,c2,···,cn，使c1X1+c2X2+···+cnXn=0则称变量X1,X2,···,Xn

线性相关，或称它们间存在一个线性约束条件；若X1,X2,···,Xn间存在k个独立的线性约束条件，则它们中仅有

n-k个独立的变量，并称平方和的自由度为n-k。“自由度”的含义现在是5页\一共有32页\编辑于星期六62

分布密度函数的图形xf(x)on=1n=4n=10

现在是6页\一共有32页\编辑于星期六7由给定的概率和自由度，可查表得到

2分布的右侧

分位点为

2分布中满足下式的的右侧分位点：f(x)xo

现在是7页\一共有32页\编辑于星期六8语法规则如下：格式：CHIINV(,n)功能：返回可用Excel的统计函数CHIINV返回用Excel求的值。现在是8页\一共有32页\编辑于星期六92.总体方差

2的区间估计

设总体X~N(μ,σ2)，/2/21-f(x)x0

从而2的置信度为1-的置信区间为：由～和S2分别为样本均值和样本方差。可得X1,X2,···,Xn为X的容量为n的样本，可以证明，

现在是9页\一共有32页\编辑于星期六10【例2】求例1中元件寿命方差

2的

95%

置信区间。解：由例1，S2=196.52，n=10，/2=0.025，1-/2=0.975,

故所求

2的置信区间为

(135.22，358.82)

(n-1)S2/

(n-1)S2/

=9196.52/19.023=9196.52/2.7=135.22=358.82现在是10页\一共有32页\编辑于星期六11课堂练习1

某车床加工的缸套外径尺寸X~N(μ,σ

2)，现随机测得的10个加工后的某种缸套外径尺寸(mm)如下：

90.01，90.01，90.02，90.03，89.9989.98，89.97，90.00，90.01，89.99()

求σ

2的置信度为95%的置信区间。现在是11页\一共有32页\编辑于星期六121.标准正态分布的右侧分位点ZZ是标准正态分布中满足下式的右侧分位点：

P{Z>Z}=0f(x)x

z1-二.总体均值μ的区间估计如图所示，(Z)=1-，因此，可由正态分布表得到Z

。如：要查Z0.025，由正态分布表可查得：(1.96)=0.975=1-0.025，故Z0.025=1.96

现在是12页\一共有32页\编辑于星期六13由正态分布的性质可得对给定的置信度1-，0f(x)xz/2/2-z/2/21-～N(0,1)由此可得从而的置信度为1-的置信区间为为便于记忆和理解，将

的置信区间表示为如下形式：

2.σ

2已知时总体均值μ的区间估计有其中d

称为估计的允许误差。现在是13页\一共有32页\编辑于星期六14可用Excel的统计函数NORMSINV返回Z。语法规则如下：格式：NORMSINV(1-)功能：返回Z的值。说明：NORMSINV()返回的是Z1-

的值。用Excel求Zα现在是14页\一共有32页\编辑于星期六153.t分布设

X～N(0,1)，Y～

2(n)，且X与Y相互独立，则随机变量服从自由度为n的t分布，记为t～t(n)。

现在是15页\一共有32页\编辑于星期六16t

分布密度函数的图形标准正态分布分布是t分布的极限分布。当n很大时，t分布近似于标准正态分布。

xf(x)0n=1n=4n=10n=∞，N(0,1)现在是16页\一共有32页\编辑于星期六170xf(x)t分布的右侧

分位点

t(n)

t(n)为t分布中满足下式的右侧

分位点：

P{

t>t

(n)}=

由给定的概率，可查表得到t(n)。由t

分布的对称性，可得：t1-(n)=-t(n)。t(n)t1-(n)=-

t(n)

现在是17页\一共有32页\编辑于星期六18可用Excel的统计函数TINV返回t

(n)。语法规则如下：格式：TINV(2,n)功能:返回t

(n)的值。说明：TINV(,n)返回的是t/2(n)的值。用Excel求t/2(n)现在是18页\一共有32页\编辑于星期六194.

2未知时总体均值

μ的区间估计～t(n-1)设总体X~N(μ,σ

2)，和S2分别为样本均值和样本方差。由此可得

的置信度为1-的置信区间为因此，对给定的置信度1-，有即X1,X2,···,Xn为X的容量为n的样本，可以证明：现在是19页\一共有32页\编辑于星期六20用样本比例代替总体比例，设总体比例为P，则当nP和n

(1-P)都大于5时，样本成数p

近似服从均值为P，方差为P

(1-P)/n的正态分布。从而对给定的置信度1-，由

可得总体成数P的置信度为1-的置信区间为§6.2总体比例的区间估计现在是20页\一共有32页\编辑于星期六21【例3】求例1中元件平均寿命

的95%置信区间。

故所求

的95%置信区间为解：由例1，/2=0.025，=1423.1，S=196.5，=1-0.95=0.05，n=10，查表得t0.025(9)=2.2622

可用Excel的【工具】→“数据分析”→“描述统计”求解正态总体均值

的置信区间。现在是21页\一共有32页\编辑于星期六22课堂练习2：

某车床加工的缸套外径尺寸X~N(μ,σ

2)，下面是随机测得的10个加工后的缸套外径尺寸(mm)，

90.01，90.01，90.02，90.03，89.9989.98，89.97，90.00，90.01，89.99

（，）求μ的置信度为95%的置信区间；现在是22页\一共有32页\编辑于星期六23【例4】某厂为了解产品的质量情况，随机抽取了300件产品进行检验，其中有5件次品，求该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间。解：产品次品率为比例，=1-0.95=0.05，

/2=0.025，n=300,，查表得Z0.025=1.96，样本成数

该厂产品次品率的置信度为95%的置信区间为

现在是23页\一共有32页\编辑于星期六24案例思考题国外民意调查机构在进行民意调查时，通常要求在95%的置信度下将调查的允许误差(即置信区间的d值)控制在3%以内。⑴问为满足该调查精度要求，至少需要多大的样本？⑵如果要求置信度达到99%，调查误差仍为3%，此时至少需要多大的样本？

现在是24页\一共有32页\编辑于星期六25案例思考题解答(1)本案例中，故需要的样本容量至少为

现在是25页\一共有32页\编辑于星期六26案例思考题解答(2)如果要求置信度达到99%，则Z/2=Z0.005=2.575，

现在是26页\一共有32页\编辑于星期六27§6.3样本容量确定前面的分析都是在给定的样本容量和样本数据下求置信区间。但在实际应用中，应当在随机抽样前就确定所需抽取的样本容量。抽取的样本容量过大，虽然可以提高统计推断的精度，但将增加不必要的人力、物力、费用和时间开支；如果抽取的样本容量过小，则又会使统计推断的误差过大，推断结果就达不到必要的精度要求。确定样本容量的原则——在满足所需的置信度和允许误差条件(置信区间的d

值)下，确定所需的最低样本容量。

现在是27页\一共有32页\编辑于星期六281.总体均值区间估计时样本容量的确定在给定置信度和允许误差d

的条件下，由可得

其中总体标准差或样本标准差也是未知的，通常可以先通过小规模抽样作出估计。由于使用的是近似公式，可知实际采用的最低样本容量应比计算结果稍大。

现在是28页\一共有32页\编辑于星期六29【例6】在例3元件平均寿命的区间估计问题中，要求⑴在95%的置信度下，使估计的允许误差不超过其平均寿命的10%，并设已得到例1的先期抽样数据。求所需的最低样本容量。⑵其他条件不变，在99%的置信度下求所需最低样本容量。解：⑴由例1，S=196.5，d=1423/10=142.3

可知取n=10已能满足所给精度要求。⑵

可知此时取n=20就能满足所给精度要求。

在总体均值的区间估计中，通常n=30就称为大样本。在大样本时，无论总体服从什么分布，都可用前述公式进行区间估计。

现在是29页\一共有32页\