工程矩阵理论2010工科硕士

工程矩阵理论2010工科硕士第1页/共354页2教材

工程矩阵理论张明淳，东南大学出版社参考书

1.高等代数，北京大学，高等教育出版社2.MatrixAnalysis,R.A.HornandC.R.Johnson,CambridgeUniversityPress,2004(中译本，杨奇译，机械工业出版社）第2页/共354页3要求重点是基本理论，基本方法；结合授课内容，熟悉课本；通过例题，理解概念；通过练习题，熟悉理论和方法。第3页/共354页4本课程大致内容第0章复习与引深第1章线性空间与线性变换第2章内积空间、等距变换第3章矩阵的相似标准形第4章Hermite二次型第5章范数及矩阵函数第6章矩阵的广义逆第4页/共354页5矩阵理论第5页/共354页6第0章复习与引深矩阵运算线性方程组向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第6页/共354页71.矩阵的乘法中应注意的问题(1)存在非零零因子例1

第7页/共354页8(2)不可交换第8页/共354页9（3）由此导致的一些问题乘法消去律不成立一些代数恒等式对矩阵不再成立第9页/共354页10例3第10页/共354页11（4）分块矩阵设在一定条件下，也可以写成分块矩阵将这两个矩阵分块：其中，第11页/共354页12条件：上式有意义第12页/共354页13一些常见的分块形式1.第13页/共354页14第14页/共354页15第15页/共354页16第16页/共354页17第17页/共354页182.线性方程组1.2.

3.

第18页/共354页19齐次线性方程组的基础解系对于齐次线性方程组1.有非零解当且仅当第19页/共354页20例5第20页/共354页21简化阶梯形矩阵第21页/共354页22续例5第22页/共354页23Gauss消元法第23页/共354页24例6第24页/共354页25例7第25页/共354页263.向量组的极大无关组和秩第26页/共354页27例8第27页/共354页284.矩阵的秩矩阵A的秩=A中非零子式的最高阶数=A的行（列）向量组的秩有关矩阵的秩的不等式：第28页/共354页29例9第29页/共354页30例10第30页/共354页31矩阵的等价标准形第31页/共354页32第32页/共354页33例12：第33页/共354页34

线性空间和线性变换第一章

第34页/共354页35第一节线性空间的定义用F表示实数全体（R）或复数全体（C）.第35页/共354页36如果满足下述公理，

则称V是数域F上的线性空间，

V中的元素称为向量。第36页/共354页37例1第37页/共354页38例1（续）第38页/共354页39线性空间的性质第39页/共354页40第二节基、维数和坐标如：

在线性空间中可以定义线性组合、线性表示、线性相关、线性无关，向量组的极大线性无关组、秩等概念。第40页/共354页41一些重要结论第41页/共354页42第42页/共354页43例2第43页/共354页44定义（基，维数）第44页/共354页45注：第45页/共354页46例3第46页/共354页47定理1第47页/共354页48定义（坐标）：第48页/共354页49例5第49页/共354页50例6第50页/共354页51注线性空间的基是有序的。基相当于几何空间中的坐标系。

第51页/共354页52定理2第52页/共354页53例7第53页/共354页54例8第54页/共354页55形式记号第55页/共354页56形式记号第56页/共354页57形式记号的性质第57页/共354页58例9第58页/共354页59定义(过渡矩阵)第59页/共354页60过渡矩阵的性质第60页/共354页61例10第61页/共354页62定理3(坐标变换公式)第62页/共354页63例11第63页/共354页64第三节子空间,交与和第64页/共354页65定理1第65页/共354页66两类重要的子空间第66页/共354页67命题：第67页/共354页68例12第68页/共354页69例13第69页/共354页70例14第70页/共354页71例15第71页/共354页72定理2第72页/共354页73子空间的交与和第73页/共354页74子空间的交与和第74页/共354页75注：交与并的区别第75页/共354页76定理4（维数定理）第76页/共354页77例16第77页/共354页78例17第78页/共354页79例18第79页/共354页80直和第80页/共354页81定理5第81页/共354页82例19第82页/共354页83例20第83页/共354页84多个子空间的直和第84页/共354页85

定理6第85页/共354页86

第86页/共354页87第四节线性映射第87页/共354页88第88页/共354页89定义：第89页/共354页90例21第90页/共354页91例22第91页/共354页92例23第92页/共354页93注第93页/共354页94线性映射的性质：第94页/共354页95第95页/共354页96例24第96页/共354页97例25第97页/共354页98线性变换的运算它们都是线性变换。第98页/共354页99线性变换的运算的性质：第99页/共354页100线性映射（变换）的矩阵：第100页/共354页101例26第101页/共354页102例27第102页/共354页103定理8第103页/共354页104定理9第104页/共354页105例28第105页/共354页106定理10其实，对线性映射的矩阵有类似的性质。第106页/共354页107第五节线性映射的值域及核子空间第107页/共354页108值域的计算第108页/共354页109核子空间的计算第109页/共354页110定理12（线性变换的维数定理）第110页/共354页111注：对无限维空间，推论不成立。（反例）第111页/共354页112例29第112页/共354页113定义（不变子空间）：第113页/共354页114为何要讨论不变子空间？第114页/共354页115为何要讨论不变子空间？第115页/共354页116例30第116页/共354页117线性空间的同构第117页/共354页118第118页/共354页119第119页/共354页120第120页/共354页121第二章内积空间、等距变换第121页/共354页122第一节基本概念本章的目的：将内积推广到抽象的线性空间约定：数域F指实数域R或复数域C第122页/共354页123例1第123页/共354页124内积的性质第124页/共354页125度量矩阵第125页/共354页126向量的模（长度）第126页/共354页127C-B不等式第127页/共354页128三角不等式第128页/共354页129正交性第129页/共354页130标准正交基第130页/共354页131标准正交基下的内积第131页/共354页132Schmidt正交化方法第132页/共354页133例2第133页/共354页134例3第134页/共354页135酉矩阵第135页/共354页136定理1第136页/共354页137Schmidt正交化方法的应用第137页/共354页138注第138页/共354页139矩阵的UT分解第139页/共354页140例4第140页/共354页141定理2第141页/共354页142第二节正交补空间第142页/共354页143正交补空间第143页/共354页144正交补空间的计算第144页/共354页145正交补空间的计算第145页/共354页146例5第146页/共354页147一个几何问题空间中点到直线的距离：·第147页/共354页148空间中向量到子空间的距离：第148页/共354页149第149页/共354页150例6第150页/共354页151例7第151页/共354页152最小二乘解第152页/共354页153第三节等距变换第153页/共354页154例8第154页/共354页155定理7第155页/共354页156关于直线的反射第156页/共354页157欧氏空间中的反射第157页/共354页158镜像变换第158页/共354页159第159页/共354页160第三章

矩阵的相似标准形第160页/共354页161矩阵与线性变换本章的目的：对给定的矩阵，找一最简单的矩阵与之相似。对给定的线性空间上的线性变换，找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第161页/共354页162第一节特征值与特征向量第162页/共354页163矩阵的相似对角化第163页/共354页164线性变换的特征值、特征向量第164页/共354页165线性变换的可对角化问题第165页/共354页166例1第166页/共354页167线性变换的特征值、特征向量的计算第167页/共354页168例2第168页/共354页169定理1第169页/共354页170特征多项式的计算第170页/共354页171主子式与子式第171页/共354页172主子式与子式第172页/共354页173特征多项式的计算第173页/共354页174矩阵的迹第174页/共354页175例3第175页/共354页176化零多项式第176页/共354页177第二节Hamilton-Cayley定理第177页/共354页178例4第178页/共354页179例5第179页/共354页180最小多项式第180页/共354页181定理5第181页/共354页182例6第182页/共354页183例7第183页/共354页184例8第184页/共354页185第三节可对角化的条件目的：对给定的矩阵，判断其是否相似于对角阵；对给定的线性空间上的线性变换，判断是否存在空间的一组基，使得其矩阵是对角阵。第185页/共354页186已知的判别方法第186页/共354页187线性变换的可对角化问题第187页/共354页188特征子空间第188页/共354页189可对角化的条件第189页/共354页190例9第190页/共354页191定理12第191页/共354页192定理13第192页/共354页193例10第193页/共354页194定理14第194页/共354页195例11第195页/共354页196例12第196页/共354页197第四节Jordan标准形问题：如果给定的矩阵不与任何对角阵相似，如何找一最简单的矩阵与之相似。等价的问题：若线性空间上给定的线性变换不可对角化，如何找线性空间的一组基，使得线性变换的矩阵最简单。第197页/共354页198Jordan形矩阵第198页/共354页199例13第199页/共354页200Jordan标准形的存在性、唯一性第200页/共354页201唯一性的证明思路第201页/共354页202定理15第202页/共354页203例14第203页/共354页204例15第204页/共354页205例16第205页/共354页206分块矩阵的最小多项式第206页/共354页207Jordan标准形与最小多项式第207页/共354页208例17第208页/共354页209例18第209页/共354页210例19第210页/共354页211例20第211页/共354页212例21第212页/共354页213存在性的证明思路第213页/共354页214存在性的证明思路第214页/共354页215存在性的证明思路第215页/共354页216存在性的证明思路第216页/共354页217存在性的证明思路第217页/共354页218存在性的证明思路第218页/共354页219存在性的证明思路第219页/共354页220存在性的证明思路第220页/共354页221存在性的证明思路第221页/共354页222第五节特征值的分布第222页/共354页223定理20第223页/共354页224例22第224页/共354页225K-区第225页/共354页226例23第226页/共354页227定理21第227页/共354页228例24第228页/共354页229谱半径的估计第229页/共354页230例25第230页/共354页231例26第231页/共354页232

应用第232页/共354页233对角占优矩阵第233页/共354页234对角占优矩阵第234页/共354页235第四章Hermite二次型第235页/共354页236第一节H阵、正规阵Hermite二次型与Hermite矩阵标准形惯性定理（唯一性）正定性第236页/共354页237Hermite矩阵、Hermite二次型第237页/共354页238Hermite矩阵、Hermite二次型第238页/共354页239实对称矩阵的性质第239页/共354页240H阵的性质第240页/共354页241正规阵第241页/共354页242上三角的正规阵定理4：第242页/共354页243定理5第243页/共354页244推论第244页/共354页245例1第245页/共354页246例2第246页/共354页247第二节Hermite二次型第247页/共354页248第248页/共354页249标准形第249页/共354页250标准形配方法（初等变换法）酉变换法：第250页/共354页251惯性定理第251页/共354页252惯性定理第252页/共354页253惯性定理第253页/共354页254规范形第254页/共354页255共轭合同的充分必要条件第255页/共354页256例3第256页/共354页257正定性第257页/共354页258如何建立判别方法第258页/共354页259定理7第259页/共354页260例4第260页/共354页261例5第261页/共354页262例6第262页/共354页263其它有定性第263页/共354页264如何建立判别方法第264页/共354页265定理8第265页/共354页266例7第266页/共354页267定理9（奇值分解）第267页/共354页268奇值分解定理的证明第268页/共354页269奇值分解定理的证明第269页/共354页270奇值分解定理的证明第270页/共354页271奇值分解定理的证明第271页/共354页272第三节Rayleigh商第272页/共354页273定理10第273页/共354页274例8第274页/共354页275定理11第275页/共354页276定理12（Courant极大极小原理）第276页/共354页277第五章范数和矩阵函数第277页/共354页278本章的目的矩阵函数范数矩阵函数的应用第278页/共354页279第一节范数的概念和例子第279页/共354页280内积与范数第280页/共354页281Cn中范数的例子第281页/共354页282更多的例子第282页/共354页283更多的例子第283页/共354页284范数与极限第284页/共354页285范数的可比较性第285页/共354页286第二节矩阵范数第286页/共354页287第287页/共354页288范数的相容性第288页/共354页289定理2第289页/共354页290算子范数第290页/共354页291算子范数第291页/共354页292定理3第292页/共354页293定理4第293页/共354页294例1第294页/共354页295例2第295页/共354页296例3第296页/共354页297第三节收敛定理第297页/共354页298矩阵序列的收敛性第298页/共354页299幂序列第299页/共354页300谱半径与范数第300页/共354页301矩阵幂级数第301页/共354页302矩阵幂级数第302页/共354页303第四节矩阵函数第303页/共354页304几个重要的矩阵函数第304页/共354页305利用定义计算第305页/共354页306例5第306页/共354页307Jordan形矩阵的函数第307页/共354页308Jordan形矩阵的函数第308页/共354页309Jordan块的函数第309页/共354页310Jordan块的函数第310页/共354页311Jordan块的函数第311页/共354页312例6第312页/共354页313利用Jordan标准形计算第313页/共354页314例7第314页/共354页315定理11第315页/共354页316例8第316页/共354页317待定系数法第317页/共354页318待定系数法第318页/共354页319例9第319页/共354页320例10第320