2020版高考数学第十一篇复数算法推理与证明(选修2)第4节直接证明与间接证明数学归纳法应用能力提

第4节直接证明与间接证明、数学概括法【选题明细表】知识点、方法题号综合法1,3,9,11,12剖析法4,6,8反证法2,7,13数学概括法5,10,14,15基础稳固(建议用时:25分钟)1.若a,b∈R,则下边四个式子中恒建立的是(B)222(A)lg(1+a)>0(B)a+b≥2(a-b-1)(C)a2+3ab>2b2(D)<分析:在B中,因为a2+b2-2(a-b-1)=(a2-2a+1)+(b2+2b+1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,因此a2+b2≥2(a-b-1)恒建立.应选B.用反证法证明命题“若a+b+c为偶数,则自然数a,b,c中恰有1个或3个偶数”时正确反设为(D)(A)自然数a,b,c都是奇数自然数a,b,c都是偶数自然数a,b,c中恰有两个偶数自然数a,b,c中都是奇数或恰有两个偶数分析:因为“自然数a,b,c中恰有1个或3个偶数”的否认是“自然数a,b,c都是奇数或恰有两个偶数”,应选D.3.已知m>1,a=-,b=-,则以下结论正确的选项是(B)(A)a>b(B)a<b(C)a=b(D)a,b大小不定分析:因为a=-=,b=-=.而+>+>0(m>1),因此<,即a<b.应选B.4.剖析法又称执果索因法,若用剖析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证<a”索的因应是(C)(A)a-b>0(B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0(D)(a-b)(a-c)<0分析:由题意知<a?b2-ac<3a2(a+c)2-ac<3a2a2+2ac+c2-ac-3a2<0-2a2+ac+c2<02a2-ac-c2>0(a-c)(2a+c)>0?(a-c)(a-b)>0.应选C.5.用数学概括法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N*)能被9整除”,要利用概括假定证n=k+1时的状况,只要睁开(A)(A)(k+3)

33

(B)(k+2)

333(C)(k+1)

(D)(k+1)+(k+2)分析:假定当n=k时,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.当n=k+1时,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上边的概括假定,只要将(k+3)3睁开,让其出现k3即可.应选A.6.+与2+的大小关系为.分析:要比较+与2+的大小,只要比较(+)2与(2+)2的大小,只要比较6+7+2与8+5+4的大小,只要比较与2的大小,只要比较42与40的大小,因为42>40,因此+>2+.答案:+>2+7.用反证法证明命题“a,b∈N*,ab能够被5整除,那么a,b中起码有一个能被5整除”,那么假定的内容是.答案:都不可以被5整除8.以下条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,此中能使+≥2建立的条件的序号是.分析:要使+≥2,只要>0建立,即a,b不为0且同号即可,故①③④能使+≥2建立.答案:①③④能力提高(建议用时:25分钟)9.已知函数f(x)=()x,a,b是正实数,A=f(),B=f(),C=f(),则A,B,C的大小关系为(A)(A)A≤B≤C(B)A≤C≤B(C)B≤C≤A(D)C≤B≤A分析:因为≥≥,又f(x)=()x在R上是减函数,因此f()≤f()≤f().应选A.平面内有n条直线,最多可将平面分红f(n)个地区,则f(n)的表达式为(C)(A)n+1(B)2n(C)(D)n2+n+1分析:1条直线将平面分红1+1个地区;2条直线最多可将平面分红1+(1+2)=4个地区;3条直线最多可将平面分红1+(1+2+3)=7个地区;;n条直线最多可将平面分红1+(1+2+3++n)=1+=个地区.应选C.11.设a,b,c均为正实数,则三个数a+,b+,c+(D)(A)都大于2(B)都小于2(C)起码有一个不大于2(D)起码有一个不小于2分析:因为a>0,b>0,c>0,因此(a+)+(b+)+(c+)=(a+)+(b+)+(c+)≥6,当且仅当a=b=c=1时,“=”建立,故三者不能都小于2,即起码有一个不小于2.应选D.12.假如a+b>a+b,则a,b应知足的条件是.分析:因为a+b-(a+b)=(a-b)+(b-a)=(-)(a-b)=(

-

)2(

+).因此当

a≥0,b

≥0且

a≠b时,(

-

)2(

+)>0.因此

a

+b

>a

+b

建立的条件是

a≥0,b

≥0且

a≠b.答案:a≥0,b≥0且a≠b设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列{Sn}不是等比数列;(2)数列{Sn}是等差数列吗?为何?证明:假定数列{Sn}是等比数列,则=S1S3,即(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),因为a1≠0,因此(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q≠0矛盾,因此数列{Sn}不是等比数列.(2)解:当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列,不然2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q≠0矛盾.综上,当q=1时,数列{Sn}是等差数列;当q≠1时,数列{Sn}不是等差数列.14.设n∈N*,xn是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.求数列{xn}的通项公式;(2)记Tn=,证明:Tn≥.(1)解:y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1,2n+2曲线y=x+1在点(1,2)处的切线斜率为2n+2.进而切线方程为y-2=(2n+2)(x-1).令y=0,解得切线与x轴交点的横坐标xn=1-=.因此数列{xn}的通项公式为xn=.证明:由题设和(1)中的计算结果知Tn==()2()2()2.当n=1时,T1=.当n≥2时,因为=()2=>.因此Tn>()2××××=.综上可得对随意的n∈N*,均有Tn≥.15.已知数列{an}的前n项和Sn知足:Sn=+-1,且an>0,n∈N*.求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;证明(1)中的猜想.(1)解:当n=1时,由已知得a1=+-1,即+2a1-2=0.因此a1=-1(a1>0).当n=2时,由已知得a+a=+-1,12将a1=-1代入并整理得+2a2-2=0.因此a2=-(a2>0).同理可得a=-.3猜想an=-(n∈N*).(2)证明:①由