电子线路基础第6章

第6章信号的运算和处理电路6.1比例运算电路6.2基本运算电路6.3对数指数运算电路6.4模拟乘法器6.5有源滤波电路6.1比例运算电路6.1.1反相比例运算电路图6-1反相比例运算电路图6-1是反相比例运算电路。输入电压ui通过R1接入运放的反相输入端，R1的作用与信号源内阻类似。输出电压uo通过反馈电阻Rf回送到运放的反相输入端，电路中引入的是电压并联负反馈。同相输入端通过电阻Rp接地，Rp为补偿电阻，用来保证集成运放输入级差分放大电路的对称性，Rp=R1∥Rf。

根据理想运放工作在线性区的“虚断路”的概念，i+=i_=0，可知电阻Rp上没有压降，则u+=0。又由“虚短路”的概念，u+=u-，可得u+=u-=0

(6-1)式(6-1)说明集成运放两个输入端的电位均为零，如同该两点接地一样，而事实上并不是真正接地，故称为“虚地”。“虚地”是反相比例运算电路的重要特征，它表明了运放两输入端没有共模信号电压，因此对集成运放的共模参数要求较低。

根据i-=0，由图可见因为u-=0，所以输出电压与输入电压的关系为式(6-2)表明电路的输出电压与输入电压成正比，负号表示输出信号与输入信号反相，故称为反相比例运算电路。由式（6-2）可得电路的电压放大倍数为可见反相比例运算电路的电压放大倍数仅由外接电阻Rf与R1之比来决定，与集成运放参数无关。由于反相输入端“虚地”，根据输入电阻的定义，可得由式(6-4)可知，虽然理想运放的输入电阻为无穷大，但由于电路引入的是并联负反馈，因此反相比例运算电路的输入电阻却不大。因为电路引入的是深度电压负反馈，并且1+AF=∞，所以输出电阻Ro=0。6.1.2同相比例运算电路图6-2同相比例运算电路图6-2是同相比例运算电路。输入信号通过Rp接入运放的同相输入端，电路引入的是电压串联负反馈，故可认为输入电阻为无穷大，输出电阻为零。根据“虚短路”和“虚断路”的概念，可得(6-5)式(6-5)表明集成运放有共模输入电压ui，这是同相比例运算电路的主要特征。它要求在组成同相比例运算电路时，应选用共模抑制比高，最大共模输入电压大的集成运放。因为净输入电流i-=0，所以iR1=iF，得将上式带入式（6-5），整理后可得由此可得同相比例运算电路的电压放大倍数为式(6-7)表明输出电压与输入电压成正比，并且相位相同，故称为同相比例运算电路。同相比例运算电路的放大倍数总是大于或等于1。(6-7)(6-6)将图6-2电路中的Rf短路，R1开路，就构成图6-3所示的电压跟随器。由图可知，uo=u-，而u-=u+=ui，因此uo=ui

(6-8)因为理想运放的开环差模增益为无穷大，所以电压跟随器的跟随特性比射极输出器好。6.2基本运算电路6.2.1加法电路1.反相输入加法运算电路反相输入加法运算电路如图6-4所示，与基本反相比例运算电路不同之处在于反相输入端同时有多路信号输入。由图可得：因为if=i1+i2+i3，所以又由于故可见，输出电压uo正比于三个输入电压ui1，ui2，ui3之和，因比例系数为负，所以称该电路为反相加法器电路。图中为了使运放电路的两输入端电阻匹配，电阻R=R1∥R2∥R3∥Rf。图6-4反相加法器2.同相输入加法运算电路同相输入加法运算电路如图6-5所示。由同相比例运算电路可知由上式可把求uo问题转化为求同相输入端电压u+问题，利用线性叠加定理可得图6-5同相加法器式(6-11)中，u1+，u2+及u3+分别为运放同相输入端在ui1，ui2，ui3单独作用时，所获得的电压值。将式(6-11)代入式(6-10)得:令R=R1∥R2∥R3，则式(6-12)中K1=R/R1,K2=R/R2,K3=R/R3。式(6-12)表明输出电压uo与输入电压之和成正比例，可完成同相加法功能。6.2.2减法电路图6-6减法运算电路当反相端输入信号ui1单独作用时，令ui2=0，此时电路为反相比例运算电路，输出电压uo1为(6-13)当同相端输入信号ui2单独作用时，令ui1=0，此时电路为同相比例运算电路。由于u+=u-，且由图可得则输出电压uo2为(6-14)利用线性叠加定理，当ui1，ui2共同作用时，输出电压uo为(6-15)为了保证运放的两个输入端对地的电阻平衡，并消除共模信号，通常要求两输入端电阻严格匹配，即满足则输出电压可简化为上式表明输出电压与两输入电压之差成正比，故图6-6也称为差分比例运算电路。当R1=R2=R3=Rf

时，有uo=ui2-ui1

(6-16)实现了减法运算。图6-6所示减法运算电路结构简单，但存在两个缺点：一是电阻的选取和调整不方便；二是对于每个信号源来说，输入电阻较小。在实际应用中，通常采用两级电路实现减法运算。如图6-8所示，请读者自行推导验证。(6-17)当R1=Rf2，R3=Rf1时，可得图6-8高输入电阻的减法运算电路6.2.3积分电路图6-9几种常用积分波形变换对照要实现上述积分可采用如图6-10所示的积分运算电路。由于i+=i-=0，可得u+=0，又因为u+=u-，可得u-=0，因此故(6-18)式(6-18)表示输出电压uo与输入电压ui的积分成正比，故能完成积分功能。如果需要求某一时间段［t1

t2］内的积分值，则有(6-19)6.2.4微分电路如果将图6-10积分电路中反相输入端的电阻与反馈网络中的电容位置互换，就构成了微分运算电路，如图6-11所示。由图可知所以式(6-20)表明输出电压uo与输入电压ui的微分成正比，可实现微分运算。(6-20)图6-11微分电路【例6-1】电路如图6-12(a)所示，A为理想运放，C1=C2=C，R1=R2=R，试求输出电压uo的表达式。

解

方法一：时域分析。由电路图可知并且C1=C2=C，R1=R2=R，则整理后可得故，完成同相积分运算。图6-12(a)时域模型；(b)等效频域模型；(c)等效复频域模型

方法二：频域分析。该题也可用频域分析方法进行求解。首先作频域等效模型变换，如图6-12（b）所示，则解得方法三:采用复频域分析法。同样首先作复频域的等效模型，如图6-12(c)所示，则解得综合上面分析发现，对电路结构较为复杂的一阶或多阶电路，在复频域和频域中分析较时域分析简单了许多，原因在于将微/积分运算化为了乘/除法运算。因此建议读者对该类微/积分电路以后尽量采用变换域分析，即使题目要求时域结果，也完全可以先作变换域分析，然后再作变换域逆变换，转换成时域结果即可。

【例6-2】电路如图6-13所示。A1、A2性能理想，且R2=R3,R4=2R1。(1)写出Au=uo/ui的表达式；(2)写出输入电阻Ri=ui/ii的表达式，并讨论该电路能够稳定工作的条件；(3)定性说明该电路能够获得高输入电阻的原理。

解

(1)A1为一个反相比例运算电路，尽管输出端经A2反馈到输入端，但因反馈为正反馈，而且信号源内阻可忽略不计，所以A1构成的反相比例运算电路增益不变，即

(2)由于A2同样也为反相比例运算器，故又如图示，ii=iR+iR1，u1+=u1-=0，得即由Ri表达式可知，当R<R1时，Ri为负电阻，电路工作不稳定。为此要求R>R1，电路才可以稳定工作。因为 ，即实际方向与图中假定参考方向相反，使iR与ii一起流入R1,使iR1增强，故A2组成的电路使A1引入并联正反馈，这样，在一定大小ui的作用下，iR1=ui/R1一定，而iR的加入可以减小ii的值，而且达到提高输入电阻Ri=ui/ii的目的。注意：此时对于单个运放而言，仍为负反馈，理想化条件仍然适用。6.3对数指数运算电路6.3.1对数运算电路1.采用二极管的对数运算电路

采用二极管的对数运算电路如图6-14所示。图中二极管为反馈元件，跨接于输出端与反相输入端之间。为使二极管导通，ui应大于0。由二极管的伏安特性可知(6-21)图6-14二极管对数运算电路当二极管两端电压大于100mV(即UD>4UT)时， ,则二极管两端的正向电压与电流的关系可近似为由图6-14可知，所以(6-23)

2.采用三极管的对数运算电路

采用三极管的对数运算电路如图6-15所示。它是将图6-14所示电路中的二极管用三极管V来替代。忽略晶体管基区体电阻压降，设共基电路电流放大倍数α≈1，UBE>4UT,则由电路图可知所以式(6-24)与式(6-23)一样可以实现对数运算。三极管对数运算电路和二极管对数运算电路一样，对数运算关系均与UT和IS有关，因而两者的运算精度均受温度的影响。但是采用三极管构成的对数运算电路，其输入电压的工作范围较大。(6-24)图6-15三极管对数运算电路6.3.2指数运算电路将图6-15所示对数运算电路中的三极管和电阻R位置互换，即为指数运算电路，如图6-16所示。图6-16三极管指数运算电路由图可知所以输出电压(6-25)式(6-25)表明输出电压与输入电压之间满足指数运算关系，实现了指数运算。综上所述，无论对数运算还是指数运算，其运算式中都包含IS及UT，说明受温度影响较大，运算精度都不是很高，因此，人们在设计实际的对数/指数运算电路时，总是要采取一定的措施，以减小温度的影响。通常在集成对数/指数运算电路中，根据差分电路的原理，利用特性相同的两只三极管进行补偿，可部分消除温度对运算的影响。对于具体电路，读者可以参考集成对数/指数运算电路手册，此处不再赘述。6.4模拟乘法器6.4.1模拟乘法器的基本概念1．模拟乘法器的符号及传递函数通常情况下有几种模拟乘法器的表示符号，如图6-17所示。在本书中，一律采用国标符号，即图6-17（a）所示符号。理想乘法器的传递函数为uo=kuxuy

(6-26)式中，k称为增益系数(或比例系数)，其量纲为V-1，ux,uy为两个输入端的输入电压。图6-17乘法器符号标识(a)国标符号；(b)曾用符号1；(c)曾用符号2

2．分类（1）按照输入电压极性限定标准划分，可分为①单象限乘法器：两个输入端电压同正或同负，即只能在一个象限之中。②二象限乘法器：其中一个输入信号极性固定，另一个输入信号可正可负。③四象限乘法器：即两个输入端的电压极性均不受限制，均可正可负。如图6-18所示。图6-18模拟乘法器输入信号划分的四个象限（2）按照构成乘法电路的内部结构形式划分，可分为①对数-指数乘法器。由如下数学模型：(6-27)基于前面介绍的对数、指数运算电路，就可以构造出乘法器模型，如图6-19所示。两输入信号ux,uy先分别进行对数运算，输出结果相加后，再作指数运算，从而变换得到两输入信号相乘的结果。图6-19对数-指数相乘器框图基于上述思路，在图6-20中给出了一个模拟乘法器的具体实现电路。在该电路中(6-28)式(6-28)中 ，称为反相乘法器系数，由此实现模拟信号相乘功能。图6-20对数-指数乘法器运算电路②可变跨导乘法器。如果对式(6-28)细心研究会发现，式中ux,uy必须大于零，即输入电压有限制，为了扩大模拟乘法器的应用范围，使输入信号可正可负，即实现四象限乘法功能，下面提供一种新型乘法器电路结构，称为可变跨导乘法器。当输入电压ux,uy较小，大约在2UT(±50mV)范围内时，利用差分放大电路的输出电压uo与ux与差分对管的跨导gm成正比这一特点，设计出可变跨导乘法器电路，如图6-21所示。假设两管特性完全一致，并且要求β有较大值，则将上式与iC3≈iC1+iC2联立，可得则输出电压当uy<<2UT时， 。又因为ux>>UBE4时，

所以(6-29)图6-21可变跨导乘法器实现两个模拟信号相乘的电路形式还将不断发展丰富，仅以此两例作为代表简述一下它们的实现原理。下面主要介绍集成模拟乘法器在运算电路中的运用。提及集成模拟乘法器，必然要遇到有关集成模拟乘法器的一些实际应用参数，参数的选取取决于应用的领域，同样型号的集成模拟乘法器，应用的领域不同，指标要求就不同，相应的价格也就不同。在实际使用中应综合考虑性能与价格因素，选取性价比较高的产品。有关集成模拟乘法器更详尽的使用方法，请参考集成模拟乘法器使用手册。6.4.2模拟乘法器在运算电路中的应用

1．乘法与平方电路乘法与平方电路如图6-22所示。乘法器[HT]两输入端分别输入两个不同的电压ux和uy，其输出端将得到正比于两个输入信号乘积的输出电压uo，从而实现乘法功能。uo=kuxuy在图6-22中若两输入信号相同，即ux=uy=ui，则乘法电路变为平方电路。有图6-22乘法与平方电路图6-23除法运算电路

2．除法与开方电路（1）除法运算电路。图6-23所示为二象限除法运算电路，它由运放A及接于负反馈支路的乘法器构成。根据理想运放的“虚短路”和“虚断路”的概念及乘法器的特点，不难得出输出电压uo与输入电压ui之间的关系为当取R1=R2时，输出电压uo为式中相除系数kd为乘法器相乘增益k的倒数。图6-23所示除法运算电路，输入电压ui从运放的反相输入端加入除法器的输入阻抗较低。如果想提高除法器的输入阻抗，可以采用图6-24（a）、（b）所示同相除法运算电路。图中uR同样只能为正电压。由图6-24（a）可得输出电压为由图6-24（b）可得输出电压为式中k均为乘法器相乘增益。图6-24同相除法运算电路（2）开方运算电路。在除法器的基础上，稍加修改就可以得到开方运算电路，如图6-25（a）、（b）所示。其中图（a）适用于输入电压为负值的情况，图（b）则适用于输入电压为正值的情况。对图6-25两图稍加研究，就可以发现，开方运算电路就是将乘法器构成的平方电路跨接在运放的负反馈支路上得到的。由图可以推导出输出电压为如果R1=R2，则式中k为乘法器相乘增益。图6-25开方运算电路6.5有源滤波电路6.5.1滤波电路的基本概念滤波电路是一种能让需要频段的信号顺利通过，而对其它频段信号起抑制作用的电路。在这种电路中，把能顺利通过的频率范围，称之为“通频带”或“通带”；反之，受到衰减或完全被抑制的频率范围，称之为“阻带”；两者之间幅频特性发生变化的频率范围，称之为“过渡带”。参见图6-26滤波电路的幅频特性示意图。图6-26滤波电路的幅频特性示意图（a）低通滤波电路；（b）高通滤波电路；（c）带通滤波电路；（d）带阻滤波电路;（e）全通滤波电路

1．滤波电路的分类（1）按照幅频特性的不同，可分为①低通滤波电路(LPF)，它允许信号中的直流和低频分量通过，抑制高频分量。幅频曲线见图6-26（a）。②高通滤波电路(HPF)，它允许信号中高频分量通过，抑制直流和低频信号，幅频曲线见图6-26（b）。③带通滤波电路(BPF)，它只允许一定频段的信号通过，对低于或高于该频段的信号，以及干扰和噪声进行抑制。幅频曲线见图6-26(c）。④带阻滤波电路(BEF)，它能抑制一段频段内的信号，而使此频段外的信号通过，幅频曲线见图6-26（d）。⑤全通滤波电路（APF），它只用来改变系统的相频特性，但不影响幅频特性。幅频曲线见图6-26（e）。（2）按处理的信号不同，可分为模拟滤波电路和数字滤波电路；（3）按使用的滤波元件不同，可分为LC滤波电路，RC滤波电路，RLC滤波电路；（4）按有无使用有源器件分为①无源滤波电路，它是仅由无源器件（电阻，电容，电感）组成的滤波电路。该电路的优点是电路简单，不需要有直流供电电源，工作可靠。缺点是负载对滤波特性影响较大，无放大能力；使用电感时易引起电磁感应，且要求L过大时，电感重量大，成本高。②有源滤波电路，它是由无源网络（一般含R和C）和放大电路共同组成。这种电路的优点是不使用电感，体积小，重量轻，可放大通带内信号。由于引进了负反馈，可以改善其性能；负载对滤波特性影响不大。缺点是通带范围受有源器件的带宽限制（一般含运放）；需直流供电电源；可靠性没有无源滤波器高；不适合高压/大电流下使用。（5）按通带特征频率f0附近的频率特性曲线形状不同，常用的可分为①巴特沃斯(Butterworth)型滤波电路，该电路幅频特性在通带内比较平坦，故也称最大平坦滤波器。②切比雪夫(Chebyshev)型滤波电路，该电路幅频特性曲线在一定范围内有起伏，但在过渡带幅频衰减较快。读者可依据两种滤波电路的不同幅频特性，按照实际要求进行选择。图6-27是以LPF为例，进行两种滤波电路的幅频特性比较的示意图。图6-27两种类型滤波电路的幅频特性示意图（6）按有源滤波器的阶数进行划分为有源滤波器传输函数分母中“s”的最高次数，即为滤波电路的阶数。因此，有源滤波电路又有一阶、二阶及高阶滤波之分，阶数越高，滤波电路幅频特性过渡带内曲线越陡，形状越接近理想。本节主要结合运放，重点介绍有源滤波电路。

2．有源滤波电路的主要参数（1）通带电压放大倍数Aup，即通带水平区的电压增益。对于LPF而言，Aup就是当f→0时，输出/输入电压之比；对于HPF而言，Aup就是当f→∞时，输出/输入电压之比。（2）特征频率f0和特征角频率ω0。该频率直接反映电路器件特征，与滤波电阻、电容有关，通常ω0=1/RC或f0=1/2πRC，它直接反映了滤波电路中RC环的特征。（3）通带截止频率fp(通带截止角频率ωp)。该频率为电压增益下降到 （即0.707Aup），或相对于Aup分贝值低于3dB时所对应的频率值（或角频率值）。fp与f0不一定始终相等，但相互间存在密切联系。带通（带阻）分别有上、下两个截止频率，如图6-26(c)、(d)所示。（4）通带（阻带）宽度fBW是带通（带阻）两个截止频率之差，即fBW=fp2-fp1(设fp2>fp1）。6.5.2一阶有源滤波电路1.一阶有源低通滤波电路(1)同相输入低通滤波电路。图6-28同相输入型一阶有源低通滤波电路及其幅频曲线同相输入低通滤波电路如图6-28(a)所示。作s域分析，有由理想化条件，可知U+(s)=U-(s)，则式中，ω0称为低通滤波器的特征角频率，当ω=ω0时，即s用jω0代入时，有 。因此ω0=ωp，即一阶低通滤波器中，特征角频率ω0和上限截止角频率ωp相等，下同。图6-28(b)所示为同相输入型一阶有源低通滤波电路幅频曲线。Aup为同相放大器增益，图中为增益相对分贝数比值。图6-28同相输入型一阶有源低通滤波电路及其幅频曲线#=(a)电路结构;(b)幅频曲线(2)反相输入低通滤波电路。反相输入低通滤波电路如图6-29(a)所示，同样不难分析出其传输特性曲线，有整理后，得(6-31)式(6-31)中Aup=-R2/R1，为运放反相比例放大倍数，ωp=ω0=1/R2C为低通滤波器上限截止角频率，对应幅频特性曲线如图6-29(b)所示。图6-29反相输入型一阶有源低通滤波电路及其幅频曲线(a)电路结构;(b)幅频曲线图6-30同相输入型和反相输入型一阶有源低通滤波电路相频曲线对照（a）同相输入型相频曲线;（b）反相输入型相频曲线

2.一阶有源高通滤波电路

(1)同相输入型一阶有源HPF。

同相输入型一阶有源HPF如图6-31(a)所示，在s域对其分析，可得(6-32)式(6-32)中，Aup=1+R2/R1为运放同相放大倍数，同前面低通滤波电路一样，有：ωp=ω0，ωp为该高通滤波电路的下限截止角频率，幅频特性曲线参见图6-31(b)。图6-31同相输入型一阶有源高通滤波电路及其幅频曲线（a）电路图；（b）幅频特性(2)反相输入