高中数学一题多变三角函数

第二章一题多变1512.2三角函数【例1】(人教A版高中数学教材必修4第147页第10题)已知函数/(jt)=cos:^—2sinjcos.r—sin1jr.⑴求/(7)的最小正周期；⑵当才e「0,今］时，求/(」,)的最小值以及取得最小值时£的集合.乙■解析⑴/(］)=cos2彳一sin?1-2siirzcosa'=cos2t—sin21=&cos(2z+孑)，所以/(/)的最小正周期T=所以/(/)的最小正周期T=2k_2—七(2)x6{•|力时/⑺有最小值，为一&•【变式1】函数.y=Y；sin2z+cos%・的最小正周期为乙si112%十/si112%十/cos2>r+}=sin(2丁十%)十；),b=(V?sin/,cos2£)；),b=(V?sin/,cos2£),了£R,设函数/(”,)=。•b.［变式2］已知向量a=(cOSTt—(1)求/(7)的最小正周期；(2)求/(1)在［0啬］上的最大值和最小值.乙■I fo I解析⑴根据题意有/(i)=a♦b=cosx•乃sinm—2cos2/=］-sin2i—2cos2i=sin伊一却，则函数/⑴的最小正周期T=竽=m⑵当iG-0,同时，设/=2.r—系，则一/WW/于是原函数可转化为g(D=si*.乙」 D v 0由正弦函数g(Z)=sin/当fG(—"I■，泊时的图像可知所以八支)在-0,毋］上的最大值是1,最小值一J：

152更高更妙的高中数学一题多解与一题多变152更高更妙的高中数学一题多解与一题多变【变式3］已知函数/（j）=siikr+cos.7-,/，（.r）^/（］）的导函数.（1）求/Cr）及函数丁=「（幻的最小正周期；⑵当-w［o4］时,求函数尸（力=八力）/（工）+/（公的值域.解析（l）/'（i）=一/sin卜-£）,函数）=/'（l）的最小正周期为27t.（2）函数FGr）的值域为［0.1+代］.【例2】将函数.y=2cos（A+｝）的图像作怎样的变换可以得到函数kcosi的图像?, 横坐标扩大为原来的孑倍 ］解析^=2coS（f4-y） 皴获而一p=2cos［十5）图像向左平移十个总位 纵坐标缩小到原来的十一击右一^=2cos］一港语区~>y=c。皿【变式1】将函数kCOS7的图像作怎样的变换可以得到函数了=2cos侬一个）的图像？解析（1）先将函数y=cos彳的图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍（横坐标不变）,即可得到函数》=2cosa•的图像；⑵再将函数二2c6U•上各点的横坐标缩小为原来的•（纵坐标不变），得到函数尸2cos2尤的图像；（3）再将函数.y=2cos2i的图像向右平移右个单位，得到函数y=2cos（2z—才）的图像.【变式2】将函数.y=2cos（；L专）的图像作怎样的变换可以得到函数>=cosx的图像？解析⑴先将函数，=2c。"%•一给图像上各点的纵坐标缩小为原来的十（横坐标不变3即可得到函数产cos（呆一副的图像;（2）再将函数j，=cos（：L给上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数kcos卜一专）的图像；⑶再将函数kcos卜一卷）的图像向右平移m个单位，得到函数尸cos文的图像.第二章一题多变153第二章一题多变153图像？解析1y=【变式3】将函数、=}sin侬+等）的图像作怎样的变换可以得到函数》=图像？解析1y=1.t \横坐标扩大为原来的2倍 1・可.（2/+百） 漉底而一^=js＞n图像向右平移T个单位 1,纵坐标犷大到原来的3倍一百菽―＞产钎皿 丽两一^=smx.解析2⑴先将函数＞=：sin伊+初的图像向右平移秀个单位，得到函数y=Jsin2%的图像；（2）再将函数y=^-sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数TOC\o"1-5"\h\zy=；sin2的图像； •O（3）再将函数N=4sini图像上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到函数v=sirLr的图像.【变式4】将函数,y=sin（2£+y）的图像沿7轴向左平移三个单位后，得到一个偶函数的图像，则4的一个可能取值为 （ ）A.羿 B,： C.O D.一£4 4 4解析选B.将函数y=sin（2i+G的图像沿1轴向左平移右个单位，得到函数y=5由［2卜+胃）+中］=542/+£+时，因为此时函数为偶函数，所以市+片噬+龌MEZ,即夕=£+归〃，ACZ.【变式5】将函数/Cr）=sin⑵•十仍（一片々＜个）的图像向右平移3（介＞1）个单位长度后得到函数爪优）的图像，若八1）,爪£）的图像都经过点尸（O耳），则3的值可以是（ ）A—A，3解析选B./Cr）的图像向右平移3个单位长度，g（»=sin［2Cr—卬）+内,解得经检验9卬=怖入.s\n（0—2（p）臣J10s\n（0—2（p）"T，

154 更高更妙的高中数学一题多解与一题多变TOC\o"1-5"\h\z【例3】（2013年高考全国卷）若函数y=sin（Mi+G（3＞0）的部分图像如图2-2-1所示，则s= （ ）A.5 B.4 C.3 D.2解析选B.由图像可知，口=£。+子-2。=手，即7'=与=囱,乙 4 4 Lco故3=4.【变式1】函数尸sinj工一"在区间［一会冗］上的简图是解析选A.【变式2］已知函数尸八cos传彳十可（人＞0）在一个周期内的图像如图2-2-2所示，其中P,Q分别是这段图像的最高点和最低点,M,N是图像与【变式1】函数尸sinj工一"在区间［一会冗］上的简图是解析选A.A.1 B.V2C.# D.2解析选C.【变式3】如图223所示，函数尸28虱3・+。）卜0匕0^4微）的图像与y轴交于点（0,6），旦在该点处切线的斜率为-2.求。和3的值.解析将£=。9丁=6代入函数）=2cos（w+0）9得cosO=~.因为0&0&N所以6=器Z b又因为》'=-2ssin（gH+0） |八（）=—2,所以3=2,因此k2cos（2/+%）.【变式4】已知电流/与时间1的关系式为/=Asin（s+Q.（1）图2-2-4是I=Asin（＜o/」”）（a»〉0,|卬v£）在一个周期内的图像，根据图中数据求/=八4水5+9）的解析式；)图2-2-3（2）如果在任意一段焉秒的时间内，电流/=AsE（m+G都能取得最大值和最小值，那么3的最小正整数值是多少？

)图2-2-3第二章一题多变155第二章一题多变155解析（1）由图可知A=300.设L-丽，，2=丽，则周期丁=2"-乙）=2（丽I丽）=7?所以3=竿=150兀又当X击时，1=0,即sin（150K•击+—=°，而1则〈手,所以吸.故所求的解析式为J=300sin（150近+卷）.（2）依题意，周期T&占，即久（占（3>0）,所以s6300兀>942,又卬GZ+,故最小正IbUcd13。整数s=943.y=a•b的最大值.［例4］。=(cosz—sinz,2sinh)"=(a/^cos卜一于)，cosij,y=a•b的最大值.COS.T解析y=(cosx—sinx)•々cos卜一孑)+2siru：•=(cosx-sinx)•(cosx+sinx)+sin2x=cos'彳一sin"1+sin2#=-/2cos(2z—孑).COS.T因为£0R,所以.【变式1］已知°=(cosj：—sina»2sina?),b=(V^cqs卜一孑),cosa),其中7G，求函数•b的最大值.解析因为久e［o,/）,所以=42.［变式2］已知)=cos4.N+sin』i+sin2c9求y的最大值.1 I Q解析y=1—2sin2xcos2a:4"sin2x=1--x-sin22x+sin2x-—(sin2x_1)2+3・乙 乙 乙因为sin2/e［—1,1］,易得了gx=7.【变式3］已知yusinN+cosi+sinZi,求y的最大值.解析令sinrr+cos尤=£/£［一展,则sin2j*=Z2—1<y=t-+/—1,易得*n=l+&.［例5】函数y=sing（3>0）在区间［0,口上至少出现50次最大值，则3的取值范围是;. ,.解析如图2-2-5所示，若函数3，=sinor（3>0）在区间［0,1］上至少出现50次最大值，则在区间［0,1］上至少应出现4吟个周期，即1）49打=牛7=4"孑=若，解得s156|更高更妙的高中数学一题多解与一题多变>1977： 4如果我们改变本题中的一部分条件，会形成很一七知“W I：多有趣的变式题. 图2-2・5【变式1】函数y=co。］（3>0）在区间［0,1］上至少出现50次最大值，则侬的取值范闱是.解析依题设函数3=8$37（3>0）在区间［0,门上至少出现49个周期，所以1i49T=49X/,解得32987r.3【变式2】函数y=sinwr（3V0）在区间［0,1］上至少出现50次最大值，则3的取值范围是.解析依题设，函数j，=sin«*（3<0）在区间［0,1］上至少出现49亮个周期，所以1249,丁=苧7=胃乂衿=黯，4 4 4 |u>| 2\u）\解得3〈一吟.【变式3】函数y=sino>H（加>0）在区间（0,1）上至少出现50次最大值，则3的取值范围是 .解析依题设，函数ksinwNGO）在区间（0,1）上周期个数应超过49+，所以1>49）7'=学=照，4 4 4co2s解得学.【变式4】函数》=「3（a>0）在区间［a,a+l［（aWR）上至少出现50次最大值，则s的取值范围是.解析因为区间［a,a+l］（aGR）表示任意一个长度为1的区间，故依题设，函数3=sin5（心>0）在任意长度为1的区间上都应至少出现50个周期，所以1）507=50X2,CO解得32100”.【变式5】函数y=sin3%>0）在区间［0,1］上至少出现»次（〃WZ，）最大值，则」的取值范围是.,解析依题设，函数》=$m3屋3>0）在区间［0,1］上至少出现（〃一1）+1个周期，所以12（〃一巧丁=（〃-4卜/=（4"3）0”+,解得心（肉3）五\ 4/ \A） 3 CO） 4

第二章一题多变157第二章一题多变157【变式6］函数y=sins.T（3>0）在区间［0,1］上至少出现50次最小值，则s的取值范围是.解析依题设，函数尸sin,UO）在区间［0J］上至少出现491个周期，g、i。3T199T199乂2k_1997r白血洱、199冗所以1249丁丁=-j-T=1-X ——9解得口2—一•4 4 4CDLCD /【变式7】函数尸$由（3+0,>0,0<中<*1）在区间［。"1上至少出现50次最大值，则w的取值范围是.解析函数）=sin（ftAr+«）（s>0,0<少<勺）的图像可以看作是，把函数y=sin（u.r（w>0）的图像向左平移幺个单位而得到的.U）因为。〈衿会所以六点=得=］那么依题设，要使函数）=sE（sr+G在区间［0,口上至少出现50次最大值,则在区间［0,1］上至少应出现49T+J一2个周期，4U）即1>497+”一幺=当？一里=半乂红一幺=史等匚纥4卬4 3 43G 乙3解得竽一0【例6）（2013年高考全国卷）设0为第二象限角，若tan,+孑）=；，则sinG+cost?解析因为6为第二象限角，tan仅+£）=4>0,所以角6的终边落在直线）的左侧,sine+coW<0.由"m（，+£）=9,得詈需=十，即翳芸落=^■，所以设sin6+coW=i,则cos。-sind=2_r,将这两个式子平方相加得：—=5，即sin«+cosG=【变式1】已知cos仔-2a)一出,贝ljcosa+sina等于【变式1】已知cos仔-2a)一出,贝ljcosa+sina等于A.Wb4解析选D.cos(卜2a)cosa+siriQ__a/2sin(a-y158更高更妙的高中数学一题多解与一题多变［变式2］158更高更妙的高中数学一题多解与一题多变［变式2］已知sinl^+coslx=求sinx—cosx的值.J乙解析因为sin【T+cos-=寡，所以(sin21+cos2］)2—2sW*•cos2x=||,J乙 J乙即sina•cosx=±-y.o当sin.r•cosj*=-^时，sirkr-cos“・=±，(siiu,-cos*)2=o Z3 当siiu•cos-r=一万时sinar-cosjr=i，(siirr-cosi)」o【变式3】已知cos”tanOVO,那么角6是.A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 ,D.第一或第四象限角解析选C.TOC\o"1-5"\h\z【变式4】a是第四象限角，tana=-%则sina等于 （ ）X乙a4B--lC-H D•一4解析选D.A-fBT【例7】设函数¥=00$（同7+砂（一兀</<0）・若/（外+/（/）是偶函数，则W等于（ ）A-fBTI）—工

6解析利用归一公式把函数/（幻+/（①）转化为同名同角函数./（.r）4~/7（.?）=cos（\/5\r+w）—痣5由（形卫+中）=2cos（偌1+火+幸）.根据诱导公式，要使/（#）+/'（幻为偶函数，则伊+弓=无次柒ez）.0所以4=0时〜=一看，故选B.VTOC\o"1-5"\h\z【变式1】设函数y=co如Wr+q）（—ttV/CO）.若（彳）是奇函数，则仍等于（ ）A— B—— C— D八,3 ,3 。6 6解析要使/（外+/'Cr）为奇函数，则卬।毋=4兀+}&£z）9=4九+7（&wz）,所以A=。时,a=?，故选C.1 0第二章一题多变|159【变式2】设函数y=cos(阴力+中)(一冗＜伊＜0).求/(卫)+/'(1)的对称中心.解析由例7得知，/(j*)+(,x)=2cos(痣7+伊士5).由于y=cosi的对称中心为卜兀+手,0),把“疯1+口十学■”看作一个整体，令阴Z+p+合=履+£(止Z),J 乙则1=/冗+俗一号外所以/Cr)+r⑴的对称中心为借嬴+.3一§w，o).【变式3］设函数？=cosG/5x+G(一兀＜中＜0).点(•,0)为函数/("+/(I)的一个对称中心，求p的值.解析由例7得知/(①)+/'(•r)=2cos(G\rT,十号)・由于^=cosx的对称中心为力=婕+5(££Z),乙又因为点(华,0)为函数/(幻十/(外的一个对称中心，所以Gx华士督十*=£兀+色&GZ),J J 4则勺=尻一亳UD.乂一冗＜3＜°，所以&=°时，=一半【变式4】设函数y=cos(yS\r+9)(—x＜9＜0).求/(«!,)+/'(］)的对称轴.解析由例7得知/(①)+/'(1)=285(阴］+伊十等).由于y=cosi的对称轴为才=此(4£2),把“西。+伊十•'看作一个整体，令"1+督+等=林(46Z),.则N=冷^^一gn—,所以/(2)+/(£)的对称轴为1=§48一好兀一Z).160 更高更妙的高中数学一邈多解与一题多变【变式5】设函数/(2+八］)的一条对称轴,求伊的值.解析山例7得知/(x)十/'(1r)=2cos(\/^r+8+^).由于y=851的对称轴为①=^aez),又因为N=华是/("+/(］)的一条对称轴，所以总中+^=及“(46Z),则(p=kit--1-x(^CZ).■又一nV夕V0,所以中=一看.【变式6】设函数y=cos(6\z+G(-7rV⑴VO).求/(n)+/'(z)的单调递增区间.解析由例7得知/(x)+//(1)=2cos(畲E+昭+等).由于》=CQS才的单调递增区间为［2标一九,2日］&6Z),把“伍工十中十骨，看作一个整体，令24兀一冗(居N+8+卷或2日(正Z),o J穴4元穴>/3——2愿区贯V37cV3解得y_一一§―一耳中(工《三 F-T^所以/(7)+/(公的单调递增区间为「26"氏式4j^7t翼式>/3ka/3 (卜匚，八\r^~^__-_T^Jaez)-【变式7】设函数产cos(6r+年).求/(I)+/'(］)在16［一穴,肩上的单调递增区间.解析由例7可得/(1)+/'(①)=2cos(点7十半由于kcosx的单调递增区间为12时一五,2后］(4WZ),把“日r+勺”看作一个整体，令2垢一靠</—+字42后&GZ),J o*心7目2乃Ak5遍式——2质〃匚7、解彳导一——9WnW― g—(«€Z).当co时，一平y-—邛^J J

第二章一题多变161当Q1时，牛«绰二又［―n9穴］9所以fCr)+/(z)在1€［一八,内上的单调递增区间为【变式8】设函数jy=cos(V3x+^)(—n<^<0).求/(H)+/'(工)的单调递减区间.解析由例7可得/(X)+/'(>!)=2(：0$(①1+e+年).由于y=cosx的单调递减区间为［2妹,2妹+n］。62)9把“西：1：+W十寺”看作一个整体，令2人汽<痣1+督+等<2£灰+n(&£Z).J . o他绚2代47x/3x>/3丁r2£卜N25/3K瓜解得一1 9~—y^<-3—+-9--TSP-所以/(Q+fQ)的单调递减区间为(ZfEZ).「2应hkV3n732痣3九12j?rr£[-r-~-9-~T^—r-+-9_一(ZfEZ).【变式9】设函数y=cos(点工+看).求/(£)+/'(#)在［一式，n］上的单调递减区间.解析由例7可得(氏+豺・f(工)+f(1)=2cos(氏+豺・由于3=COM的单调递减区间为12标,2履+<］凌£Z),TOC\o"1-5"\h\z把，学”看作一个整体，令2垢&痣7+"&2"+式(狂2),J J解得一一一飞W/W— H-^-(AGZ)・当上=一1时，一噜*74一堂；J J当20时，一号《空；当Q1时,噪《空.， y又［一八，冗」，•所以/(力+，(6在16］一人目上的单洞递增区间为二

162更高更妙的高中数学一题多解与一题多变162更高更妙的高中数学一题多解与一题多变【例8】(2013年高考江西卷)设/(.?,)=用sin3x+cos3w,若对任意实数.r都有I/(2)|4。，则实数a的取值范围是.解析根据题意，只需4即可./“)=2$后(31+卷)，其最大值为2,最小值为一2,所以|fG)1gx=2,所以。>2.【变式1】设/(iXV^sinBi+cosBi,则/(幻的值域是.解析因为/(］)=2$"37+&,76,所以/(1)的值域是［-2,2］.【变式2】已知向量。=(小，D"=(sin3N,cos3N),设函数f(z)=a・b,若对任意实数小都有I八/l&a，则实数。的取值范圉是解析/(.r)=«•b=>/^sin3i+cos3；r=2sin(3之+,)，所以a22.【变式3】设/包)=乃日!13父+烟3］,若对任意实数］6］0,£都有1/(1)14，则实数a的取值范围是.解析因为/Ct)=2s"3n+£卜{［0菅，3忆十看6低存］,/J)a=2,/("L1,所以a>2.【变式4】设【变式4】设/(x)=73sin3.r4-cos3.r,xG［崎，则八工)的单调区间是解析因为/(I)=25什1(3里+冬),/£0,午］,2=3］+全£「弓■，警»\ 0/ L。」 bLb3.2sinz在■号］上递增，在-y上递减，故/(1)在。希上递增，在■哈上递减,故/⑴的递增区间是［0帝］，递减区间是［皆《【变式5】设f(H)=V^sin3:r+cos3],若对任意实数xx,x2都有1/5)—/(x2)|则实数a的取值范围是.解析因为/(I)=2sin(3i+看)，n£R,所以/(»r)M=2,/Gr)min=-2,所以|f(乃)一/(6)L”=4,所以a34.【变式6］设当/=夕时，函数/(a：)=V3sin3x+cos3j-取得最大值，则0的取值集合是1.解析因为/(2=24乂3/+专)，父=0时,/(“)有最大值，所以36+£=5+2人在Z,所以。的取值集合为卜|。=尹触rMGz}.第二章一题多变163【变式7］已知函数/（H）=煦sin3i+cos3i,若存在实数0,使对任意实数7都仃/口•）《/（〃），则0的取值集合是.解析因为/⑺=24川3］十三），由题意/⑷为/（好…所以所求集合为｛即。='1+1•标/一卜【变式8］设/（x）=asin3x+cos3x（a>0）,3h£R时，/（/）皿=2,则实数a的值是.解析因为/（R）=阡T