量子力学第四章

量子力学第四章1第一页，共六十八页，2022年，8月28日第四章态和力学量的表象§4.1态的表示

§4.2

算符的矩阵表示

§4.3

矩阵性质§4.4量子力学公式的矩阵表示§4.5幺正变换（表象变换）

§4.6态随时间变化的幺正变换§4.7海森伯绘景与薛定谔绘景

§4.8狄拉克符号

§4.9线性谐振子与占有数表象

RETURN2第二页，共六十八页，2022年，8月28日第四章态和力学量的表象表象：态和力学量的具体表示方式称为表象

§4.1态的表示

量子力学中，任何一个量子态

可以看成抽象的线性空间中的一个“矢量”，体系的任一组力学量完全集的共同本征函数（记为，n代表一组量子数）可以构成此态空间的一组正交归一完备的基矢。nu3第三页，共六十八页，2022年，8月28日任何一个态（可知量）可按该基矢展开展开系数其中是矢量

在基上的投影,这一组数就是矢量在Q表象中的表示,记为一矩阵形式nuyna共轭矩阵为4第四页，共六十八页，2022年，8月28日讨论：

①态矢量一般为复量，空间维数可以是无限维的，不可数的，这种函数空间称希尔伯特空间。②若是归一化的，则即5第五页，共六十八页，2022年，8月28日③同一个态可以在不同的表象中表示，表象不同，波函数的形式也不同，但它们完全等价。

坐标表象：

动量表象：RETURN6第六页，共六十八页，2022年，8月28日§

4.2

算符的矩阵表示

一、算符在一般表象中的表示二、算符在自身表象中的表示

三．算符表示矩阵的性质RETURN7第七页，共六十八页，2022年，8月28日§4.2

算符的矩阵表示

一、算符在一般表象中的表示设算符作用于函数后，得出另一函数.在坐标表象中：Q表象中：设Q有分立谱相应的本征函数则8第八页，共六十八页，2022年，8月28日用同乘上式两边，再对x积分是在Q表象中的表示

是在Q表象中的表示

故其中9第九页，共六十八页，2022年，8月28日即：算符在Q表象中的表示是一矩阵。矩阵元表示Q表象中基矢在算符作用下的变化性质。RETURN所以矩阵给定后，基矢在作用下的变化就完全确定，同时任何一个量子态在作用下的变化也就完全确定了。10第十页，共六十八页，2022年，8月28日二、算符在自身表象中的表示

Q在自身表象中的矩阵元：算符在其自身表象中是一个对角矩阵。RETURN11第十一页，共六十八页，2022年，8月28日三．算符表示矩阵的性质因为是厄米算符，则有F^

F矩阵的第m列第n行的矩阵元等于它第n列第m行矩阵元的共轭复数，称为厄米矩阵。F的共轭矩阵满足结论：表示厄米算符的矩阵是厄米矩阵。12第十二页，共六十八页，2022年，8月28日[例题]求一维谐振子的坐标x，动量p及哈密顿量H在能量表象中的矩阵表示。

[解]利用厄米多项式的递推关系在能量表象中x的矩阵表示为13第十三页，共六十八页，2022年，8月28日在能量表象中p的矩阵表示为：14第十四页，共六十八页，2022年，8月28日能量H在自身表象中的矩阵RETURN15第十五页，共六十八页，2022年，8月28日§4.3

矩阵性质

矩阵——表象理论的数学基础1.矩阵的加法

若矩阵A和B的行数与列数分别相同，则它们可以相加成另一矩阵C，其中C的元素为A和B相对应元素之和:量子力学中，算符的表示矩阵满足上述加法规则.16第十六页，共六十八页，2022年，8月28日设算符是算符与之和，则在任一表象中的矩阵元F^G^17第十七页，共六十八页，2022年，8月28日2.矩阵的乘法

两矩阵乘法规则:若C=AB,则C的矩阵元条件：矩阵A的列数等于B的行数量子力学中表示算符的矩阵满足上述规则设,则在Q表象中的矩阵元：18第十八页，共六十八页，2022年，8月28日令其中所以注:

(1)一般AB≠BA,或(2)若AB=BA,则称矩阵A与B对易19第十九页，共六十八页，2022年，8月28日3.两矩阵A与B乘积的转置矩阵等于B的转置矩阵乘以A的转置矩阵，即推之：

RETURN故有

20第二十页，共六十八页，2022年，8月28日§4.4量子力学公式的矩阵表示

一、期望值公式

二、本征值方程三、薛定谔方程

RETURN21第二十一页，共六十八页，2022年，8月28日§

4.4

量子力学公式的矩阵表示

一、期望值公式

Q表象中：22第二十二页，共六十八页，2022年，8月28日即特例：力学量在自身表象中的期望值

或代表在态下测量力学量F得本征值的概率。RETURN因为所以23第二十三页，共六十八页，2022年，8月28日二、本征值方程上式表示一个线性齐次方程组即24第二十四页，共六十八页，2022年，8月28日方程组有非零解的条件是系数行列式等于零：——久期方程F的本征值：对于每一个本征值可求出相应的本征矢RETURN25第二十五页，共六十八页，2022年，8月28日三、薛定谔方程

Q表象中

左乘再对x积分所以其中：26第二十六页，共六十八页，2022年，8月28日矩阵表示：简记：RETURN27第二十七页，共六十八页，2022年，8月28日§4.5幺正变换（表象变换）

一、表象变换二、表象变换矩阵S的性质

RETURN28第二十八页，共六十八页，2022年，8月28日§4.5

幺正变换（表象变换）

一、表象变换

A表象→

B表象

基矢：态矢量：力学量：29第二十九页，共六十八页，2022年，8月28日（1）态矢量从A表象到B表象的变换

A表象→

B表象即或故30第三十页，共六十八页，2022年，8月28日（2）力学量从A表象到B表象的变换

即所以RETURN31第三十一页，共六十八页，2022年，8月28日二、表象变换矩阵S的性质

1.变换矩阵S是么正矩阵

S为幺正矩阵即32第三十二页，共六十八页，2022年，8月28日2.幺正变换不改变算符的本征值因在A表象中在B表象中所以即：在B表象中力学量的本征值仍为

3.幺正变换S不改变矩阵的迹即：F的迹等于F′的迹。RETURN33第三十三页，共六十八页，2022年，8月28日§4.6态随时间变化的幺正变换一、变换矩阵

二、变换矩阵为幺正矩阵

RETURN34第三十四页，共六十八页，2022年，8月28日§4.6态随时间变化的幺正变换一、变换矩阵

设不是t的显函数，则上述方程的解取为：H^设则因是任意波函数，得算符满足的方程y或RETURN35第三十五页，共六十八页，2022年，8月28日二、变换矩阵为幺正矩阵

同理有：故是幺正算符，相应的变换为幺正变换U(t)^又因RETURN因为所以36第三十六页，共六十八页，2022年，8月28日§4.7海森伯绘景与薛定谔绘景

一、海森伯绘景与薛定谔绘景

二、两种绘景间的关系

三、海森伯运动方程RETURN37第三十七页，共六十八页，2022年，8月28日§

4.7海森伯绘景与薛定谔绘景

一、海森伯绘景与薛定谔绘景

薛定谔绘景海森伯绘景

波函数随时间变化波函数不随时间变化力学量不随时间变化力学量随时间变化

RETURN38第三十八页，共六十八页，2022年，8月28日二、两种绘景间的关系

1.态矢量：或2.力学量的期望值（满足期望值不因表象的不同而不同的要求）由于故39第三十九页，共六十八页，2022年，8月28日3．力学量算符

哈密顿算符：RETURN40第四十页，共六十八页，2022年，8月28日三、海森伯运动方程由对时间求导海森伯

WernerHeisenberg

(1901－1976)

因创建量子力学矩阵理论荣获1932年诺贝尔物理学奖RETURN41第四十一页，共六十八页，2022年，8月28日§4.8狄拉克符号

一、狄拉克符号规定

二、量子力学理论在具体表象中的表示三、表象变换

狄拉克Dirac

Paul(1902－1984)因创建发现原子理论新的有效形式与薛定谔荣获1933年诺贝尔物理学奖RETURN42第四十二页，共六十八页，2022年，8月28日§4.8狄拉克符号

采用狄拉克符号表述量子力学理论有两个优点：（1）运算简洁（2）可毋需具体表象讨论问题。一、狄拉克符号规定

1.右矢（刃矢ket）与左矢（刁矢bra）①量子态→态矢量→右矢具体的态矢量：——波函数描述的状态——能量的本征态（本征值为En）——坐标的本征态（本征值为x′）43第四十三页，共六十八页，2022年，8月28日②量子态→态矢量→左矢具体的态矢量：③左矢与右矢的关系是的共轭矢量，即它们在同一表象中的相应分量互为共轭复数2．左矢与右矢的标积①定义：是的共轭矢量，即是的共轭矢量，即或44第四十四页，共六十八页，2022年，8月28日③正交归一化条件设力学量完全集的本征值为Fn，相应的本征态为，满足正交归一条件：F^分立谱或连续谱如：坐标的本征矢动量的本征矢RETURN②45第四十五页，共六十八页，2022年，8月28日二、量子力学理论在具体表象中的表示1.态矢量的表示取Q表象：（1）Q的本征值为分立谱：基矢或对任意态矢量②投影算符：令

注：①为态矢量在Q表象中的表示，称其为态矢在基矢上的投影,又称为态矢在Q表象中的波函数。46第四十六页，共六十八页，2022年，8月28日作用矢量后得到其在基矢上的投影，故称为投影算符。③本征矢的封闭性：（2）Q的本征值为连续谱：基或组成完全系注：①②本征矢的封闭性47第四十七页，共六十八页，2022年，8月28日如：x表象：基则为态矢量在x表象中投影。2.力学量算符的表示（1）算符F^设取Q表象：

①设Q具有分立本征谱,则基矢或48第四十八页，共六十八页，2022年，8月28日以左乘上式，再利用即是算符在Q表象中的表示矩阵元F^分别代表态矢和在Q表象中的表示。49第四十九页，共六十八页，2022年，8月28日②设Q具有连续本征值谱,基矢力学量的矩阵元：F^如：x表象:(2)的共轭算符F^当是厄米算符时：F^设则50第五十页，共六十八页，2022年，8月28日3.量子力学公式的表示

（1）薛定谔方程：取Q表象:设基矢为以左乘上式,得51第五十一页，共六十八页，2022年，8月28日取x表象：设基矢为以左乘上式，对空间积分所以52第五十二页，共六十八页，2022年，8月28日（2）本征值方程取Q表象：设基矢为即53第五十三页，共六十八页，2022年，8月28日（3）平均值公式如：x表象：在态下，力学量的平均值：F^取Q表象：设基矢为RETURN54第五十四页，共六十八页，2022年，8月28日三、表象变换

设A表象：基矢为,任一量子态B表象：基矢为,同一量子态A表象→B表象量子态故因为55第五十五页，共六十八页，2022年，8月28日力学量F^即因为RETURN56第五十六页，共六十八页，2022年，8月28日§4.9线性谐振子与占有数表象

一、湮没算符和产生算符二、线性谐振子

三、占有数表象

RETURN57第五十七页，共六十八页，2022年，8月28日§4.9线性谐振子与占有数表象

一、湮没算符和产生算符1.定义2.性质

（1）不是厄米算符（2）（3）58第五十八页，共六十八页，2022年，8月28日3．，的物理含义由谐振子能量公式n份能量,每份可看作一个粒子，称为准粒子，表示体系含有n个粒子根据：即粒子数由n→n-1，减少一个，湮没算符即粒子数由n→n+1，增加一个，产生算符RETURN59第五十九页，共六十八页，2022年，8月28日二、线性谐振子

线性谐振子哈密顿量由得60第六十页，共六十八页，2022年，8月28日其中：——粒子数算符,本征值为粒子数n1.的本征矢

基态：即