连续系统建模

连续系统建模第一页，共六十一页，2022年，8月28日目录第一节连续系统模型第二节

离散等价性原理第三节系统建模的Matalb实现第二页，共六十一页，2022年，8月28日Overview连续系统的模型有哪些？离散时间系统的模型有哪些？模型转换方法有哪些？Matlab下的编程实践。第三页，共六十一页，2022年，8月28日第一节连续系统模型连续系统定义：系统状态变化在时间T上是连续变化的，可以用常微分方程、偏微分方程、差分方程描述的系统模型。比如过程控制系统、电机调速系统、跟踪系统等。分类：连续时间系统模型离散时间系统模型采样数据系统模型（连续-离散混合模型）第四页，共六十一页，2022年，8月28日1.1连续时间系统模型连续时间模型：系统的输入、输出和内部变量都是关于时间的连续函数。常见模型常微分方程（组）传递函数状态空间权函数结构框图/信号流图第五页，共六十一页，2022年，8月28日1、常微分方程常微分方程的一般形式如下：通常根据各专业知识和原理对系统建立常微分方程模型。微分方程描述了一个物理系统的动态特征。微分方程在描述方式和求解过程中比较复杂。第六页，共六十一页，2022年，8月28日Laplace变换Laplace变换用相对简单的代数方程取代了复杂的微分方程，表达方式简洁，物理意义明确，求解简单Laplace变换是一种积分变换，可将线性定常系统微分方程化解为代数方程，并利用代数知识求解。Laplace变量s可视为微分算子，1/s视为积分算子。第七页，共六十一页，2022年，8月28日2、传递函数在零状态下对常微分方程两边取Laplace变换:线性系统的传递函数为定义为：输出变量的Laplace变换和输入变量Laplace变换之比。传递函数是零状态下，输入/输出之间的s域传递关系，是系统的固有特征。通常情况下G(s)为s域中的代数多项分式，对应于时域中的常微分方程式。第八页，共六十一页，2022年，8月28日3、权函数定义理想脉冲函数（冲激函数）系统在零状态下输入脉冲函数信号，其响应为权函数（单位冲激响应）第九页，共六十一页，2022年，8月28日4、状态空间模型状态变量：以时间为参变量，是描述动态系统全部对象的最少一组线性独立的变量。用x表示状态变量，y表示系统输出，u表示系统输入其中：A:n×n维矩阵，B：n×1维矩阵，C：1×n维矩阵，U：单输入信号状态方程输出方程第十页，共六十一页，2022年，8月28日5、结构框图模型定义：系统变量之间信号传递关系的图形表示模型。系统的性能不仅与各个元部件（基本环节）传递函数有关，还与系统的结构形式有关。控制器传函有向信号线分支点比较点对象传函反馈环节传函第十一页，共六十一页，2022年，8月28日6、信号流图模型信号流图是描述一组线性代数方程的信号网络，能利用Mason（梅逊）公式求解系统的等效传函。其基本描述单元为节点和支路。节点：信号支路：增益（传函）第十二页，共六十一页，2022年，8月28日一个实例的分析设计ex02_1电力牵引机车模型分析比较点功率放大器电枢控制电机机车负荷反向感应电压测速反馈回路第十三页，共六十一页，2022年，8月28日参数模型第十四页，共六十一页，2022年，8月28日仿真分析(Matlab)采用Matlab语言，以*.m或直接输入到命令框建立系统模型第十五页，共六十一页，2022年，8月28日仿真分析(Simulink)采用Simulink以结构框图形式建模。第十六页，共六十一页，2022年，8月28日系统零极点分布系统传函M程序：num=[5400]den=[22.55400];pzmap[num,den]第十七页，共六十一页，2022年，8月28日仿真结果step([5400],[22.55400]运行结果如下：t=[0:0.01:3][y,x,t]=step([5400],[22.55400],t);plot(t,y);运行结果如下：第十八页，共六十一页，2022年，8月28日1.2离散时间模型系统的输入、输出以及内部变量是时间的离散函数（时间序列）称系统为离散时间模型。通常离散时间模型是指采样信号系统。描述离散时间对象的模型包括：差分方程Z函数权序列离散状态空间模型第十九页，共六十一页，2022年，8月28日时间序列和信号采样对于连续时间信号，如电信号光信号等，通过采样（脉冲调幅）得到了数字信号。T第二十页，共六十一页，2022年，8月28日模/数转化（AnalogtoDigitalConversion）第一步－采样：在每一个采样点对模拟信号进行采样，且将该采样值保持到下一个采样点。第二步－量化：对模拟值进行量化和数字化。每个采样结束后，转换器尽快选择与采样保持电平最接近的量化电平，分配一个二进制数字代码来标识。离散和量化第二十一页，共六十一页，2022年，8月28日原始模拟信号第二十二页，共六十一页，2022年，8月28日采样保持信号：数字信号仅在采样时刻有值，在采样点之间没有定义。采样保持信号第二十三页，共六十一页，2022年，8月28日量化和数字化：所允许的数字信号取值的个数由计算机所用比特数限定。采样保持信号模拟信号数字信号量化和数字化第二十四页，共六十一页，2022年，8月28日数字信号第二十五页，共六十一页，2022年，8月28日N阶常系数线性差分方程的一般形式为：1、差分方程特点：线性连续时间系统对应线性微分方程，线性离散时间系统对应线性差分方程差分方程易于编程递推实现，但是必须考虑算法初始条件和算法稳定性第二十六页，共六十一页，2022年，8月28日2、z函数在零状态（y，u为0）下对差分方程两边取z变换:特性与Laplace变换下的传递函数类似。第二十七页，共六十一页，2022年，8月28日3、权序列定义单位脉冲序列为离散时间系统在零状态下单位脉冲序列，其响应为权函数h(n)。可以证明：第二十八页，共六十一页，2022年，8月28日RC滤波器：用间隔为T的脉冲序列采样可得：举例第二十九页，共六十一页，2022年，8月28日Z-1举例方框图表示信号流图第三十页，共六十一页，2022年，8月28日4、离散状态空间模型以上三种方式主要描述了系统的外部特征，称为“外部模型”。引进状态变量序列{x(k)},可构成描述系统离散状态空间模型，称为“内部模型”根据H(z)可以确定离散状态空间模型，但不唯一。利用状态空间模型可以唯一确定系统函数H(z)第三十一页，共六十一页，2022年，8月28日1.3采样数据系统模型对于计算机控制系统，其内部环节状态有的是连续变量，有的是离散变量。一般来说：控制部分是离散变量，控制对象是连续变量采样数据系统是一个连续和离散混合的系统。第三十二页，共六十一页，2022年，8月28日1.3采样数据系统模型假设数字计算机完成的处理关系为1，采样保持器采用零阶保持器，将图中的数字计算机和采样保持器合并简化。第三十三页，共六十一页，2022年，8月28日1.3采样数据系统模型可以证明，在Laplace变换下：第三十四页，共六十一页，2022年，8月28日1.3采样数据系统模型从而，计算机采样控制系统可用以下模型计算。第三十五页，共六十一页，2022年，8月28日第二节

离散等价性原理对一个连续系统进行仿真，首先需要将数学模型转换为可以用计算机程序实现模型。本质上是：S平面(连续)到Z平面(离散)的映射变换。方法有二大类连续系统的离散等价Z域离散相似模型时域离散相似模型数值积分算法（第三章内容）早期计算方法现代主要计算方法第三十六页，共六十一页，2022年，8月28日2.1Z域离散相似模型将连续系统进行离散化处理，将G(s)转化为G(z)为了二者等价，必须采样周期满足Nyquist采样定理信号重构器有零阶、一阶、三角等形式，对应误差不同。这种方法在仿真技术早期独立编程时用的比较多。第三十七页，共六十一页，2022年，8月28日2.1Z域离散相似模型非因果系统，无法物理实现。第三十八页，共六十一页，2022年，8月28日举例比如系统如下：Z域离散相似模型为第三十九页，共六十一页，2022年，8月28日2.2时域离散相似模型状态空间模型是时域模型，是一个微分方程组。比如第四十页，共六十一页，2022年，8月28日状态空间的解对状态空间模型方程两边同时取s变换，（考虑初始条件为0）对X(s)和Y(s)取Laplace反变换，可求出x(t),y(t)。第四十一页，共六十一页，2022年，8月28日零输入解状态方程称eAt为矩阵指数函数

因此状态方程的解为：(t)为状态转移矩阵。第四十二页，共六十一页，2022年，8月28日一般解当输入不为0时，系统响应为：可见系统输出由两部分组成零输入响应：与输入无关，由初值决定零状态响应：卷积和。第四十三页，共六十一页，2022年，8月28日离散化仿造z域离散化方法在mT和(m+1)T时刻一步状态转移第四十四页，共六十一页，2022年，8月28日离散化在mT和(m+1)T之间，假设u(t)不变(零阶保持),则在mT和(m+1)T之间，假设u(t)三角保持,则以上两式称为连续系统的等价两式状态模型。第四十五页，共六十一页，2022年，8月28日举例系统如下：第四十六页，共六十一页，2022年，8月28日离散化采用零阶保持器进行离散化可得离散化模型：第四十七页，共六十一页，2022年，8月28日当T=0.05s的数字模型Matlab程序如下：num=[1];den=[110];sys1=tf(num,den)[A,B,C,D]=tf2ss(num,den),sys2=ss(A,B,C,D)sysD=c2d(sys2,0.05,'zoh')结果如下：a=x1x2x10.95120x20.048771b=u1x10.04877x20.001229c=x1x2y101d=u1y10Samplingtime:0.05第四十八页，共六十一页，2022年，8月28日当T=0.05s的数字模型差分方程的解法：clearall;clc;N=120;T=0.05;fori=1:Nu(i)=1;x1(i)=0;x2(i)=0;end

form=1:N-1x1(m+1)=0.95120*x1(m)+0*x2(m)+0.05*u(m);x2(m+1)=0.04877*x1(m)+1*x2(m)+0.001229*u(m);end

t=T*(1:N);subplot(2,1,1);stem(t,x1);subplot(2,1,2);step(1,[11]);第四十九页，共六十一页，2022年，8月28日2.3欧拉替换法若系统一阶微分方程为：从而第五十页，共六十一页，2022年，8月28日欧拉替换法的稳定性如图，z域的单位圆映射到s域的圆，可见，当T比较小的时候，s域的圆可以将S域左边平面的所有极点包含，通过欧拉映射全部到Z平面的单位圆内，系统稳定，反之不稳定。第五十一页，共六十一页，2022年，8月28日2.4双线性替换法双线性替换法有称TUSTIN法，将离散用梯形公式替换欧拉斜率公式化简可得第五十二页，共六十一页，2022年，8月28日双线性法的稳定性从s域映射到z域可见：双线性法将s域的整个左半平面映射到z域单位圆内，替换前后，系统的稳定性不变。第五十三页，共六十一页，2022年，8月28日其他方法其他离散建模方法冲激响应不变法零极点匹配法….第五十四页，共六十一页，2022年，8月28日第三节系统建模的Matalb实现系统建模传递函数模型零极点模型状态空间模型模型转换传递函数零极点模型传递函数状态空间模型连续系统模型离散系统模型Notebook演示第五十五页，共六十一页，2022年，8月28日系统建模传递函数模型TFCreationoftransferfunctionsorconversiontotransferfunction.

SYS=TF(NUM,DEN)createsacontinuous-timetransferfunctionSYSwithnumerator(s)NUManddenominator(s)DEN.TheoutputSYSisaTFobject.

SYS=TF(NUM,DEN,TS)createsadiscrete-timetransferfunctionwithsampletimeTS(setTS=-1ifthesampletimeisundetermined).Seealsoltimodels,filt,exp,set,get,lti/tfdata,zpk,ss,frd.Example：sysA=tf([1,0],[121]),Transferfunction:s/s^2+2s+1第五十六页，共六十一页，2022年，8月28日系统建模零极点模型ZPKDATAQuickaccesstozero-pole-gaindata.

[Z,P,K]=ZPKDATA(SYS)returnsthezeros,poles,andgainforeachI/OchanneloftheLTImodelSYS.ThecellarraysZ,PandthematrixKhaveasmanyrowsasoutputsandasmanycolumnsasinputs,andtheir(I,J)entriesspecifythezeros,poles,andgainofthetransferfunctionfrominputJtooutputI.SYSisfirstconvertedtozero-pole-gainformatifnecessary.

[Z,P,K,TS]=ZPKDATA(SYS)alsoreturnsthesampletimeTS.OtherpropertiesofSYScanbeaccessedwithGETorbydirectstructure-likereferencing(e.g.,SYS.Ts)Seealsozpk,get,lti/tfdata,lti/ssdata,ltimodels,ltiprops.

第五十七页，共六十一页，2022年，8月28日系统建模状态空间模型SSCreatesstate-spacemodelorconvertsmodeltostatespace.

SYS=SS(A,B,C,D)createsaSSobjectSYSrepresentingthecontinuous-timestate-spacemodeldx/dt=Ax(t)+Bu(t)y(t)=Cx(t)+Du(t)YoucansetD=0tomeanthezeromatrixofappropriatedimensions.IfoneormoreofthematricesA,B,C,Dhaveuncertainty,SSreturnsanuncertainstate-space(USS)model(RobustControlToolboxonly).

SYS=SS(A,B,C,D,Ts)createsadiscrete-timestate-spacemodelwithsampletimeTs(setTs=-1ifthesampletimeisundetermined).Seealsoltimodels,ltiprops,dss,delayss,rss,drss,lti/ssdata,tf,zpk,frd.第五十八页，共六十一页，2022年，8月28日模型转换传递函数状态空间模型TF2SSTransferfunctiontostate-spaceconversion.[A,B,C,D]=TF2SS(NUM,DEN)calculatesthestate-spacerepresentation:.x=Ax+Buy=Cx+Du

ofthesystem:NUM(s)H(s)=--------DEN(s)

Seealsotf2zp,ss2tf,zp2ss,zp2tf第五十九页，共六十一页，2022年，8月28日模型转换状态空间模型传递函数SS2TFState-spacetotransferfunctionconversion.[NUM,DEN]=SS2TF(A,B,C,D,iu)calculatesthetransferfunction:

NUM(s)-1