医学统计学第三章 常用概率分布

第三章

常用概率分布1引言

在医学研究观察中，广泛存在随机现象，通常用随机变量取值描述或刻画这些随机现象。随机变量的分布常见的有三种类型：二项分布（binominaldistribution）Poisson分布（Poissondistribution）正态分布（normaldistribution）连续型变量离散型变量2连续型变量：可以在一个区间上任意取值的变量，即在忽略测量精度的情况下，连续型变量在理论上可以取到区间中的任意一个值，属于定量资料中的一种，通常含有测量单位。如身高、血糖等。离散型变量：变量的取值范围是有限个值或者一个数列，如红细胞计数、脉搏、住院天数、血型等。3【教学目的】掌握正态分布曲线的特征及应用了解正态分布的密度函数

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第一节正态分布及其应用

【典型案例】【例1】随机调查某医院1402例待分娩孕妇，测得她们的体重。体重在各组段的频数分布见表2.1第2列，并求得体重落在各组段的频率（表2.1的第3列）。6表2.1某医院1402例分娩孕妇体重频数分布7【案例分析】

现以体重测量值为横轴，以频率与组距的比值（本例为频率/4，表2.1的第5列）为纵轴作出直方图。由于该直方图的纵轴表示在每个组段内单位长所占有的频率，相当于频率密度，因此我们将此图称为频率密度图（见图3.1）。8

图3.1体重频率密度图9一、正态分布的概念

若将各直条顶端的中点顺次连接起来,得到一条折线。当样本量n越来越大时，组段越分越细，此时直方渐进直条，这条折线就越来越接近于一条光滑的曲线（见图3.1），我们把这条呈中间高，两边低，左右基本对称的“钟型”曲

线称为正态分布曲线，近似于数学上的正态分布（高斯分布;Gauss）。10

图3.1体重频率密度图

图3.2概率密度曲线示意图11二、正态分布的密度函数

式中，μ为总体均数，σ为总体标准差，π为圆周率，e为自然对数的底，仅x为变量。当x确定后，f(x)为X相应的纵坐标高度，则X服从参数为μ和σ2的正态分布（normaldistribution)，记作X~N（μ，σ2

）。12

一般地，若连续型随机变量，设其概率密度函数为，则X取值落在区间内的累积概率为概率密度曲线下位于的图形面积，等于其概率密度函数在到x上的积分，记作13

称为正态分布的分布函数。其值表示变量落在区间的概率，对应于从到x概率密度曲线下的阴影的面积（常称为左侧尾部面积），见图3.3。14图3.3正态分布的概率密度函数15

于是，利用分布函数可以计算正态分布变量取值在任意区间（a,b）的概率为

abxf(x)16P55917

1．集中性：正态曲线在横轴上方均数处最高。2．对称性：以均数为中心，左右对称。3．均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，以X轴为渐近线,分别向左右两侧逐渐均匀下降。

三、正态分布的特征184曲线在

处各有一个拐点，即曲线在

和

区间上是下凸的，在

区间

内是上凸的。5正态分布的图形由均数和标准差两个参数决定。位置参数μ；变异度参数σ。19

图3.4正态分布位置变换示意图20

图3.5正态分布形态变换示意图216.正态分布曲线下的面积分布有一定规律：正态曲线与横轴所夹的面积为1。位于内的面积为0.90；位于内的面积为0.95；位于内的面积为0.99。22图3.6正态分布曲线下面积分布规律示意图23四、标准正态分布

为了实际应用的方便，设Z=（x-μ）/σ，即将原点移到μ的位置，横轴尺度以σ为单位，使μ=0，σ=1，则将原正态分布变换为标准正态分布,N(0,1)。Z为标准正态变量或标准正态离差。24

正态分布标准正态分布25xms一般正态分布

=1Z标准正态分布26

统计学家对不同的z值编制了标准正态分布曲线下面积表(见附表1)，这样一般正态分布N(μ,σ2)的概率计算问题借助于标准化变换，并通过查附表1就完全解决了。27标准正态分布的概率密度曲线与分布函数示意图28P55929

1.标准正态分布区间（-1，1）的面积占总面积的68.26%。2.标准正态分布区间（-1.96，1.96）的面积占总面积的95%。3.标准正态分布区间（-2.58，2.58）的面积占总面积的99%。标准正态分布曲线下面积规律30【例2】已知某地正常成年女子的血清总蛋白数服从正态分布，调查了该地110名正常成年女子，得样本血清总蛋白均数为72.8（g/L），标准差为3.8（g/L），试估计该地正常成年女子血清总蛋白介于66.0-75.0（g/L）之间的比例，以及110名正常成年女子中血清总蛋白介于66.0-75.0（g/L）之间的人数。31

解：本例由于是大样本，可用样本均数和样本标准差作为总体μ、σ

的估计值，即将该地正常成年女子的血清总蛋白数近似看作服从N(72.8,3.82)的正态分布。作如下标准化变换：32查标准正态分布表得：于是33

故估计该地区正常成年女子血清总蛋白介于66.0~75.0（g/L）之间的比例为68.23%。估计110名正常成年女子中血清总蛋白介于66.0~75.0（g/L）之间的人数约为人。341.制定医学参考值范围参考值范围（referencerange)是指所谓“正常人”的解剖、生理、生化等指标的波动范围。制定参考值范围时：（1）首先要确定一批样本含量足够大的“正常人（2）根据研究目的和使用要求选定适当的医学参考值范围（3）需根据专业知识确定单侧或双侧界值（4）根据资料分布特征选择合适的方法五、正态分布的应用35

双侧临界值：标准正态分布双侧尾部面积之和等于α时所对应的正侧变量值，记作Zα/2。

单侧临界值：标准正态分布单侧尾部面积等于α时所对应的正侧变量值，记作Zα。36

参考值范围的制定方法：（1）正态分布法适用于正态或近似正态分布资料；双侧界值单侧上界单侧下界37

参考值范围的制定方法：

（2）百分位数法：特别适用于偏态分布资料以及资料中一端或两端无确切数值的资料。如95%参考值范围：双侧界值：P

2.5和P

97.5

单侧上界：P

95

单侧下界：P

5

38

【例3】调查某地120名健康女性血红蛋白，直方图显示其分布近似正态分布，

试估计该地健康女性血红蛋白的95%参考值范围。39

因血红蛋白过高、过低均为异常，所以按双侧估计95%医学参考值范围：上限为：

下限为：40

注意：95%医学参考值范围仅告诉我们某特定人群中，95%的个体该指标测定值在此范围内，并不能说明在此范围内都“正常”；也不能说明凡不在此范围内都“不正常”，因此医学参考值范围在临床上只能作为参考。41表3.1常用参考值范围的制定42

【例4】

某地调查120名健康成年男性的第一秒肺通气量得均数=4.2(L),标准差S=0.7（L），试据此估计该地健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围。43

解由于该地健康成年男子第一秒肺通气量近似服从正态分布，可用正态分布法计算。因第一秒肺通气量仅过低属异常，故只需求出下限。即该地健康成年男子第一秒肺通气量的95%参考值范围为不低于3.05（L）。442.估计频数分布

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为了控制实验中的检测误差，常以作为上下警戒值，以作为上下控制值。这里的2s和3s可视为1.96s和2.58s的约数。3.进行质量控制

4647（1）t分布、F分布、分布都是在正态分布的基础上推导出来的。（2）t分布、二项分布、Poisson分布的极限为正态分布，在一定条件下，可以按正态分