静电场中的导体与电介质

静电场中的导体与电介质第一页，共六十三页，2022年，8月28日本章只限于讨论各向同性均匀金属导体，与电场的相互影响。1.金属导体电结构模型构成导体框架、形状、大小的是那些基本不动的带正电荷的原子实，而自由电子充满整个导体——公有化。

当有外电场或给导体充电，在场与导体的相互作用的过程中，自由电子的重新分布起决定性作用。自由电子8.1静电场中的导体当没有外电场时，导体中的正负电荷等量均匀分布，宏观上呈电中性。

8.1.1静电感应静电平衡条件第二页，共六十三页，2022年，8月28日2.静电感应金属导体的电结构特征：内部有大量的自由电子静电感应现象：导体在静电场中与电场相互影响，结果导体上出现电荷——感应电荷感应电荷也要产生电场，方向与外电场方向相反，当导体内的感应电荷产生的电场与外电场完全抵消后，导体与外电场处于静电平衡演示程序：导体的静电平衡++++++------++++++------E0++++++------E第三页，共六十三页，2022年，8月28日（1）导体内部电场为0，即Eint=0；（如果不垂直，电荷切向方向还受力，还会移动，不满足平衡条件）3.导体静电静电平衡条件（2）导体表面处的电场垂直导体表面，即表面；（3）导体是等势体，表面是等势面。1.内部各处净电荷为零，净电荷只能分布在表面8.1.2静电平衡时导体上电荷的分布2.表面某处电荷面密度正比于该处的电场，即（一般）第四页，共六十三页，2022年，8月28日3.孤立导体表面电荷分布由导体形状决定导体q初略证明如下：取两带电导体球（相隔较远，互相不影响电荷分布）（注：E仍是由所有的感应电荷及外电场共同产生的，不是仅由ΔS上的电荷产生）其表面面电荷密度与各点的曲率半径有关，曲率半径大处面电荷密度小，曲率半径小处面电荷密度大。第五页，共六十三页，2022年，8月28日即可得例如尖端放电：用一导线连接，静电平衡时，忽略导线上所带的电荷,设大球带电量为Q，小球带电量为q+Q++++++++++++++第六页，共六十三页，2022年，8月28日第七页，共六十三页，2022年，8月28日例：A、B为靠得很近的两块平行金属板，板的面积为S

，板间距为d

，使A、B板带电分别为qA

与qB

，且qA

大于qB求各板两侧所带的电量及两板间的电压。解：设各侧面所带的电量及面电荷密度如图因板相互靠得很近，可近似当无限大带电平面分析，对A、B板内的A、B点，板内的电场为0第八页，共六十三页，2022年，8月28日联立上3个式子得：例：则由电荷守恒有：（3）同理由EB=0得：（2）思考：若此板接地，情况如何？第九页，共六十三页，2022年，8月28日IIIIII思考：图中三个区域的场强为多少？一、利用导体表面附近紧邻处的电场与该处电荷面密度的关系得：EI方向向左，EIII方向向右EII方向向右二、利用四个无限大带电平面共同产生电场的叠加结果同上。第十页，共六十三页，2022年，8月28日例：

一个带电金属球半径R1，带电量q1，放在另一个带电球壳内，其内外半径分别为R2、R3，球壳带电量为q

。试求此系统的电荷、电场分布以及球与球壳间的电势差。如果用导线将球壳和球接一下又将如何？

解：设球壳内外表面电量为q2、q3，在球壳内作一半径为r的高斯面，由高斯定理得到

由电荷守恒定律

在金属球与金属壳内部的场强为零

R1R2R3q1q2q3r第十一页，共六十三页，2022年，8月28日所以金属球A与金属壳B之间的电势差为：如果用导线将球和球壳接一下，则金属球壳B的内表面和金属球A球表面的电荷会完全中和，重新达到静电平衡，二者之间的场强和电势差均为零。球壳外表面仍保持有q1+q的电量，而且均匀分布，它外面的电场仍为

R1R2R3q1q2q3r第十二页，共六十三页，2022年，8月28日8.1.3静电屏蔽（空腔导体可隔离腔内与腔外带电体间的相互作用）1.腔内无隔离电荷2.腔内有隔离电荷演示程序：内部有带电体的空腔导体第十三页，共六十三页，2022年，8月28日高压设备都用金属导体壳接地做保护，它起静电屏蔽作用，内外互不影响。电子仪器、传输微弱信号的导线，为了避免外界的干扰，在导线外包一层用接地的金属丝编织的屏蔽线层。

应用：第十四页，共六十三页，2022年，8月28日讨论：接地对球面感生电荷的影响

将一不带电的空腔导体球壳放入点电荷q所产生的电场中，接地后球壳外表面带电量为Q。空腔内部及导体内部电场强度处处为零，它们形成等电势区。取球心点分析

球心处的电势

导体球壳接地

演示程序：接地对球面感生电荷的影响

QqRO第十五页，共六十三页，2022年，8月28日作业8－1、2、3、4第十六页，共六十三页，2022年，8月28日练习题：空腔导体是半径分别为R1和R2、带电量为Q的导体球壳，里面有一半径为r

、带电量为q

同心导体小球。求（1）小球的电势；（2）空腔导体球壳的电势；（3）若球壳接地，小球与球壳的电势差；（4）再将球壳绝缘而小球接地，求小球所带的电荷量及球壳的电势。解：（1）静电平衡时，球壳内表面带电荷-q，外表面有Q+q演示程序：内部有带电体的空腔导体第十七页，共六十三页，2022年，8月28日（4）小球接地，静电平衡，电荷重新分配，设小球上有电荷为q/，球壳内表面有-q/，外表面就有-q+q/，小球接地电势为0第十八页，共六十三页，2022年，8月28日例题：

导体A含有两个空腔，在腔中心分别有qb、qc，导体本身不带电。在距A中心r远处有另一电荷qd,。问qb、qc、qd各受多大力？(设r>>R)解：两空腔内的电场都不受外界影响；内表面感应电荷均匀分布，因此，qb、qc

受力为零。根据电荷守恒，导体外表面感应电量且电荷均匀分布，导体外场强分布类似于点电荷的场

，电荷qd,受力近似为0rR因r>>R，忽略qd对A球的感应，故上答案是近似的。第十九页，共六十三页，2022年，8月28日小结（1）导体内部电场为0，即Eint=0；1、导体静电静电平衡条件（2）导体表面处的电场垂直导体表面，即表面；（3）导体是等势体，表面是等势面。内部净电荷为零，电荷仅分布在外表面2、静电平衡的导体上的电荷分布3、计算有导体存在时的静电场分布问题的基本依据高斯定律、电势概念、静电平衡条件、电荷守恒4、接地的空腔导体可隔绝腔内外电场的相互影响第二十页，共六十三页，2022年，8月28日8.2电容电容器8.2.1电容器电容电容器电压：两金属导体间的电压电容：电容器升高单位电压所需的电量C由器件本身的结构所决定，与所带的电量和电压无关类比：水桶的容量单位为：F（法拉）=106μF=1012pF由两个用电介质隔开的金属导体组成的器件第二十一页，共六十三页，2022年，8月28日8.2.2几种常见电容器的电容设电容器中的两个导体分别带有等量异号的电荷q，周围没有其它带电体，其间电势差UAB

电容器的电容

1.平行板电容器无电介质（真空）

第二十二页，共六十三页，2022年，8月28日2.圆柱形电容器(同轴电缆)内筒上电荷线密度为，外筒上电荷线密度为

考虑长度为l的圆柱形电容器

第二十三页，共六十三页，2022年，8月28日3.球形电容器第二十四页，共六十三页，2022年，8月28日例:一个半径为R的孤立导体球的电容

将地球看作导体球

法拉是一个很大的单位!

Rq4.孤立导体的电容第二十五页，共六十三页，2022年，8月28日例：设有两根半径都为R的平行长直导线，它们中心之间相距为d,且d>>R，求单位长度的电容。x0p-解：如图，p点的电场强度为两导线间的电压为于是，长直导线单位长度的电容为第二十六页，共六十三页，2022年，8月28日8.2.3电容器的联接1.电容器的并联U2.电容器的串联U第二十七页，共六十三页，2022年，8月28日作业8－5、7、8第二十八页，共六十三页，2022年，8月28日电介质:不能导电的绝缘体（理想）（内部没有可以移动的电荷，就是电子和原子核的结合力很强，电子处于束缚状态）（或者说电阻率很大）电介质对电场、电容的影响板间距不变r—电介质相对介电常数（相对电容率）0

r

=—介电常数(电容率）+Q–Q+Q–Qr8.3.1电介质对电场、电容的影响相对介电常数UC0C静电计测电压U08.3静电场中的电介质第二十九页，共六十三页，2022年，8月28日8.3.2电介质的极化机理电介质极化的微观机理1.有极分子（极性）：正常情况下，分子中正、负电荷的中心不重合，有固有电偶极矩2.无极分子：在正常情况下，正负电荷的中心重合，没有固有的电偶极矩，在外电场的作用下，中心分开，产生感应电偶极矩第三十页，共六十三页，2022年，8月28日演示程序：电介质的极化

自由状态下无极分子自由状态下有极分子电介质的极化第三十一页，共六十三页，2022年，8月28日一般情况下，固有电偶极矩大于感应电偶极矩E0E0转向极化：位移极化：E/注：分子在转向极化的同时，一般还会产生位移极化。但是电介质在静电场的作用下，取向极化的效应比位移极化的效应强得多。

介质表面出现负电荷介质表面出现正电荷第三十二页，共六十三页，2022年，8月28日在外电场中，均匀介质内部各处仍呈电中性，但是在电介质与外电场强度相垂直的两个表面层上，将分别出现正电荷和负电荷。这种电荷不能离开电介质到其它带电体，也不能在电介质内部自由移动。我们称它为束缚电荷或极化电荷。电介质极化——在外电场的作用下，介质端面出现电荷（束缚电荷）束缚电荷产生的电场与外电场反向，故介质内的电场削弱了。在置于外电场中的电介质中取一小体积元V，V内的分子电偶极矩的矢量和不为零。

外电场越大，分子电偶极矩的矢量和越大。

无外电场有外电场E0第三十三页，共六十三页，2022年，8月28日8.3.3电晕现象阴雨天气的大气中存在着较多的水分子，水分子是具有固有电偶极矩的有极分子。此外，输电线附近存在着非均匀电场，水分子在此非均匀电场的作用下，一方面要使其固有电偶极矩转向外电场方向，另一方面由于电场不均匀，电偶极子中的正负电荷所受的电场力不为零，还要向输电线移动，从而使水分子凝聚在输电线的表面上形成细小的水滴。由于重力和电场力的共同作用，水滴的形状因而变长并出现尖端。而带电水滴的尖端附近的电场强度特别大，从而使大气中的气体分子电离，以致形成放电现象。这就是在阴雨天常看到高压输电线附近有淡蓝色辉光，即电晕现象的原因。第三十四页，共六十三页，2022年，8月28日8.3.4电极化强度单位体积内的分子电偶极矩的矢量和空间某点附近电介质的极化程度

SI单位制中，P

的单位是C/m2

，与σ同。1.电极化强度P

简称为极化强度

P一般的是空间位置的函数

对非极性分子的电介质：实验证明，当电介质（各向同性）中的E不太大时有：E0E0e—电介质电极化率第三十五页，共六十三页，2022年，8月28日dSEPenθ2.电极化强度P与/的关系以非极性分子电介质为例，假定负电荷不动，正电荷沿电场的方向发生位移l，则由于电极化越过dS面的总电荷为dS面上因极化而越过单位面积的电荷数为以上是由非极性分子电介质推出，对极性分子电介质也适用若dS正好是界面，则dS上dSenPθ第三十六页，共六十三页，2022年，8月28日极化电荷与自由电荷一样，在周围空间（无论是介质内或介质外）也要产生电场－附加电场E/,故空间任意点的电场为E/E0E在介质内部，E/与E0反向，介质内的总电场比E0减弱，极化强度也将减弱。极化电荷在内部的附加电场总是起着减弱极化的作用－退极化场第三十七页，共六十三页，2022年，8月28日例8－4:半径R

的介质球被均匀极化，极化强度为P（方向如图）。求（1）介质球表面的极化电荷分布；（2）极化电荷在球心处产生的退极化场。

解：

（1）如题图所示，在球面上任一点处

右半球面上

左半球面上最大

（2）在球面上取狭窄环带，环带对应的角度

环带上的极化电荷电量

RPoenqd第三十八页，共六十三页，2022年，8月28日根据均匀带电圆环在圆环轴线上的场强，得到此环带在球心处的场

球面上的极化电荷在球心处的场

dE

沿P负方向

E

和P反向。

RPonqddE/第三十九页，共六十三页，2022年，8月28日8.4有介质时的高斯定理8.4.1电介质中的电场强度极化电荷与自由电荷的关系以平行板电容器为例（忽略边缘效应）自由电荷面密度0与束缚电荷/的关系p第四十页，共六十三页，2022年，8月28日电介质极化强度对如图平行板，有代入上式有即式中电介质的电极化率附注：在高频的交变电场中，r与频率f有关第四十一页，共六十三页，2022年，8月28日8.4.2电位移有介质时的高斯定理

（仍以忽略边缘效应的平行板为例，结果适用任意电场）1、电位移：单位：C/m2有介质时的高斯定理：（q0为自由电荷）D第四十二页，共六十三页，2022年，8月28日（介质均匀极化，介质表面是等势面）第四十三页，共六十三页，2022年，8月28日例:

一个金属球半径为R，带电量q0，放在均匀的相对介电常数为r电介质中。求(1)场强分布；（2）界面处极化面电荷分布；（3）在交界面处的总电荷量。解：导体内场强为零。

q0均匀地分布在球表面上，球外的电场E、电位移D都具有球对称性。

在球外取半径为r的高斯面S：带电球周围充满均匀无限大电介质后，其场强是真空中电场的1/r倍。

rq0RroSr第四十四页，共六十三页，2022年，8月28日电极化强度P与r有关，非均匀极化。

极化电荷分布在电介质与金属球交界处的电介质表面上

极化电荷面密度

因r＞1，极化电荷与q0反号

en是电介质与金属球交界面处由电介质指向金属球的法向单位矢量，与r的方向相反

rq0Rro/n第四十五页，共六十三页，2022年，8月28日在交界面处自由电荷和极化电荷的总电荷量为

是自由电荷量的1/r倍

第四十六页，共六十三页，2022年，8月28日作业8－13、14、15第四十七页，共六十三页，2022年，8月28日例：8－5：如图，平行板面积为S，板间距离为d

，接在电压为V的电源上，介质的相对介电常数为r。求（1）（2）两种接法板内各处的电场、自由电荷与束缚电荷面密度。解：（1）设两边的电场即电荷面密度如图所示（1）第四十八页，共六十三页，2022年，8月28日（2）第四十九页，共六十三页，2022年，8月28日电容器的性能主要由其电容和耐压来标定。在使用电容器时，所加电压不能超过耐压值，否则就会因场强过大使电介质的绝缘性能遭到破坏而烧坏电容器（击穿）。

击穿场强：电介质所能承受的不被击穿的最大场强根据耐压和电容量的需要，电容器间可以有更复杂的连接方法（串并联混合用）。电介质击穿现象：若外加电场很强，则电介质中分子中的正负电荷有可能被拉开而变成可以自由移动的电荷。由于大量的这种电荷的产生，电介质的绝缘性能就会遭到破坏而变成了导体。第五十页，共六十三页，2022年，8月28日例8－6：如图，两共轴的长导体圆筒组成的电容器，内外筒半径分别为R1、R2（R1<R2），其间有层均匀的相对介电常数r的电介质，若介质的击穿场强为EM。（1）当电压升高时，介质的哪处先击穿？（2）两筒间能加的最大电压为多少？解：（1）设导体中单位长度的带电量为λ，由有介质时的高斯定理容易得到介质中的电场强度为从上式可知，半径r越大处E值越小，因为介质内表面半径R1为最小，所以介质中场强最大处应在内表面处，当电压升高时，ER1最先到达最大的击穿场强，故电介质的内表面处先击穿。R2oεrR1o第五十一页，共六十三页，2022年，8月28日（2）两筒间的电压为R2oεrR1o要计算能加的最大电压UM，设ER1＝EM，则代入上式U值中，得第五十二页，共六十三页，2022年，8月28日8.5静电场的能量能量密度电容器充电过程：电容为C，两极板上的电量从0达到Q，两极板间的电势差为U。

设在充电过程中某时刻，两极板上的电量为q，两极板间的电势差为u。

外力（电源）将电量dq从负极板移到正极板，作功

充电结束后，外力作功

8.5.1电容器的能量第五十三页，共六十三页，2022年，8月28日充电时电源克服电场力作功W，这些功转变为电能储藏在电容器中，放电时，电容器将这些能量释放出来。带电电容器（带电量为Q，电压为U）的能量为：上式结论对任意电容器均适用第五十四页，共六十三页，2022年，8月28日以平行板电容器为例推导：电场的能量密度：以上结论对任意电场均成立（dV是电场的体积元）积分遍及电场分布的空间——电场携带了能量

8.5.2静电场的能量第五十五页，共六十三页，2022年，8月28日例题：求半径为R带电量为Q的均匀带电球的静电能解一：计算定域在电场中的能量带电球的电场分布为：RQrO第五十六页，共六十三页，2022年，8月28日

解二：计算