近代量子力学疑难问题

近代量子力学疑难问题第一页，共十九页，2022年，8月28日1[第二讲]无限深方阱中粒子动量波函数的争论

第二页，共十九页，2022年，8月28日2目录一，Pauli和Landau的矛盾——“量子力学的数学是错的”？！二，无限深方阱模型及基态动量波函数1）无限深方阱模型2）两种基态动量波函数表达式三，矛盾分析与结论四，设想实验的佐证五，问题的根源[附录]第三页，共十九页，2022年，8月28日3一，Pauli和Landau的矛盾——

“量子力学的数学是错的”？！

最简单的势阱束缚态模型，一种近似数学模写：势能不可能真为无限大，也不会严格的阶跃。此模型的动量波函数先由Pauli，后由Landau等人给出了不同的结果。此后，这个模型动量波函数及其衍生问题先在国外少数学者中有过讨论，接着被引进国内。近数年有过不大不小的争论，并还导致严重误解：

“中国数学家挑战物理学 量子力学逻辑自相矛盾”

——“文汇报”1997年12月10日，头版重要通讯报导。以及不少文章、著作对量子力学的否定或曲解。第四页，共十九页，2022年，8月28日4第五页，共十九页，2022年，8月28日5二，无限深方阱模型及基态动量波函数1）无限深方阱模型

相应的一维Schrödinger方程，

Schrödinger方程应当定义在整个x轴上。分为三个区域：第I、III区V(x)=+∞。边界条件ψ(x)＝0(|x|≥a)

；求解坐标波函数只需对第II区进行。有时这种边界条件被简单地写为ψ(x)＝0(|x|=a)。这时对阱外情况未作规定，提法含混。矛盾即源生于此处[7]：

坐标波函数边条件这两种不同提法，不影响求解阱内坐标波函数，但却影响阱内粒子动量波函数！第六页，共十九页，2022年，8月28日6

阱中粒子能级和波函数为将正弦波函数ψn(x)用复指数表示，并近似配以exp(-iEnt/h)

仅就阱内说，阱中粒子波函数是两个反向传播的deBroglie行波叠加而成的驻波，类似于两端固定的一段弦振动。但这种说法虽然形象却是近似的！因为这两个行波仅仅存在于有限区间[-a,a]内，

有限长度光波波列不会是严格单色波（[5]，也见[4]）。第七页，共十九页，2022年，8月28日7

2）两种基态动量波函数表达式

坐标波函数边界条件设定的分歧Landau和Pauli

等人给出了不同结果。由此引发了混乱。

Pauli等人求解[1、2]。求解基态粒子的动量波函数φ1(p)时，直接采用前面n=1基态两个“单色波”的两个“动量”。表明：阱中粒子动量谱是两个（此式实际对应全实轴相向运动的）单色deBroglie波叠加而成的驻波。第八页，共十九页，2022年，8月28日8

L.D.Landau等人做法[3、5]：将上面定义在全实轴上的基态坐标波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数φ1(p)：

代入ψ1(x)表达式，注意阱外ψ1(x)为零，即得阱中粒子动量概率是连续分布

两种结果很不同！那个正确？！两个都对？两个都错？

按几年来文献讨论情况，4种观点全有表述，分歧明显、争论热烈[6]。第九页，共十九页，2022年，8月28日9三，矛盾分析与结论[7]按QM基本原理，波函数、动量算符及Schrödinger方程都应当定义在整个（空间）实轴上，而不是只定义在（有限空间的）势阱内。事实上，

正确的边界条件应当是 ψ(x)＝0(|x|≥a)；

而不是

ψ(x)＝0(|x|=a)。 如果相反，认为边界条件可以用后者，并认为物理量算符可以“只”定义在势阱|x|<a

内，这不仅会给QM基本原理解释以及很多算符（比如，动量算符及相关的动能算符、轨道角动量算符等）厄密性、完备性带来许多不必要的混乱和麻烦，理论处理很烦琐；而且动量波函数的解有两种了结果！

边界条件的两种不同提法，对求解阱内坐标波函数没甚么影响，因为阱内坐标波函数是定域解；但对求解阱内粒子的动量波函数却有影响。第十页，共十九页，2022年，8月28日10问题的关键是：不象坐标波函数是定域的，

动量波函数是非定域的！即

阱内动量波函数分布不仅仅依赖于阱内坐标波函数的形状，而且依赖于阱外坐标波函数的形状。换句话说，它还取决于对阱外坐标波函数的处理——坐标波函数边界条件的正确拟定。第十一页，共十九页，2022年，8月28日11

Pauli错误处理了阱外坐标波函数：由于并不影响阱内坐标波函数求解，含糊的“两端点为零”边界条件被下意识地推广为“周期零点”边界条件，得到了坐标波函数的周期解。Pauli解正是此周期解的动量分布——这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性延拓。此周期解的阱外部分显然不符合现在阱外要求，其动量分布当然也就不符合阱内现在问题。

可证（见后面附录）：

当比值很大（或n很大）向经典趋近时，

Landau解将逐渐演变为Pauli解。这充分说明

Pauli

解是对大阱宽、高激发态时的近似解。显然，指数上的量±πnh/2a

也不是严格的物理动量（特别当a

或n较小时）。第十二页，共十九页，2022年，8月28日12四，设想实验的佐证

一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为z轴，板上沿y方向开一条无限长的缝，沿x轴的缝宽为2a。电子束由板的下方入射。分离掉电子在y和z方向的自由运动，单就电子在x方向运动而言，便是一个（沿x方向）无限深方阱问题。在板上方放一接收电子的探测屏，观察狭缝穿出的电子在此探测屏上沿x方向的偏转，偏转大小将和电子在x方向的动量px数值有关。由此知：

如a值较小，必定是一个单缝衍射分布。只当a值较大向宏观过渡时，分布才逐渐过渡到两条（平行y

轴的）细线。第十三页，共十九页，2022年，8月28日13五，问题的根源

无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到位势的突变和无穷高势垒假设。其实，物理学中许多常用的数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其小无内的点、其大无外的∞，等等，都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时甚至还会惹出麻烦。

HenriPoincare说：几何点其实是人的幻想。甚至说：“几何学不是真实的，但是有用的。”[8]

第十四页，共十九页，2022年，8月28日14按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说：

V=∞不是真实的，但是有用的。从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势垒V=∞这件事看成是物理真实的了。对它过度的执着干扰了我们对实际物理问题的认识，并且带来许多不必要的困惑和烦恼。文小刚也说[9]：

理论物理中的很多概念并不代表真实。所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再行考察。记住这点有时是很重要的。

第十五页，共十九页，2022年，8月28日15[附录]当时，Landau结果趋近于Pauli结果证：利用-函数的一个表达式：由Landau结果出发(注意最后极限时)：第十六页，共十九页，2022年，8月28日16参考文献[1]W.Pauli，《HandbuchderPhysik》,

eds.byH.Geiger

andK.Scheel,Vol.

24/1,Springer,Berlin,1933。中译本

“Pauli物理学讲义”，第五卷：《波动力学》。洪铭熙等译，人民教育出版社，1983年。他于1956-1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲法。[2],《物理世界（上、下）》，杨基方等译，海洋出版社，1984。第184页，[3]Л.Д.朗道，E.M.栗弗席茨，《非相对论量子力学》，俄文第一版为1947年。[4]W.Pauli，“Pauli物理学讲义”，第五卷：《波动力学》。洪铭熙等译，人民教育出版社，1983年。第15页及注1。[5]

Fermi于1954年所写的《量子力学讲稿》，罗吉庭译，西安交大出版社，1984。第60-61页。

第十七页，共十九页，2022年，8月28日17[6]

国内自1983.6起，见大学物理、光子学报等杂志：《一维无限深势阱内粒子的动量分布》，两篇文章，<大学物理>1994，7；《关于同一问题的不同解法》；<大学物理>《编者的话》；<大学物理>《谈谈量子力学中的动量算符》；<大学物理>《也谈正则动量算符之争》；<大学物理>《编者的话》；<大学物理>《也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布》

<大学物理>，1998，7；《关于量子力学基础的一个