吉林省长春市德惠市第十四中学高二数学理下学期期末试卷含解析

吉林省长春市德惠市第十四中学高二数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知椭圆的离心率为，动是其内接三角形，且．若AB的中点为D，D的轨迹E的离心率为，则（▲）

A．

B．

C．

D．参考答案：A略2.设随机变量服从正态分布，若，则等于A．0.8 B．0.5

C．0.2

D．0.1参考答案：D3.已知如图所示的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P、Q分别在棱BB1、DD1上，且=，过点A、P、Q作截面截去该正方体的含点A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几何体的主视图的是（）参考答案：A略4.若双曲线的实轴长为4，则此双曲线的渐近线的方程为（）A．y=±4x B．y=±2x C． D．参考答案：C【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得m=4，求得双曲线的方程，可得渐近线方程为y=±x．【解答】解：双曲线的实轴长为4，可得2=4，可得m=4，即有双曲线的方程为﹣y2=1，可得双曲线的渐近线方程为y=±x．故选：C．5.下列四个命题正确的是（

）①正态曲线关于直线x=μ对称；②正态分布N（μ，σ2）在区间（-∞，μ）内取值的概率小于0.5;③服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量在（μ-3σ，μ+3σ）以外取值几乎不可能发生；④当μ一定时，σ越小，曲线“矮胖”A．①③ B．②④ C．①④ D．②③参考答案：A略6.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，过A1点可作条直线与直线AC和BC1都成60°角（） A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】转化思想；数形结合法；综合法；空间角． 【分析】因为AD1∥BC1，过A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所成的角都等于600，可转化为过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD1所成的角都等于600．可分在平面ACD1内和在平面ACD1外两种情况寻找．因为要与直线AC和AD1所成的角都相等，故在平面ACD1内可考虑角平分线；在平面AC11外可将角平分线绕点A旋转考虑． 【解答】解：因为AD1∥BC1，所以过A1在空间作直线l，使l与直线AC和BC1所 成的角都等于60°，即过点A在空间作直线l，使l与直线AC和AD1所 成的角都等于60°． 因为∠CAD1=60°，∠CAD1的外角平分线与AC和AD1所成的角相等， 均为60°，所以在平面ACD1内有一条满足要求． 因为∠CAD1的角平分线与AC和AD1所成的角相等，均为30°， 将角平分线绕点A向上转动到与面ACD1垂直的过程中， 存在两条直线与直线AC和AD1所成的角都等于60°； 故符合条件的直线有3条． 故选：C． 【点评】本题考查异面直线所成角的问题，考查空间想象能力和转化能力．在解决本题的过程中，转化思想很重要，属于中档题． 7.设集合A={1，3，7，8}，B={1，5，8}，则A∪B等于（）A．.{1，8} B．.{1，3，7，8} C．.{1，5，7，8} D．{1，3，5，7，8}参考答案：D【考点】并集及其运算．【分析】利用并集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，3，7，8}，B={1，5，8}，∴A∪B={1，3，5，7，8}．故选：D．8.函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是（

）

A．5，15

B．5，

C．5，

D．5，参考答案：C略9.设全集U是实数集R,则A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.不等式x2﹣2x＜0的解集是（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜0} C．{x|x＜0，或x＞2} D．{x|x＜﹣2，或x＞0}参考答案：A【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先求相应二次方程x2﹣2x=0的两根，根据二次函数y=x2﹣2x的图象即可写出不等式的解集．【解答】解：方程x2﹣2x=0的两根为0，2，且函数y=x2﹣2x的图象开口向上，所以不等式x2﹣2x＜0的解集为（0，2）．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某公司的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有下列对应数据：x24568y3040605070由资料显示y对x呈线性相关关系．根据上表提供的数据得到回归方程中的b=6.5，预测销售额为115万元时约需万元广告费．参考答案：15【考点】线性回归方程．【分析】先求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，根据所给的b的值，写出线性回归方程，把样本中心点代入求出b的值，再代入数值进行预报．【解答】解：∵=5，=50，∴这组数据的样本中心点是（5，50）∵b=6.5，∴y=6.5x+a，把样本中心点代入得a=19.75∴线性回归方程是y=6.5x+17.75当y=115时，x≈15故答案为：1512.

；若

.参考答案：0

4

13.在某次综合素质测试中，共设有40个考室，每个考室30名考生．在考试结束后，统计了他们的成绩，得到如图所示的频率分布直方图．这40个考生成绩的众数

,中位数

．参考答案：77.5，77.5.14.设P是曲线上的一个动点，则点P到点（0，1）的距离与点P到轴的距离之和的最小值是___参考答案：15.已知变量x，y满足约束条件，则z=的取值范围是

．参考答案：[0，]【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】本题主要考查线性规划的基本知识，先画出约束条件的可行域，然后分析目标函数的几何意义，结合图象，用数形结合的思想，即可求解【解答】解：画出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，则z==表示可行域内的点P（x，y）与点（﹣3，1）的连线的斜率加上1，观察图形可知，kOA=0，kOB，=，所以z∈[0，]；故答案为：[0，]．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案16.如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面平面，已知，若分别是线段上的动点，则的最小值为

参考答案：略17.小于100的自然数中被7除余3的所有数的和是_

参考答案：679三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门。首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门。再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止。令表示走出迷宫所需的时间。（1）求的分布列；（2）求的数学期望.参考答案：必须要走到1号门才能走出，可能的取值为1，3，4，6

，

分布列为：1346

（2）小时19.如图，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜边AB=4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B﹣AO﹣C是直二面角，动点D在斜边AB上．（Ⅰ）求证：平面COD⊥平面AOB；（Ⅱ）求CD与平面AOB所成角的正弦的最大值．参考答案：【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（I）根据题意，得出二面角B﹣AO﹣C是直二面角，再证出CO⊥平面AOB，即可得到平面COD⊥平面AOB；（II）根据CO⊥平面AOB得∠CDO是CD与平面AOB所成的角，当CD最小时，∠CDO的正弦值最大，求出最大值即可．【解答】解：（I）证明：由题意，CO⊥AO，BO⊥AO，∴∠BOC是二面角B﹣AO﹣C的平面角；又∵二面角B﹣AO﹣C是直二面角，∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，∴CO⊥平面AOB，又CO?平面COD，∴平面COD⊥平面AOB；（II）由（I）知，CO⊥平面AOB，∴∠CDO是CD与平面AOB所成的角；在Rt△CDO中，CO=BO=ABsin=4×=2，∴sin∠CDO==；当CD最小时，sin∠CDO最大，此时OD⊥AB，垂足为D，由三角形的面积相等，得CD?AB=BC?，解得CD==，∴CD与平面AOB所成角的正弦的最大值为=．【点评】本题考查了平面与平面垂直的判定以及直线与平面所成的角的计算问题，也考查了转化思想的应用问题，是综合性题目．20.已知△ABC中,A(1,-4),B(6,6),C(-2,0).(1)求△ABC中平行于BC边的中位线所在直线的一般式方程(2)求BC边的中线所在直线的一般式方程参考答案：略21.已知直线:y=k(x+2)与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．（1）试将S表示成k的函数，并求出它的定义域；（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．参考答案：解析：(1)，定义域：．（2）设，，∴S的最大值为2，取得最大值时k=．