北京中央工艺美术学院附属中学 高二数学理下学期期末试题含解析

北京中央工艺美术学院附属中学高二数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为A．

B．

C．

D．参考答案：A2.有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点，因为函数在处的导数值，所以，是函数的极值点.以上推理中（

）A．大前提错误

B．小前提错误

C．推理形式错误

D．结论正确参考答案：A因为根据极值定义得导数为零的点不一定为极值点，所以如果f'(x0)=0，那么x=x0不一定是函数f(x)的极值点，即大前提错误.选A.

3.已知数列{an}是等差数列a2＋a8=16，a4=6，则a6=？

A.7

B.8

C.10

D.12参考答案：C略4.正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点M在，N为B1B的中点，则为()参考答案：C5.下列命题中正确的个数是（

）①如果直线与平面内的无数条直线垂直，则②如果直线与平面的一条垂线垂直，则③如果直线不垂直于，则内没有与垂直的直线④如果直线不垂直于，则内也可以有无数条直线与垂直A.

0

B.1

C.2

D.3参考答案：B6.钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=

(

)

A、5

B、

C、2

D、1参考答案：B7.过原点且倾斜角为60°的直线被圆所截得的弦长为A．

B．

C．

D．参考答案：C略8.“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据椭圆的定义以及集合的包含关系判断即可．【解答】解：∵方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆，∴，解得：7＜k＜10，故“4＜k＜10”是“方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件，故选：B．9.如图是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为（

）

总计a35457bn总计m73sA．10，38

B．17，45

C．10，45

D．17，38参考答案：B由题意，根据2×2的列联表可知：，解得a=10，则，又由，解得b=38，则，故选B.

10.函数的零点所在的一个区间是(

)ks5uA、(-2,-1)

B、(-1,0)C、(0,1)D、(1,2)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知为钝角，sin（+）=，则sin（－）=

.参考答案： 试题分析：有题意可得cos（+）=±,由因为为钝角，所以cos（+）=，所以sin（－）=cos[-（-）]=cos（+）=.考点：1.诱导公式；2.同角三角函数的基本关系式.12.，经计算的，推测当时，有__________________________.参考答案：略13.与双曲线有共同的渐近线，且经过点的双曲线的标准方程为

参考答案：14.椭圆的右焦点为F，过原点O的直线交椭圆于点A，P，且PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，，则该椭圆的离心率e=

.参考答案：此题考查椭圆的相关性质和直线方程的相关知识，利用结论：若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，即；求解较简单；由已知得，，取中点，可知，又因为,所以，又因为，由，

15.设，且，且恒成立，则实数取值范围是____________.参考答案：略16.某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论：(1)他第3次击中目标的概率是0.9；(2)他恰好击中目标3次的概率是；(3)他至少击中目标1次的概率是．其中正确结论的序号是

(写出所有正确结论的序号)．参考答案：①③略17.右图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是

.

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，、是通过某城市开发区中心的两条南北和东西走向的街道，连接、两地之间的铁路线是圆心在上的一段圆弧．若点在点正北方向，且，点到、的距离分别为和．（1）建立适当坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；（2）若该城市的某中学拟在点正东方向选址建分校,考虑环境问题，要求校址到点的距离大于，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能少于，求该校址距点O的最近距离（注：校址视为一个点）．参考答案：解：（1）分别以、为轴，轴建立如图坐标系．据题意得，

线段的垂直平分线方程为：∵a＞4

∴

∴在[0，4]上为减函数，……12分∴要使（﹡）恒成立，当且仅当，…14分即校址选在距最近5km的地方．…………16分19.(本小题满分12分)设、分别是椭圆C：的左、右焦点，P是C上的一个动点，且，C的离心率为．（Ⅰ）求C方程；（Ⅱ）是否存在过点且斜率存在的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F1C|=|F1D|．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案：解：（Ⅰ）因为，所以，···············································2分因为离心率为，所以，所以，所以椭圆方程为．

·······4分（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，易知点在椭圆的内部，直线与椭圆一定有两个交点，设直线斜率为，点，点

直线l的方程为，由方程组．

··········

5分．

··········

6分则，

··········

8分又，所以在的垂直平分线上，又的垂直平分线上方程为，

所以．

··10分所以，不成立，

所以不存在直线，使得．综上所述，不存在直线l，使得

．

12分20.（本小题满分15分）已知成等差数列的三个正数的和等于，并且这三个数分别加上后成为等比数列中的.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和为．参考答案：（1）设三个数分别为∴

解得

………

2分三个数为为正数，由题意知成等比数列

………

4分∴

∴

或（舍）∴

………6分∴

………8分（2）由题意知………12分．…

15分21.（本题满分18分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交双曲线于点，且，圆的方程是．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证:．参考答案：（1）设的坐标分别为

因为点在双曲线上，所以，即，所以在中，，，所以

……2分由双曲线的定义可知：

故双曲线的方程为：

……4分（2）由条件可知：两条渐近线分别为

……5分设双曲线上的点，设两渐近线的夹角为，则则点到两条渐近线的距离分别为……7分因为在双曲线：上，所以又，

所以

……10分（3）由题意，即证：.设，切线的方程为：

……11分

①当时，切线的方程代入双曲线中，化简得： 所以：

又…13分

所以

……15分②当时，易知上述结论也成立．

所以

……16分综上，，所以．……18分（注：用其他方法也相应给分）22.定义为n个正数的“均倒数”。已知正项数列{an}的前n项的“均倒数”为。（1）求数列{an}的通项公式。（2）设数列的前n项和为Tn，若4Tn<对一切恒成立试求实数m的取值范围。(3)令，问：是否存在正整数k使得对一切恒成立，如存在求出k值，否则说明理由。参考答案：(1)设数列{an}的前n项和为S