云南省昆明市路南民族中学高三数学理期末试卷含解析

云南省昆明市路南民族中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点A的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值．【详解】对于函数且，令，求得，，可得函数的图象恒过点，且点A在角的终边上，，则，故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题．2.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（） A．2 B． ﹣2 C． 8 D． ﹣8参考答案：考点： 函数解析式的求解及常用方法．专题： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由题意知函数的周期为4，故f（2015）=f（﹣1），又由奇函数可求f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．解答： 解：∵f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（504×4﹣1）=f（﹣1），又∵f（x）在R上是奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选B．点评： 本题考查了函数的奇偶性与周期性的应用，属于基础题．3.某艺校在一天的5节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他两门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为A. B. C. D.参考答案：A略4.已知定义在R上的函数满足：且，，则方程在区间[-5，1]上的所有实根之和为(A)

-5

(B)-6

(C)-7

(D)-8参考答案：C略5.设，则二项式展开式中的项的系数为

A．-20

B．20

C．-160

D．160参考答案：6.复数的共轭复数是（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：D

【知识点】复数代数形式的乘除运算．L1解析：复数===i．所以复数的的共轭复数是：﹣i．故选D【思路点拨】复数的分母实数化，化简为a+bi的形式，然后求出它的共轭复数即可．7.已知满足约束条件，则的最小值为(

)

参考答案：C8.已知函数，在定义域上表示的曲线过原点，且在处的切线斜率均为.有以下命题：①是奇函数；②若内递减，则的最大值为4；③的最大值为M，最小值为m，则；④若对恒成立，则的最大值为2.其中正确命题的个数为A.1个 B.2个 C.3个 D.4个参考答案：【知识点】导数的应用B12【答案解析】B

函数f（x）=x3+ax2+bx+c的图象过原点，可得c=0；又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1处的切线斜率均为-1，则有，解得a=0，b=-4．所以f（x）=x3-4x，f′（x）=3x2-4．

①可见f（x）=x3-4x是奇函数，因此①正确；x∈[-2，2]时，[f′（x）]min=-4，则k≤f'（x）恒成立，需k≤-4，因此④错误．

②令f′（x）=0，得x=±．所以f（x）在[-，]内递减，则|t-s|的最大值为，因此②错误；

且f（x）的极大值为f（-）=，极小值为f（）=-，两端点处f（-2）=f（2）=0，

所以f（x）的最大值为M=，最小值为m=-，则M+m=0，因此③正确．故选B．【思路点拨】首先利用导数的几何意义及函数f（x）过原点，列方程组求出f（x）的解析式；然后根据奇函数的定义判断函数f（x）的奇偶性，且由f′（x）的最小值求出k的最大值，则命题①④得出判断；最后令f′（x）=0，求出f（x）的极值点，进而求得f（x）的单调区间与最值，则命题②③得出判断．9.已知x，y∈R，（）A．若|x﹣y2|+|x2+y|≤1，则B．若|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，则C．若|x+y2|+|x2﹣y|≤1，则D．若|x+y2|+|x2+y|≤1，则参考答案：B【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】利用绝对值不等式的性质，得出（x2﹣y）+（y2﹣x）≤|x2﹣y|+|y2﹣x|=|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，即得，判断B正确．【解答】解：对于A，|x﹣y2|+|x2+y|≤1，由化简得x2+x+y2﹣y≤1，二者没有对应关系；对于B，由（x2﹣y）+（y2﹣x）≤|x2﹣y|+|y2﹣x|=|x﹣y2|+|x2﹣y|≤1，∴x2﹣x+y2﹣y≤1，即，命题成立；对于C，|x+y2|+|x2﹣y|≤1，由化简得x2+x+y2+y≤1，二者没有对应关系；对于D，|x+y2|+|x2+y|≤1，化简得x2﹣x+y2+y≤1，二者没有对应关系．故选：B．10.等差数列中，已知，，使得的最小正整数n为

（

）A．7

B．8

C．9

D．10参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是

．参考答案：y=x﹣1【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先x=1代入解析式求出切点的坐标，再求出函数的导数后代入求出f′（1），即为所求的切线斜率，再代入点斜式进行整理即可．【解答】解：把x=1代入f（x）=lnx得，f（1）=ln1=0，∴切点的坐标为：（1，0），由f′（x）=（lnx）′=，得在点x=1处的切线斜率k=f′（1）=1，∴在点x=1处的切线方程为：y=x﹣1，故答案为：y=x﹣1．12.(5分）（2010?泉山区校级模拟）已知等比数列{an}的首项为8，Sn是其前n项的和，某同学经计算得S1=8，S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为．参考答案：S3考点：等比数列的前n项和．专题：计算题．分析：假设后三个数均未算错，根据题意可得a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．再假设S2算错了，根据题意得到S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．进而得到答案解答：解：根据题意可得显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，所以S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8（1+q+q2），矛盾．所以只可能是S3算错了，此时由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．答案为S3点评：本题考查利用反证的方法来解决从正面不好解决的问题和学生推理的能力．13.从1,2,…,10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差的概率=

．参考答案：14.当时，函数的值域是

。参考答案：略15.若双曲线的离心率小于，则的取值范围是

.参考答案：16.如图，为了测量河对岸两点之间的距离，观察者找到一个点，从点可以观察到点；找到一个点，从点可以观察到点：找到一个点，从点可以观察到点；并测得到一些数据：，，，，，，，则两点之间的距离为

．（其中取近似值）参考答案：17.已知定义在R上的奇函数f（x）满足，Sn为数列{an}的前n项和，且Sn=2an+n，则f（a5）+f（a6）=

．参考答案：3【考点】8E：数列的求和．【分析】由已知求得函数周期，再由数列递推式求出数列通项，求得a5、a6的值，则答案可求．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），又∵，∴．∴．∴f（x）是以3为周期的周期函数．∵数列{an}满足a1=﹣1，且Sn=2an+n，∴当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1+n﹣1，则an=2an﹣2an﹣1+1，即an=2an﹣1﹣1，∴an﹣1=2（an﹣1﹣1）（n≥2），则，∴．上式对n=1也成立．∴a5=﹣31，a6=﹣63．∴f（a5）+f（a6）=f（﹣31）+f（﹣63）=f（2）+f（0）=f（2）=﹣f（﹣2）=3．故答案为：3．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax﹣lnx，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a=e2，当x∈（0，e]时，求函数f（x）的最小值．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由此根据a≤0，a＞0进行分类讨论，结合导数性质求出当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（Ⅱ）求出函数的导数，得到f（x）的单调区间，求出f（x）的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣=（x＞0），①当a≤0时，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，所以，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），②当a＞0时，由f'（x）=0，得x=，在区间（0，）上，f'（x）＜0，在区间（，+∞）上，f'（x）＞0，所以，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞），综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞）；当a＞0时，函数f（x）的单调递减区间为（0，），单调递增区间为（，+∞）；（Ⅱ）a=e2时，f（x）=e2x﹣lnx，f′（x）=（e2x﹣1），（x＞0），∵e2＞0，由（Ⅰ）得：f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）min=f（）=3．【点评】本题考查函数的单调区间的求法，考查函数的最值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．19.在直角坐标系中，直线方程为，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）若直线与的交点为,与的交点为，，且点恰好为线段的中点，求.参考答案：（1），；（2）【分析】（1）将曲线变为普通方程，然后将，分别代入和的方程中，从而得到极坐标方程；（2）将代入曲线的极坐标方程，可以得到，从而求得，得到坐标代入，从而求得.【详解】（1）将，代入中得到直线的极坐标方程为：在曲线的参数方程中，消去，可得即将，代入中得到曲线的极坐标方程为（2）在极坐标系中，由已知可设，，联立，可得所以因为点恰好为的中点，所以，即把代入，得所以【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键是能够明确极坐标与直角坐标互化的基本方法，同时能够利用的含义在极坐标系中解决距离类问题.20.已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，是否存在正实数，使得？若存在，请求出一个符合条件的，若不存在，请说明理由.参考答案：（Ⅰ）的定义域为，..............................1分当时，，故在上单调递增................................2分当时，令，得当时，，故单调递减当时，，故单调递增....................................5分综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增...............6分（Ⅱ）存在正数，使得......................................8分即，其中.证明如下：设，则设，则，故在上单调递增∴，故∴在上单调递增，故∴当时，∴.............................................12分21.直线l的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，曲线C的参数方程为（为参数）。（1）将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C1，写出C1的极坐标方程；（2）射线与C1交l的交点分别为，射线与C1和l的交点分别为A，B，求四边形ABNM的面积.参考答案：(1)；(2).试题分析：（1）将曲线上各点纵坐标伸长到原来的2倍得，先消元得圆的方程，再化为极坐标方程；（2）将四边形面积转化为两个三角形面积之差，再根据极径的意义求三角形面积即可.试题解析：(1)所以极坐标方程为：(2)将代入直线的极坐标方程得到，由与得22.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）证明PA⊥BD．PC⊥BD．然后证明BD⊥平面PAC．（2）解法一：设AC，BD的交点为O，过点O作OF⊥PC于点F，连BF，说明∠BFO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，在Rt△BFO中，即可求解二面角