上海南洋模范中学(本部)2021年高三数学理月考试题含解析

上海南洋模范中学(本部)2021年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是参考答案：A略2.设函数图像的一条对称轴是直线（1）求；（2）求函数的单调增区间；（3）试说明函数的图像可由函数的图像如何变换而得到？参考答案：（1）

（2）（3）略略3.设集合S={1，2，…，2016}，若X是S的子集，把X中所有元素之和称为X的“容量”，（规定空集容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为S的奇（偶）子集，记S的奇子集个数为m，偶子集个数为n，则m，n之间的关系为（）A．m=n B．m＞n C．m＜n D．无法确定参考答案：A【考点】集合的表示法．【专题】转化思想；集合．【分析】集合S的子集可以分为两类：A含有1的子集，B中不含有1的子集，这两类子集个含有22015个，而且对于B类中的任意子集T，必在A类中存在唯一一个子集T∪{1}与之对应，且若T为奇子集，则T∪{1}是偶子集；若T为偶子集，则T∪{1}是奇子集即可得出．【解答】解：集合S的子集可以分为两类：A含有1的子集，B中不含有1的子集，这两类子集个含有22015个，而且对于B类中的任意子集T，必在A类中存在唯一一个子集T∪{1}与之对应，且若T为奇子集，则T∪{1}是偶子集；若T为偶子集，则T∪{1}是奇子集．∴B类中有x个奇子集，y个偶子集，则A类中必有x个偶子集，y个奇子集，∴S的奇子集与偶子集的个数相等．故S的奇子集与偶子集个数相等，m=n．故选：A．【点评】本题考查了新定义、集合之间的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知向量，b满足||＝2，与的夹角为60°，则在上的投影是(

)A、1

B、2

C、3

D、-1参考答案：A5.某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为A． B．C． D．参考答案：B略6.已知集合，若，则实数a满足的集合为(

)A.{1} B.{－1} C.{－1,1} D.参考答案：D【分析】由可得，解得，将它分别代入集合A，再检验是否成立即可得解。【详解】因为，所以则，解得：当时，，此时，这与已知矛盾。当时，，此时，这与已知矛盾。所以这样的不存在。故选：D【点睛】本题主要考查了交集的概念与运算，还考查了分类思想，属于基础题。7.如图所示的韦恩图中，、是非空集合，定义*表示阴影部分集合．若，，，则*B=（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：C8.已知，那么A．

B．

C．

D．参考答案：C考查三角函数诱导公式，，选C.9.若非零平面向量，满足，则（

）． A． B． C． D．参考答案：D∵，∴，∴，∵，均为非零向量，∴．综上所述，答案为．10.某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的的值是A．2

B．

C．

D．3参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知α∈R，则函数f（x）=1﹣sin2（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）的最大值为．参考答案：【考点】HW：三角函数的最值．【分析】化简f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最大值．【解答】解：函数f（x）=1﹣sin2（x+α）+cos（x+α）sin（x+α）=1﹣+sin2（x+α）=+sin2（x+α）+cos2（x+α）=+sin=+sin（2x+2α+）；当2x+2α+=+2kπ，k∈Z，即x=﹣α++kπ，k∈Z时；f（x）取得最大值为．故答案为：．12.已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的

条件．参考答案：充要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数的周期性．【专题】函数的性质及应用．【分析】由题意，可由函数的性质得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数的周期性即可得出f（x）为[3，4]上的减函数，由此证明充分性，再由f（x）为[3，4]上的减函数结合周期性即可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数即可得出f（x）为[0，1]上的增函数，由此证明必要性，即可得出正确选项【解答】解：由题意，f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）为[0，1]上的增函数所以f（x）为[﹣1，0]上是减函数又f（x）是定义在R上的函数，且以2为周期[3，4]与[﹣1，0]相差两个周期，故两区间上的单调性一致，所以可以得出f（x）为[3，4]上的减函数，故充分性成立，若f（x）为[3，4]上的减函数，由周期性可得出f（x）为[﹣1，0]上是减函数，再由函数是偶函数可得出f（x）为[0，1]上的增函数，故必要性成立综上，“f（x）为[0，1]上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的充要条件．故答案为：充要．【点评】本题考查充分性与必要性的判断，解题的关键是理解充分性与必要性证明的方向，即由那个条件到那个条件的证明是充分性，那个方向是必要性，初学者易搞不清证明的方向导致表述上出现逻辑错误，13.函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为

．参考答案：π【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．14.某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1000、1200和1500，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高三年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了

人．参考答案：18515.如图，四边形ABCD为菱形，四边形CEFB为正方形，平面ABCD⊥平面CEFB,CE=1,∠AED=30°，则异面直线BC与AE所成角的大小_________

参考答案：16.已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则函数在上的单调增区间是______.参考答案：【分析】先由向右平移个单位得到，写出函数解析式；根据单调增区间列出不等式，再对取值，得到上的单调区间.【详解】向右平移个单位后得，令，则，由于，所以取，则，综上：.【点睛】向左（或右）平移个单位即可得到，而不是得到，这里需要注意的就是时，平移是在这个整体上进行的，并不是简单的在括号里加、减.17.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数的值为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某粮仓是如图所示的多面体，多面体的棱称为粮仓的“梁”．现测得底面ABCD是矩形，AB=16米，AD=4米，腰梁AR、BF、CF、DE分别与相交的底梁所成角均为60°．（1）求腰梁BF与DE所成角的大小；（2）若不计粮仓表面的厚度，该粮仓可储存多少立方米粮食？参考答案：考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间角．分析：（1）根据异面直线所成角的概念，过E作EK∥FB，连接DK，则DEK为异面直线DE与FB所成的角，然后通过求解三角形即可得到两异面直线所成角；（2）要求原多面体的体积，可以把原多面体分割成我们熟悉的柱体及椎体求体积分别过E，F作两底梁的垂线，连接两垂足后分割完成，然后直接利用柱体及锥体的体积求解．解答：解：（1）如下图，过点E作EK∥FB交AB于点K，则∠DEK为异面直线DE与FB所成的角，∵DE=FB=4，EA，EK与AB所成角都是60°，∴AK=4，∴DK=，在三角形DEK中，∵DE2+EK2=42+42=32=DK2，∴∠DEK=90°，∴腰梁BF与DE所成的角为90°；

（2）如上图，过点E分别作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，连接MN，则AB⊥平面EMN，∴平面ABCD⊥平面EMN，过点E作EO⊥MN于点O，则EO⊥平面ABCD由题意知，AE=DE=AD=4，AM=DN=4cos60°=2，EM=EN=，∴O为MN中点，∴EO=，即四棱锥E﹣AMND的高为，同理，再过点F作FP⊥AB于点P，FQ⊥CD于点Q，连接PQ，原多面体被分割为两个全等的四棱锥和一个直棱柱，且MP=16﹣2﹣2=12．∴多面体的体积V=2VE﹣AMND+VPQF﹣MNE=．答：该粮仓可储存立方米的粮食．点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，考查了利用割补法求几何体的体积，属中档题．19.（06年全国卷Ⅱ理）（１２分）设函数若对所有的都有成立，求实数的取值范围。参考答案：解析:令

对g(x)求导得令当时,对所有的x>0都有,所以上为单调增函数又g(0)=0,所以对

即当所以成立当a>1时,对于

所以g(x)在

所以对于即f(x)<ax,

所以当a>1时不一定成立综上所述可知a的取值范围是20.（14分）（2014?）设函数f（x）=x﹣aex﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）对任意n的个正整数a1，a2，…an记A=（1）求证：（i=1，2，3…n）（2）求证：A．参考答案：（I）∵函数f（x）=x﹣aex﹣1．∴函数f′（x）=1﹣aex﹣1．当a≤0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上是增函数当a＞0时，令f′（x）=0得x=1﹣lna，则f（x）在区间（﹣∞，1﹣lna）上是增函数，在区间（1﹣lna，+∞）上是减函数综上可知：当a≤0时，f（x）在R上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，1﹣lna）上是增函数，在区间（1﹣lna，+∞）上是减函数．（II）由（I）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立当a＞0时，f（x）在点x=1﹣lna时取最大值﹣lna，令﹣lna≤0，则a≥1故若f（x）≤0对x∈R恒成立，则a的取值范围为[1，+∞）（III）（1）由（II）知：当a=1时恒有f（x）=x﹣ex﹣1≤0成立即x≤ex﹣1∴（2）由（1）知：，，…，把以上n个式子相乘得≤=1∴An≥a1?a2?…?an故21.设正项数列{an}的前n项和Sn满足.（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn的取值范围.参考答案：(1)；(2).分析：第一问首先将代入题中所给的式子，结合与的关系，求得，再类比着写出一个式子，两式相减求得，结合数列的项的符号，得到，从而得到数列是等差数列，应用等差数列的通项公式写出结果；第二问利用裂项相消法对数列求和，结合式子写出其范围.详解：（1）①时，由，得，②时，由已知，得，∴，两式作差，得，又因为是正项数列，所以.∴数列是以1为首项，2为公差的等差数列.∴.（2）∵，∴.又因为数列是递增数列，当时最小，，∴.点睛：该题考查的是有关数列的通项公式的求解以及裂项相消法求和，在解题的过程中，需要对题中所给的式子，类比着往前写或者往后写一个，两式相减，结合题中的条件，得到相邻