2022年湖南省常德市市鼎城区第三中学高二数学理模拟试题含解析

2022年湖南省常德市市鼎城区第三中学高二数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数是R上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上是减函数，若，则a的取值范围是A．

B．

C．或

D．参考答案：D因为函数是上的偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是，故选D.2.函数函数f（x）=（x﹣3）ex的单调递增区间是（）A．（﹣∞，2） B．（0，3） C．（1，4） D．（2，+∞）参考答案：D【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】首先对f（x）=（x﹣3）ex求导，可得f′（x）=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解可得答案．【解答】解：f′（x）=（x﹣3）′ex+（x﹣3）（ex）′=（x﹣2）ex，令f′（x）＞0，解得x＞2．故选：D．3.已知点P（m，n）在椭圆上，则直线mx+ny+1=0与椭圆的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切参考答案：D考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由点P在椭圆上得到m，n的关系，把n用含有m的代数式表示，代入圆心到直线的距离中得到圆心到直线的距离小于等于圆的半径，则答案可求．解答：解：∵P（m，n）在椭圆+=1上，∴，，圆x2+y2=的圆心O（0，0）到直线mx+ny+1=0的距离：d==，∴直线mx+ny+1=0与椭圆x2+y2=的位置关系为相交或相切．故选：D．点评：本题考查了椭圆的简单性质，考查了直线和圆的位置关系，是基础题．4.在圆内，过点有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项，最大弦长为

，若公差，那么n的取值集合为

（

）A．{4，5，6，7}

B．{4，5，6}

C．{3，4，5，6}

D．{3，4，5}参考答案：A5.有五条线段长度分别为，从这条线段中任取条，则所取条线段能构成一个三角形的概率为（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：B6.在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB=BC=AA1，则异面直线AC1与B1C所成角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：D【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；数形结合；向量法；空间角；空间向量及应用．【分析】由条件便可看出B1A1，B1C1，B1B三直线两两垂直，这样分别以这三直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，并设AB=1，从而可以求出图形上一些点的坐标，从而可求出向量的坐标，并可以说明，从而得出异面直线AC1与B1C所成的角．【解答】解：如图，根据条件知，B1A1，B1C1，B1B三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则：B1（0，0，0），C（0，1，1），A（1，0，1），C1（0，1，0）；∴；∴；∴；即AC1⊥B1C；∴异面直线AC1与B1C所成角为90°．故选：D．【点评】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，以及通过建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角的方法，向量数量积的坐标运算，向量垂直的充要条件，以及异面直线所成角的概念．7.观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在内的频率为（）A．0.001 B．0.1 C．0.2 D．0.3参考答案：D【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图，能求出新生婴儿体重在内的频率．【解答】解：由频率分布直方图，得：新生婴儿体重在内的频率为0.001×300=0.3．故选：D．8.在△ABC中，如果（b+c+a）（b+c﹣a）=bc，那么A等于（）A．30° B．120° C．60° D．150°参考答案：A考点：余弦定理．

专题：解三角形．分析：先化简（b+c+a）（b+c﹣a）=bc，再由余弦定理的推论求出cosA的值，由A的范围和特殊角的余弦值求出A．解答：解：由题意得，（b+c+a）（b+c﹣a）=bc，则（b+c）2﹣a2=bc，化简得b2+c2﹣a2=﹣bc，由余弦定理得，cosA==，由0°＜A＜180°得A=120°，故选：A．点评：本题考查利用余弦定理的推论求角，以及特殊角的余弦值，注意内角的范围，属于中档题．9.已知函数的图象与直线有两个交点，则m的取值可以是（

）A.－1 B.1 C.2 D.3参考答案：BCD【分析】将函数的图象与直线有两个交点，转化为函数有两个零点，导函数为，当时，恒成立，函数在上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，可得，函数在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，再令求解即可.【详解】因为函数的图象与直线有两个交点，所以函数有两个零点，求导得：，当时，恒成立，所以函数在上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，可得，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.所以，所以的最小值，则的取值范围是.所以可以取，，.故选：BCD【点睛】本题主要考查导数在函数的零点中的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.10.直线过点(－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则这直线方程为（

）（A）2x－3y＝0; （B）x＋y＋5＝0; （C）2x－3y＝0或x＋y＋5＝0 （D）x＋y＋5或x－y＋5＝0参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数g（x）=x2﹣2ax，f（x）=﹣ln（x+1），若存在x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]使得f′（x1）≥g（x2）成立，则实数a的取值范围是．参考答案：a≥1【考点】5B：分段函数的应用；3R：函数恒成立问题；3W：二次函数的性质．【分析】先将问题等价为：f'（x）min≥g（x）min，再分别对二次函数和指数函数在相应区间上求最值，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：根据任意x1∈[0，1]，存在x2∈[1，2]，使f′（x1）＞g（x2）成立，只需满足：f'（x）min≥g（x）min，而f'（x）=x2﹣，x∈[0，1]时为增函数，所以，f'（x）min=f（0）=﹣1，g（x）=x2﹣2ax的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，①若a＜1，则x∈[1，2]时函数单调递增，所以，g（x）min=g（1）=1﹣2a，因此，﹣1≥1﹣2a，解得a≥1，故此时不存在满足条件的a值；②若1≤a≤2，则x∈[1，a]时，函数单调递减，x∈[a，2]时函数单调递增，所以，g（x）min=g（a）=﹣a2，因此，﹣1≥﹣a2，解得a≤﹣1，或a≥1，故此时1≤a≤2；③若a＞2，则x∈[1，2]时函数单调递减，所以，g（x）min=g（2）=4﹣4a，因此﹣1≥4﹣4a：，解得a≥，故此时a＞2；综上可得：a≥1故答案为：a≥112.正态总体的概率密度函数为（），则总体的平均数和标准差分别是

.参考答案：，13.直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于

．参考答案：【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ的值，再计算tan2θ．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案为：．14.函数f（x）=2x在点A（1，2）处切线的斜率为．参考答案：2ln2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出f（x）的导数，将x=1代入f′（x）即可求出切线的斜率．【解答】解：f′（x）=2xln2，故f′（1）=2ln2，故切线的斜率是：2ln2，故答案为：2ln2．15.设f(x)＝，则f[f()]＝

参考答案：略16.在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2，则b=．参考答案：5【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c的值，根据余弦定理即可求b的值．【解答】解：∵在△ABC中，a=1，B=45°，S△ABC=2=acsinB=，可得：ac=4，∴c=4，∴b===5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，属于基础题．17.已知定点且，动点满足，则的最小值是_____________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.若x,yR+，且，求u=x+y的最小值参考答案：解析：（解出——代入）：由得：

∵y>4∴y-4>0

（当且仅当时等号成立）

∴（当且仅当x=3且y=6时取得）19.（本小题12分）已知等比数列中，。（1）求数列的通项公式；k*s5u**（2）设等差数列中，，求数列的前项和.参考答案：解：（1）设等比数列的公比为

由已知，得，解得…………………（3分）

…………（5分）（2）由（1）得……（7分）设等差数列的公差为，则

，解得

………k*s5u**………………（10分）…………………（12分）略20.函数对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.参考答案：【分析】对?x1，x2∈[0，1]不等式|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣1恒成立等价于|f（x1）﹣f（x2）|max≤a﹣2，而|f（x1）﹣f（x2）|max＝f（x）max﹣f（x）min，利用导数可判断函数的单调性，由单调性可求得函数的最值，解不等式即可．【详解】函数f（x）＝ax+x2﹣xlna，x∈[0，1]，则f′（x）＝axlna+2x﹣lna＝（ax﹣1）lna+2x．当0＜a＜1时，显然|f（x1）﹣f（x2）|≤a﹣2不可能成立．当a＞1时，x∈[0，1]时，ax≥1，lna＞0，2x≥0，此时f′（x）≥0；f（x）在[0，1]上单调递增，f（x）min＝f（0）＝1，f（x）max＝f（1）＝a+1﹣lna，而|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min＝a﹣lna，由题意得，a﹣lna≤a﹣2，解得a≥e2，故实数的取值范围为：[e2，+∞）．【点睛】本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查恒成立问题，考查转化思想，考查了解决问题的能力．21.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，直线与抛物线交于两点，为坐标原点.1111]（1）求抛物线的方程；（2）求的面积.参考答案：(1);(2)试题分析：（1）利用抛物线的定义得到，可得抛物线的标准方程；（2）先写出直线方程，再与抛物线方程联立，消，得关于的二元一次方程组，得到，用两点之间距离公式计算的值，用点到直线的距离公式求d，计算的面积.试题解析：(1)在抛物线上且111]由抛物线定义得故抛物线的方程为.

点晴：本题考查的是直线与抛物线的位置关系.第一问考查的是待定系数法求抛物线方程，由抛物线定义得，得到抛物线方程;第二问中先联立方程，结合焦点弦长公式求得，再求出到直线的距离，所以.22.（2016春?广东校级期末）为了推进身体健康知识宣传，有关单位举行了有关知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率频率正确直方图第1组[15，25）50.5第2组[25，35）a0.9第3组[35，45）27x第4组[45，55）90.36第5组[55，65）30.2（1）分别求出n，a，x的值；（2）请用统计方法估计参与该项知识有奖问答活动的n人的平均年龄（保留一位小数）．参考答案：【考点】频率分布直方图．【专题】对应思想；数形结合法；概率与统计．【分析】（1）由频率表中的数据，求出样本容量n与数据a、x的值；（2）根据频率分布直方图，计算对