2020版高考数学一轮复习课后限时集训41空间向量运算应用理北师大版

课后限时集训(四十一)空间向量的运算及应用(建议用时：60分钟)A组基础达标一、选择题1．在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的地点关系是( )A．垂直B．平行C．异面D．订交但不垂直→→[由题意得，AB＝(－3，－3,3)，CD＝(1,1，－1)，→→→

→∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，→→又AB与CD没有公共点，∴

AB∥CD．]2．在空间直角坐标系中，

A(1,1

，－2)，B(1,2

，－3)，C(－1,3,0)

，D(x，y，z)(

x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则( )A．2x＋y＋z＝1B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4D．x＋y－z＝0→A[∵A(1,1，－2)，B(1,2，－3)，C(－1,3,0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，∴AB＝(0,1，→→1)，AC＝(－2,2,2)，AD＝(x－1，y－1，z＋2)．→→→∵，，，D四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即(x－1，－1，zABCADABACy2)＝λ(0,1，－1)＋μ(－2,2,2)，x－1＝－2μ，∴y－1＝λ＋2μ，解得2x＋y＋z＝1，应选A.]z＋2＝－λ＋2μ，3．以下图，三棱锥O-ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，设→→→→→OA＝a，OB＝b，OC＝c，用a，b，c表示NM，则NM＝( )1A.2(－a＋b＋c)1B．2(a＋b－c)1C.2(a－b＋c)1D．2(－a－b＋c)→→→→→1→→1→1→→1→1→1→1[NM＝NA＋AM＝(OA－ON)＋2AB＝OA－2OC＋2(OB－OA)＝2OA＋2OB－2OC＝2(a＋b－c)．]4．在空间直角坐标系中，

A，B，C三点的坐标分别为

A(2,1

，－1)，B(3,4

，λ)，C(2,7,1)

，→→若AB⊥CB，则λ＝(

)A．3

B．1C．±3

D．－3→

→

→→

→→[由题知，AB＝(1,3，λ＋1)，CB＝(1，－3，λ－1)，由AB⊥CB，可得AB·CB＝0，即1－9＋λ2－1＝0，即λ2＝9，λ＝±3，应选C.]→→→→→→5．已知正四周体A-BCD的棱长为1，且AE＝2EB，AF＝2FD，则EF·DC＝()21A.3B．3C．－2D．－133→→→→2→2→→→2→→[由于AE＝2EB，AF＝2FD，因此EF∥BD，EF＝3BD，即EF＝3BD，则EF·DC＝3BD·DC＝2→→2π13|BD||DC|cos3＝－3.应选D．]二、填空题以下图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的地点关系是________．→→→垂直[以A为原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，111成立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M0，1，2，O2，2，0，1→→112，0，1，AM·ON＝0，1，2·0，－2，1＝0，∴ON与AM垂直．]7．已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的地点关系是________．

n＝(－α∥β[设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，→由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0?y＝z，→由m·AC＝0，得x－z＝0?x＝z，取x＝1，m＝(1,1,1)，m＝－n，m∥n，∴α∥β.]8．以下图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝CD＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．2或

2

[∵AB与

CD成

60°角，→→∴〈BA，CD〉＝60°或120°.又∵AB＝AC＝CD＝1，AC⊥CD，AC⊥AB，→

→

→→→∴|BD|＝

2BD＝

BA＋AC＋CD

2→→

→

→→

→→

→→222＝BA＋AC＋CD＋2BA·AC＋2AC·CD＋2BA·CD→→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos〈

BA，CD〉→→＝3＋2cos〈BA，CD〉，→∴|BD|＝2或

2.∴BD的长为

2或

2.]三、解答题→→9．已知空间中三点A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，设a＝AB，b＝AC.→若|c|＝3，且c∥BC，求向量c；求向量a与向量b的夹角的余弦值．→→[解](1)∵c∥BC，BC＝(－3,0,4)－(－1,1,2)＝(－2，－1,2)，→∴c＝mBC＝m(－2，－1,2)＝(－2m，－m,2m)，∴|c|＝－2m2＋－m2＋m2＝3|m|＝3，m＝±1.∴c＝(－2，－1,2)或(2,1，－2)．∵a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，∴a·b＝(1,1,0)·(－1,0,2)＝－1，又∵||＝12＋12＋02＝2，a|b|＝－2＋02＋22＝5，a·b－110∴cos〈a，b〉＝|a|·|b|＝10＝－10，故向量a与向量b的夹角的余弦值为－1010.以下图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F，H分别是线段PA，PD，AB的中点，求证：(1)PB∥平面EFH；(2)PD⊥平面AHF.[证明]成立以下图的空间直角坐标系A-xyz.∴A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.PB平面EFH，且EH平面EFH，PB∥平面EFH.→

→

→(2)PD＝(0,2

，－2)，AH＝(1,0,0)

，AF＝(0,1,1)

，→→∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，→→PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.PD⊥AF，PD⊥AH.又∵AF∩AH＝A，∴PD⊥平面AHF.B组能力提高1．若x，y∈R，有以下命题：①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb；→→→③若MP＝xMA＋yMB，则P，M，A，B共面；→→→④若点P，M，A，B共面，则MP＝xMA＋yMB.此中真命题的个数是()A．1B．2C．3D．4B[①正确；②中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不可立；③正确；④中→→→若M，A，B共线，点P不在此直线上，则MP＝xMA＋yMB不正确．]2.(2019·四川名校联考)以下图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a，则MN与平面BB1C1C3的地点关系是( )A．订交B．平行C．垂直D．不可以确立2aB[∵正方体棱长为a，A1M＝AN＝3，→2→→2→MB＝3A1B，CN＝3CA，→→→→MN＝MB＋BC＋CN2→→2→3A1B＋BC＋3CA2→→→2→→＝2→1→＝(11＋1)＋＋CD＋DA1＋11.3ABBBBC33BB3BC→又∵CD是平面B1BCC1的法向量，→→→1→→且MN·CD＝2·CD＝0，111→→MN⊥CD，MN∥平面B1BCC1.应选B．]→

→3．已知点

P是平行四边形

ABCD所在的平面外一点，假如AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4,2,0)

，→

→

→→AP＝(－1,2，－1)．关于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.此中正确的选项是________．→→→→①②③[∵AB·AP＝0，AD·AP＝0，AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．→→又AB与AD不平行，→∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确．→→→→BD＝AD－AB＝(2,3,4)，AP＝(－1,2，－1)，→→BD与AP不平行，故④错误．]4.以下图，四棱锥

S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长

都是底面边长的2倍，点P为侧棱SD上的点．求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上能否存在一点PAC，若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明原因．[解](1)证明：连结BD，设AC交BD于点O，则

E，使得BE∥AC⊥BD．连

平面接SO，由题意知SO⊥平面ABCD．→→→以O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，OBOCOS成立空间直角坐标系，如图．底面边长为a，则高＝6，SO2a622a，0，0，C0，2→2于是S0，0，a，D－，B，OC＝0，a，0，22a，0，02a，022→26SD＝－2a，0，－2a，→→则OC·SD＝0.故OC⊥SD．进而AC⊥SD．棱SC上存在一点