.高考数学概率真题汇编及答案

•2012年高考数学概率真题汇编及答案

2010年高考数学概率1.（2010年高考北京卷文科3）从｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数为a,从｛1,2,3｝中随机选取一个数为b,则b>a的概率是()(A)4 (B)3 (C)2 (D)15 5 5 52.答案D【命题意图】本题考查离散型随机变量的概率问题，求解此类问题要求能皤准确的确定基本事件空间的基本事件个敷，和所求事件所含的基本事件个数一【解析】分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法.其中满足的有3种，故所TT-r-覆性的概率为p44x士2.（2010年高考江西卷文科9）"立同学参加某项选拔测试，每位同学通过测试概率都是p测试，每位同学通过测试概率都是p(0<p<1)，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少每一位同学能通过测试的概率为（）A.（1-p）〃 B.1-pn Cpn D1—（1一p）n【答案】D【命题意图】主要考察对立事件的概率【解析】每位同学不能通过的概率为1,所有同学都1-p不能通过的概率为（1_p）,至少有一位同学能通过的概率为1.(1.p)。3．(2010年高考安徽卷文科10)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是(A)3 (A)_4 (A)_518 18 18(A)618【答案】C【解析】正方形四个顶点可以确定6条直线，甲乙各自任选一条共有36个基本事件。两条直线相互垂直的情况有5种(4组邻边和对角线)包括10个基本事件，所以概率等于.【方法技巧】对于几何中的概率问题，关键是正确作出几何图形，分类得出基本事件数，然后得所求事件保护的基本事件数，进而利用概率公式求概率.二、填空题：.(2010年高考浙江卷文科17)在平行四边形ABCD中，O是AC与BD的交点，P、Q、M、N分别是线段OA、OB、OC、OD的中点，在APMC中任取一点记为E,在B、Q、N、D中任取一点记为F,设G为满足向量砺痔砺的点，则在上述的点G组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD外（不含边界）的概率为 。解析：由题意知，G点共有16种取法，而只有E为P、M中一点，F为Q、N中一点时，落在平行四边形内，故符合要求的G的只有4个，因此概率为3，本题主要4考察了平面向量与古典概型的综合运用，属中档题。2.（2010年高考上海卷文科10）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取2张，则“抽出的2张

均为红桃”的概率为 2 (结果用最简分 51 数表示)。解析：考查等可能事件概率“抽出的2张均为红桃”的概率为1313—C2 51523．(2010年高考辽宁卷文科13)三张卡片上分别写上字母E、E、8，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为解析：填1题中三张卡片随机地排成一行，共有三种3情况：BEEEBEEEB，概率为：1BEE,EBE,EEB:. .34.(2010年高考宁夏卷文科14)设函数外)为区间SAy—f(x) l0,1」上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有0<()<1，可0SfXS1以用随机模拟方法计算由曲线及直线0，1，0y—f(X) X—0X—1y—0由此得到V个点所围成部分的面积，先产生两组i每组N个，区间(0」」上的均匀随机数XXX和由此得到V个点1,2 n 1,2 nG,)C12N)。再数出其中满足y<〃2N)的点数N，那x,yi—1,2....N ySf(X)(i—1,2..…N) N11么由随机模拟方法可得S的近似值为【答案】nN解析：J力区的几何意义是函数.(其中0<"1的图像与,f(X)dX f(X)(其中0、f(x)、1) x0轴、直线和直线所围成图形的面积，根据几何概X=0 X=1型易知11f(X心.N.0N5．(2010年高考重庆卷文科14)加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为£、70工、£，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次69 68品率为 .【答案】270【解析】加工出来的零件的次品的对立事件为零件是正品，由对立事件公式得加工出来的零件的次品率।6968673p=1———X——X——=——706968706．(2010年高考湖北卷文科13)【答案】0.9744【解析】分情况讨论:若共有3人被治愈，则；P=C3(0.9)3X(1—0.9)=0.291614若共有4人被治愈，则 ，故至少有3人被治P=(0.9)4=0.65612愈概率P=P+P=0.9744127．（2010年高考湖南卷文科11）在区间［-1,2］上随即取一个数x,则x£［0,1］的概率为【答案】i3三、解答题：1．（2010年高考山东卷文科19）（本小题满分12分）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.（I）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；（II）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m,将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n,求 的概率.n<m+2【解析】（I）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4,共6个。从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个。因此所求事件的概率为1/3。（II）先从袋中随机取一个球，记下编号为m,放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n,其一切可能的结果（m,n）有：(1,1)(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1)(3,2),(3,3)(3,4),(4,1)(4,2),(4,3)(4,4),共16个有满足条件nNm+2的事件为(1,3) (1,4)(2,4),共3个所以满足条件nNm+2的事件的概率为P=3/16故满足条件n〈m+2的事件的概率为1-丹=1-怖=捺2.（2010年高考天津卷文科18）（本小题满分12分）有编号为a，a，-a的10个零件，测量其直径（单1 2 10位：cm）,得到下面数据：] [ L ■ J其中直住在区1阻1.而，1.52」内雨零件为一等品。（I）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率；（II）从一等品零件中，随机抽取2个.(i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果；(ii)求这2个零件直径相等的概率。【解析】(I)解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A,则P(A)=£=3.io5(II)(i)解：一等品零件的编号为a,aaaa「123456从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A,A},{A,A},{A,A卜{A,A},{A,A},{A,A卜12 13 14 15 16 23{A,A},{A,A卜{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A},{A,A}，、有24 25 26 34 35 36 45 46 5615种.(ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”(记为事件B)的所有可能结果有：{A,A},{A,A},{A,A}，{A,A},{A,A},{A,A}，共有6种•所以14 16 46 23 25 35P(B)=9_2.15~53．(2010年高考福建卷文科18)(本小题满分12分)设平顶向量a= (m,1),b=(2,n)，其中m,nG{1,2,3,4}.(I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果；(II)记“使得〃±(〃丁)成立的(m,n)”为事m mn件A,求事件A发生的概率。18.拈小题干婴患髭概率、邛■再商盘等基都知识.•导杳运算求解雄力、⑥用意识一省他把L与转世思随必然与或然思力莪分12注惮；ID有序数维《叫nJ的所有可能祭果为；(L1}fld&jTk3),(h43(2.1)，d2，(2，3)+12卜4),【3；D,(3r2\(3.3,L(3,-%1，(4,—4.37.(4«4)共L5个.；EDiI；口口_L(再加一4)用四一一二拼+1—n=0.即打=(7忖一1尸.由于一声省I工34.故事件提包含的基某事件为(2.1)和34L其2・4乂基本多田的总•裁为"•灰所求'19概率为尸(X)=2=4，1684.(2010年高考江西卷文科18)(本小题满分12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能)为你打开一个通道.若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.•••(1)求走出迷宫时恰好用了l小时的概率；(2)求走出迷宫的时间超过3小时的概率.解：（1）设A表示走出迷宫时恰好用了1小时这一事件，则P（A）-1.P（A）-3（2）设B表示走出迷宫的时间超过3小时这一事件，则p（b）」+1+i-i・丁丁66625．（2010年高考广东卷文科17）（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：「岁文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40岁152742总计5545100.(1)由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是看与年龄有关？(2)用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于411岁的观众应该抽取几名？在二述抽取的5名观众二任取2名，京哈有1名观众的年龄为2。至4。岁的概率.解：3)有关：收看新闻节目多为年龄大的。(2)应抽取的人数为：5M二=31人)45(3)由(2)知，抽取的5名观众中，有2名观众年龄处于20至4。岁，3名观氽的年龄大于4。岁。所求概率尸=*=之C；56.(2010年高考重庆卷文科17)(本小题满分13分,(I)小问6分，(II)小问7分.)在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起.若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,……,6),求：(I)甲、乙两单位的演出序号均为偶数的概率；(II)甲、乙两单位的演出序号不相邻的概率.解:考虑甲、己两个单位的排列.甲、乙两单位可能舞利在5外位置中的住两个，有屏=30稗等可能的结果.{1)设闻表示“甲、乙的演川序号均为耦旅工则月包含的结果市A；=5种..故所求概率为网心=靠=9jUJ（设〃表示“甲，乙明单位的演出序号不楣邻”.划后表示甲、乙两单位序号相邻,B越含的结果有5K2t=皤科.夙而k 10 2巴切=1-巴B…I嗡=?7.（2010年高考陕西卷文科19）（本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下:（i）估计该校男生的人数；（U）估计该校学生身高在170~185cm之间的概率；（||［）从样本中身高在180-190cm之间的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm之间概率。解（）样本中男生人数为40,由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400o（11）有统计图知，样本中身高在170~185cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70,所以样本中学生身高在170~185cm之间的频率f。新•，故有f估计该校学生身高在170~180cm之间的概率p=0.5.（UI）样本中身高在180~185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185~190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180-190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15,求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9,因此，所求概率M15 5.8.（2010年高考湖南卷文科17）（本小题满分12分）为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A,B,C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组、有关数据见下表（单位：人）相关人数抽取人敷A18XB362C54y（I）求x,y;（II） 若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这二人都来自高校C的概率。解m由题低可得，,=表=表，所以＞[,”3.（口）记从高校B抽取的2人为由，瓦，从高校心抽取的3人为期从高校B,C摘取的5人中选2人作专题发言的基本事伴有（4©）,3.外，s1勺j1（4+q）,（3]q）♦3百）I（& ）1（，,一）卜[qi-）,C%一）共1。神，设施中的之人都来自高校C的事件为£,则*包含的基本事件有（G.G）,共3种.因此尸（*）=*,故选中的W人都来自高校C的概率为*.9.（2010年高考全国1卷文科19）（本小题满分12分)(注意：在试题卷上作答无效)．．．．．．．．．．投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0.5，复审的稿件能通过评审的概率为0.3．各专家独立评审．(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；(II)求投到该杂志的4篇稿件中，至少有2篇被录用的概率．解：(I)记A表示事件：稿件能通过两位初审专家的评审；B表示事件:稿件恰能通过一位初审专家的评审；1010.(2010年高考全国卷II文科20)(本小题满分12c表示事件：稿件能通过复审专家的评审;D表示事件：稿件被录用.则D=A+B・C,P(A)=0.5x0.5=0.25,P(5)=2x0.5x0.5=0.5,P(C)=0.3,P(D)=P(A+5.C)P(A)+P(5.C)P(A)+P(5)P(C)=0.25+0.5x0.3=0.40.(II)记斗表示事件：4篇芾件中没有L篇被录用;冯表示事件：4篇稿件中恰有1篇被录用;4表示事件,4篇稿件中恰有2篇被录用三A=A+A尸(4)=(1—二0」296产(4)=C；M。.4X(1-CM户=0345a产(%)"也十可"&)十又4)=0.1296+0.3456=0.4752.尸⑷=1-P(A2)=1-0,4752=0,5248.分)如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为T,T,T,T,电源能通过T,T,T的概率都是P,电源能通过T的概率是0.9,电源能否通过各元件相互独立。已知T,T,T中至少有一个能通过电流的概率为0.999o(I)求P；(II)求电流能在M与N之间通过的概率。【解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，(1)设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将T1,T2,T3至少有一个能通过电流用基本事件表示并求出概率即可求得P。(2)将MN之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得O1L（2010年高考四川卷文科17）（本小题满分高分）某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为1.甲、乙、丙三6位同学每人购买了一瓶该饮料。（I）求三位同学都没有中奖的概率；（11）求三位同学中至少有两位没有中奖的概率.（产）本小时也蹙考查相互独立业件,互承亨件等捕举计算，号在遥用所学知.说与方法解诳实际问螭的能力.解：（1）设甲I乙.丙中奖的事件分别为.那么F⑸工M威=玳©=卷.信）嚼(6分答:二位同室都汉心中房的M举是316P（A信）嚼(6分答:二位同室都汉心中房的M举是316P（A.行，心="4P｛莉〕叫苒、（1］）［一收3,收■c+」-万右4J•席•F十工•丹・G答：三粒同学中至少有两位没有中英的概率为京（19）（本小题满分12分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下:不苏舞 I的二叱(I)估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例；(II)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(III)根据(II)的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。附：收小物打 。一照皿口闵瓦01lc_ _ 氏)■Cfl+ 近1td)(19)解:(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为jo_14% 4分500500500x(40*270—30*160)2k2二 二六9.967200义300*70*430由于9967>6635所以有99%的把握认为该地区的老9.96/>6,635年人是否需要帮助与性别有关 8分(3)由于(2)的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时，先确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好 12分17.(本小题满分12分)为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个中多个不同位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量(单所示)克)，并将所得数据分组，画出频率分布直方图(如图：所示)(I)在答题卡上的表格中填写相应的频率； J……厂(II)估计数据落在(1.15,1.30)中的概率为多少； fa(III)将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带 有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。.水小噩主爱学起琳不分布立方图、歧数、概率锦基本弟念和总体分瘠的牯骨等些让方洛（满分12财）陀《I》根据皴率税护自力图可知曾瘫佛福解原常做可得下隶分领 —i时率L⑸口期[]0S.口.电145)0JS[L15,L2S0.30【！工。，1二幻0J5L30)0阳（JI：）OJ&*0.li^.ft>C.47.所以敦韩拓出,港W司）中的慨率线为骸鼠（HD1理吧,现明所以水阵中钝的总条数囱为20的条.或常r丈也宽）试凰找考在案第।页（共s页）18、（本小题满分13分）某市2010年4月1日一4月30日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物卜可吸入颗粒物）：61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,（I）完成频率分布表；（II）作出频率分布直方图；（III）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优：在51~100之间时，为良；在101~150之间时，为轻微污染；在151~200之间时，为轻度污染。

请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价..【命题意图】本题考查频数，频率及频率分布直方图,考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和运用意识.【解题指导】(1)首先根据题目中的数据完成频率分布表，作出频率分布直方图，根据污染指数，确定空气质量为优、良、轻微污染、轻度污染的天数。分. 频歌分. 频歌频率[41.5力之230[5-][30[6],71)44[71,81)6630⑻，91)1010⑻，15)5工就r1.\3。—解：(I)^率分节表:(n)顿率分布正方图】空气污染指数(III)答对下述两条中的一条即可：(1)该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的工,有26天处于良的水平，占当15月天数的13,处于优或良的天数共有28天，占当月15天数的14。说明该市空气质量基本良好。15（2）轻微污染有2天，占当月天数的工。污染指数在1580以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的17，30超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善。【规律总结】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，