拓扑学基础课程教学大纲

拓扑学基础课程教学大纲课程英文名称：Topology课程编号：050763课程类型：专业选修课程总学时：64学分：3：4开设学期：第七学期开课单位：数学与系统科学学院先修课程：数学分析，实变函数编写依据：2017年版本科培养方案使用教材及参考书编写时间：2017年7月（第三版）熊金城，高等教育出版社，2003121参考书：1.《拓扑学引论》江泽涵，上海科学技术出版社，1978。2.《拓扑学》蒲保明等，高等教育出版社，1985。一、课程教学目的和任务本课程是一门重要的数学选修课程，作为数学分析和实变函数课程的深化，具有承上启下的作用，是现代数学最重要的入门课程之一。它一方面为后继课程提供所需的理论基础，同时还能培养并提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、想象能力、数学的观察力与分析解决问题的能力，并为学生日后从事理论研究以及实际应用工作奠定基础。二、课程教学基本要求1概念、基本知识和基本技能，作为教学的重点内容，要求学生牢固掌握并熟练运用。2旨在拓开学生的思路，使得学生能够熟练掌握各种空间结构理论、算子理论和算子的谱理论。3题的能力放在重要位置。4作业，要求学生按时完成。三、课程教学重点和难点重点：拓扑、基、次基的构成，连续映射，几种分离性的关系，紧致性的特征、乘积空间拓扑的组成和性质，拓扑空间中的各种收敛，基本群及其应用等难点：选择公理，拓扑的引入方式及拓扑空间的构造方法，分离性公理与子空间，可数性公理，度量空间的完备化，仿紧空间，Jordan分割定理，Baire定理等。四、课程教学内容20167*第一章朴素集合论[教学目的]外，本章提供了全书的基础知识，为以后章节的顺利学习提供了条件。[教学要求]掌握：集合、关系、等价关系、映射、集族及其运算、集合的势等基本概念。了解：选择公理及其等价命题。[重点难点]集合、关系、等价关系、映射、集族及其运算、集合的势，选择公理及其等价命题。[教学内容]第一节集合的基本概念（集合的定义及集合间的基本关系）第二节集合的基本运算（集合的并，交，补，差）第三节关系（集合的笛卡尔积及关系）第四节等价关系（等价关系的性质）第五节映射（单射，满射，自然投射）第六节集族及其运算（集族的定义及集族的交和并）第七节可数集，不可数集，基数（集合的基数，可数集，不可数集的定义）*第八节选择公理（选择公理及其等价条件）第二章拓扑空间与连续映射[教学目的][教学要求]各种刻画。了解：拓扑的各种引入方式。[重点难点]续映射的各种刻画。[教学内容]第一节度量空间与连续映射（度量空间，邻域，开集，连续映射）第二节拓扑空间与连续映射（拓扑，拓扑空间，可度量化空间，同胚，连续映射）第三节邻域与邻域系（邻域系，连续映射）第四节导集，闭集，闭包（导集，闭集，闭包的定义及基本性质）第五节内部，边界（内点，内部，边界点）第六节基与子基（基，子基，邻域基）第七节拓扑空间中的序列（拓扑空间中的收敛序列）第三章子空间、（有限）积空间、商空间[教学目的]（有限[教学要求]掌握：子空间、积拓扑、（有限）积空间、商拓扑、商映射、商空间等基本概念。了解：从一个拓扑空间构造新拓扑空间的途径。[重点难点]（有限构造新拓扑空间的途径。[教学内容]第一节子空间（度量子空间，相对拓扑，嵌入）第二节（有限）积空间（度量积空间，拓扑积空间，开映射，闭映射）第三节商空间（商拓扑，商映射，商空间）第四章连通性[教学目的]通过本章教学，使学生掌握连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间等基本概念及它们之间的相互关系。特别地，要让学生熟练掌握各种连通性的性质及其关系。在此基础上，使学生能够了解连通性的应用。[教学要求]掌握：连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间等基本概念。了解：连通性的应用。[重点难点]连通空间、连通分支、局部连通空间、道路连通空间等基本概念，各种连通性的性质及其应用。[教学内容]第一节连通空间（连通空间，连通子集）*第二节连通性的某些简单应用（介值定理，不动点定理）第三节连通分支（连通分支的定义和性质）第四节局部连通空间（局部连通空间的定义和性质）第五节道路连通空间（道路，道路连通空间，*道路连通分支）第五章有关可数性的公理[教学目的]通过本章教学，使学生掌握第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其性质及它们之间的相互关系。在此基础之上，再让学生掌握有关可数性公理之间的关系。[教学要求]掌握：第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其性质。了解：可数性公理之间的关系。[重点难点]第一与第二可数性公理、可分空间、Lindelöff空间等基本概念及其性质，可数性公理及它们之间的关系。[教学内容]第一节第一与第二可数性公理（满足第一或第二可数性公理的拓扑空间的性质）第二节可分空间（稠密子集，可分空间）第三节Lindelöff空间（覆盖，可数子覆盖，Lindelöff空间）第六章分离性公理[教学目的]通过本章教学，使学生掌握、、、、空间、Hausdorff空间、正则、正规、完TychonoffTietse（）[教学要求]、、HausdorffTychonoffUrysohnTietse（）[重点难点]、、、HausdorffTychonoff（）积空间和商空间,可度量化空间。[教学内容]第一节，Hausdorff（，Hausdorff第二节正则，正规，，T4（，T4空间的定义及它们之间的关系第三节UrysohnTietse（UrysohnTietse）第四节完全正则空间，Tychonoff空间（完全正则空间，Tychonoff定理）（）积空间和商空间有限）积空间的正则性）第六节可度量化空间（Urysohn）第七章紧致性[教学目的]n度量空间中的紧致性、局部紧致空间及它们之间的关系；特别地，要让学生熟练掌握几种紧致性以及它们的关系。[教学要求]掌握：紧致空间、紧致性与分离性公理、n维欧氏空间中的紧致子集、度量空间中的紧致性、局部紧致空间；熟练掌握几种紧致性以及其间的关系。了解：仿紧致空间[重点难点]紧致空间、紧致性与分离性公理、n维欧氏空间中的紧致子集、度量空间中的紧致性、局部紧致空间，仿紧致空间。[教学内容]第一节紧致空间（紧致空间，紧致子集，有限交性质，一点紧化）第二节紧致性与分离性公理（紧致子集和闭集的关系，紧致空间上的连续映射）第三节n维欧氏空间中的紧致子集（n维欧氏空间中的紧致子集的性质）第四节几种紧致性以及其间的关系（可数紧致空间、列紧空间、序列紧致空间以及它们之间的关系）第五节度量空间中的紧致性（Lebesgue）第六节局部紧致空间，（第八章完备度量空间[教学目的]Cauchy为深刻的认识。[教学要求]Cauchy[重点难点]Cauchy[教学内容]第一节度量空间的完备化（Cauchy）第二节度量空间的完备性与紧致性，Baire（Baire）*第九章基本群及其应用[教学目的]通过本章教学，使学生掌握道路，道路同伦（类），线性同伦，粘结道路，基本群，诱导同构，诱导同态，函子性质，拓扑群，局部同胚，指数映射，提升引理，映射度。同时也让学生了解2维Brouwer不动点定理，Jordan分割定理，Poincare猜想。[教学要求]（类性质，拓扑群，局部同胚，指数映射，提升引理，映射度。了解：2维Brouwer不动点定理，Jordan分割定理，Poincare猜想。[重点难点]（类Poincare2Brouwer，Jordan理[教学内容]第一节基本群的定义（（类,nPoincare）第二节连续映射诱导同态（诱导同态，函子性质）*第三节圆周的基本群（拓扑群，局部同胚，指数映射，提升引理，映射度）*第四节2维Brouwer不动点定理（收缩映射，收缩核，2维Brouwer不动点定理）*第五节Jordan分割定理（简单曲线，Jordan分割定理）五、实践环节无六、学时分配总学时：64学时章目教学内容教学时数一章目教学内容教学时数一朴素集合论（不含习题课，下同）5学时二