微分方程模型-传染病

引言5.1传染病模型5.4药物在体内的分布与排除（房室模型）5.6人口预测和控制微分方程模型May.05,2003adiseasethathasrockedAsianmarkets,ruinedthetouristtradeofanentireregion,nearlybankruptedairlinesandspreadpanicthroughsomeoftheworld'slargestcountries.已感染人数(病人)i(t)每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为Malthus模型假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?短期预测模型Logistic模型（SI模型）区分已感染者(infective)和未感染者(易感染者susceptible)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率AIDS等1/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型所有人被感染??t=tm,di/dt最大感染无治愈模型Logistic模型SIS的解析解试试看：解析解怎样求？dsolve('Dy=lemda*y*(1-y)-mu*y','y(0)=i0','t')SIS模型i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的人数不超过病人数1-1/i0思考：Logistic模型(SI模型)如何看作SIS模型的特例？idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0SIR模型传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者肝炎、SARS等假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程有治愈有免疫模型SusceptibleInfectiveRemovedSIR模型消去dt相轨线的定义域相轨线(有解析解)11si0D在D内作相轨线的图形，进行分析si101DSIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/

i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S0SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计降低s0提高r0>1-1/

提高阈值1/降低(=/),群体免疫SARS疫情的实证分析与Kermack同样的方法王铎,赵宵飞.SARS疫情的实证分析和预测[J].北京大学学报(医学版),2003,5(S):72-74.一句话小结不同的领域可以共享相同或类似的数学模型，但所关注的问题会有所不同；不能求得解析解的方程仍可用相轨线办法分析解的性质。进一步的问题考虑出生和死亡因素的传染病模型考虑潜伏期的传染病模型SEIR考虑被动免疫的传染病模型MSIR考虑随机接触率的传染病模型SSIR参考房室系统的概念二房室模型的建立模型求解不同给药方式分析参数估计技巧进一步推广5.4

药物在体内的分布与排除

（药物动力学之房室模型）药物进入机体形成血药浓度(单位体积血液的药物量)血药浓度需保持在一定范围内——给药方案设计

药物在体内吸收、分布和排除过程——药物动力学

建立房室模型(CompartmentalModels)房室——机体的一部分，药物在一个房室内均匀分布(血药浓度为常数)，在房室间按一定规律转移

本节讨论二室模型——中心室(心、肺、肾等)和周边室(四肢、肌肉等)药物动力学之房室系统复习：常系数齐次线性方程组通解(n=2)(1)两个不等的实数特征根,,(2)两个相等的实数特征根=,(3)两个共轭复数特征根i,线性常系数非齐次方程对应齐次方程通解模型建立可证明：特征方程有两个不相等负根(习题5)详解方程非其次项是常数，所以设解非其次项也是常数，令方程的通解为代入方程，比较两边e-t,e-t以及常数项系数得到6式，删去冗余两式得由后两式解得由前两式得再利用初始条件c1(0)=0,c2(0)=0解得(可利用Matlab的符号工具箱)t>T以后，静脉注射停止吸收室中心室3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)先进入吸收室，吸收后进入中心室吸收室药量x0(t)错！怎样确定A,B,E?C2(t)的公式？参数估计技巧各种给药方式下的c1(t),c2(t)取决于参数k12,k21,k13,V1,V2t=0快速静脉注射D0,在ti(i=1,2,n)测得c1(ti)由较大的用最小二乘法定A,由较小的用最小二乘法定B,为什么不4个参数一起拟合？进入中心室的药物全部排除参数估计技巧房室模型建模小结分析各房室的关联；建立线性微分方程组模型；写出微分方程组的通解；用初始条件和代入方程求得特解；用观测数据估计模型参数参数估计可用分解技巧，简化计算，使结果更可靠。进一步的问题多房室系统模型非线性房室模型随机房室模型房室模型在其他领域的应用其他注射方式下的参数估计问题(思考：恒速静脉滴注情形的参数估计技巧？)参考阅读周晓芳,陈小全,周鲁,生理房室模型药物动力学的研究进展,预防医学情报杂志2002年06期陈增敬,关于血浆中放射性钙C^47α浓度的计算公式,数理统计与应用概率，1995年10卷3期补充习题3给出P155-156口服或肌肉注射情形下二房室模型的解。提示：

补充习题4在北美的五大湖中，安大略湖处于伊利湖的下游，安大略湖不仅接受伊利湖来的水，还要接受非伊利湖流入的水，已知流入安大略的水有5/6是伊利湖流出的。试建模描述这两个湖的污染情况。假设除去控制不了由伊利湖自安大略湖的流动外，流入伊利湖和安大略湖的所有污染都暂时被停止了。试计算把安大略净化到50%以及5%所需要的时间。

人口模型介绍PDE建模人口预测人口控制与计划生育几个人口发展指数参考文献5.6人口预测和控制

(偏微分方程模型)研究人口模型的意义人口控制人口系统工程社会保障寿险精算种群生态学人口模型概述宏观模型:总人口,不考虑年龄，Malthus模型,Logistic模型(第一章)微观模型：考虑年龄结构1930's,Lotka积分方程模型1940's,Leslie差分方程模型(第七章)1960's,Verhulst偏微分方程模型1970's,Pollard随机方程模型

考虑年龄分布

只考虑自然出生与死亡，不计迁移人口发展方程人口PDE建模和预测人口发展方程一阶偏微分方程为什么没有考虑出生率？人口预测~已知函数（人口调查）~出生率（控制人口手段）0tr解释：从现在t=0看，10年以后年龄r小于t=10岁的人的密度由将来的出生率决定；年龄大于10岁的人的密度由现在的人口分布决定证明作为习题出生率f(t)的模型~总和生育率（平均每个育龄妇女生育胎数）h~生育模式0人口预测：发展方程+出生率模型人口指数1）人口总数2）平均年龄3）平均寿命t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间4）老龄化指数控制生育率控制N(t)不过大控制(t)不过高时刻存活的比例补充习题5验证P164(7)式为P163方程(5)的解。人口红利制造中国30年经济奇迹人口问题造成中国70年的贫穷胡鞍钢：“一对夫妇一个孩儿”该结束了“一对夫妇一个孩儿”该结束了

调整人口生育政策势在必行

少子化.妇女总和生育率的过快下降，明显低于正常的人口生育更替水平。在1995年前后我国0至14岁少儿人口绝对数达到了最高峰，大约为3.34亿人，2008年的时候减少到2.52亿人。老龄化。根据联合国人口署的预测，到2020年我国60岁以上人口将占到总人口的16.7%，2050年将进一步上升到31.1%，大大高于届时的世界平均水平(21.9%)。劳动人口缺乏.15至59岁劳动人口大约在2015至2020年之间也会达到最高峰，大约9.23亿人，而后开始持续下降。到2050年，中国的15至59岁劳动年龄人口数大约要比印度少2.44亿人。“一对夫妇一个孩儿”该结束了未来中国人口发展目标

1、保持少儿人口数量稳定的目标。少儿人口并不是减少越多、越快就越好，而是应该保持在一定规模上。2、保持劳动年龄人口稳定的目标。防止2020年之后的大幅度下降，特别是防止15-29岁青年型劳动人口的大幅度下降。3、保持总人口规模。防止2030年之后总人口规模的大幅度下降。参考阅读李永胜,人口预测中的模型选择与参数认定,财经科学2004