第二章极限与连续

第一章极限与连续一、知识结构：极限连续极限连续连续的计算函数初等函数极限的极限的性质极限的计算定义连续的定义闭区间连续函的连续性数的性质一点处的连续连续四则运算函数的间断点及类数列极限唯一性四则运算函数极限有界性夹逼准则保号性两个重要有界性最值性介值性型开区间上连续函数的复合连续闭区间上由连续性求极限连续极限无穷小与无穷大及关系零点定理无穷小性质及等价无穷小代换二、定义(1)limaA0,N,(nN)|aA|.n(2)limf(x)A0,M0,(|x|M)|f(x)A|.nnx(3)limf(x)A0,M0,(xM)|f(x)A|.x(4)limf(x)A0,M0,(xM)|f(x)A|.x(5)limf(x)A0,0,(0|xx|)|f(x)A|.0xx(6)limf(x)A00,0,(xxx)|f(x)A|.00xx(7)limf(x)A0,0,(xxx)|f(x)A|.000xx0三、常用公式及结果：1．limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xxx2．limf(x)Alimf(x)limf(x)A.xx0xxx00x3．如果limfA,limgB，c为常数，则(1)lim(fg)limflimgAB;(2)lim(fg)limflimgAB;(3)lim(fg)limflimgAB;(4)limflimfA(B0);glimgB(5)limcc;(6)limcfclimf.f是有界量，则f也是无穷小量，即limf0.4．如果在某变化过程中是无穷小量，sinx11,lim1e,lim1x1xe.xxlimx05．两个重要极限xxx06．两个重要极限的变形：(1)若lim0,则limsin1;1(2)若lim,则lim(1)e;1(3)若lim0,则lim(1)e;(2)若lim,limA,则lim(1)lim(1)eA.110x时，有以下等价无穷小：7．当sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanxx,ex1~x,ln(1x)x,n1x1~x,1cosx~nx22典型题一、判断题1.函数在点x处有极限，则函数在x点处必连续；错00x0时,x与sinx是等价无穷小量；对2.f(x0)f(x0)，则f(x)必在x点连续；错03.若00x0时，xsinx与x相比是高阶无穷小4.当2;错(,)y2x1在内是单调的函数；错5.函数2f(x)在点f(x0)f(x0)；对x处连续，则0006.设x2sin1,x07.函数f(x)0点连续；对在xx0,x0x22x1x1是函数y8.9.的间断点；对f(x)sinx是一个无穷小量；错10.当x0时，x与ln(1x2)是等价的无穷小量；错limf(x)xx0f(x)x存在，则在处有定义；错011.若12.若x与y是同一过程下两个无穷大量，则xy在该过程下是无穷小量；错yx22是一个复合函数；错13.14.x1limx0xsinx2；对数列1,0,1,0,1,0,收敛；对215.4816.函数yxsin1xx0点连续；错（x不等于0）在ln(x2)的间断点；对x0是函数17.yx18.以零为极限的变量是无穷小量；对二、填空题1.limsinx___0____；=__1_____；xxxxxsinxlim2.x2y3.函数在___-3,3_____处间断；x293n24.limn5n22n1=__3/5_____；x0时，1cosx是比x_高_____阶的无穷小量；x0时，若sin2x与ax是等价无穷小量，则5.当6.当__2____；a7.limx(xx)____1______；sinxx0sin2x,x08.设f(x)连续，则____2_____；xaa,x0xhx9.limh0_____1/2根号x______；hlim(12)x____1/e^2____；10.11.xxlimln(13x)___1______；sin3xx01ex2,x0f(x)12.设x0在处____是____（是、否）连续；0,x013.当x0时,4x2与9x3是__同阶____（同阶、等价）无穷小量.三、选择题1.当x0时，ysin1为(Cx)(A)无穷小量(B)无穷大量(C)有界变量但不是无穷小量(D)无界变量x1时，下列变量中为无穷大量的是(A)2.x21x11x1x211(A)3(B)(C)(D)x1x2,x11x0，则limf(x)和limf(x)(3.已知函数f(x)x1,1x2,0x1C)x1x0(A)都存在(B)都不存在(C)第一个存在,第二个不存在(D)第一个不存在，第二个存在xx1f(x)124.函数的连续区间是(C)x1(A)(,1)(B)(1,)(C)(,1)(1,)(D)(,)3x2,x05.设f(x)limf(x)(，则D)x22,x0x0(A)2(B)012(C)(D)1,x0f(x)，在x0处(B)7.函数1,x0(A)左连续(B)右连续(C)连续(D)左、右皆不连续2xlim8.9.(C)x05arcsinx2(A)0(B)不存在(C)5(D)1f(x)在点xx处有定义，是xx0f(x)在处连续的(A)0(A)必要条件(B)充分条件(C)充分必要条件(D)无关条件10.下列极限存在的有(A)limx(x1)1x211x2(B)limx02x1(C)limex0(D)limxx(A)xx四、计算与应用题x3x2,x2,2x2处连续，且f(x)，求a.a=1.1.设f(x)在点2.求极限:x2a,x2cosx1;(2)lim(2x1);(3)limx32x1x1;(4)lim(1)x0(1)limx0;x1x2x22x15x74xxlim(1cosx)tanx11;(6)lim(n221);(7)lim(12)2n;n(5)2nx32nx01x3;(10)lim(xx131x1x31(8)lim(x)x;(9)limx8).23xx13.求极限:limx32x2limx2x5x;(3)limx234xx(1);(2);x2x22x0x0x0x35x2011;(5)lim112x