计算物理方法

计算物理方法第一页，共六十三页，2022年，8月28日第一节用MonteCarlo方法模拟凝聚态物理系统的基本思想

凝聚态系统的随机特性：

1.粒子系统量子态的量子随机性

2.大量粒子的热统计随机性

----适合用计算机模拟第二页，共六十三页，2022年，8月28日第二节随机游动及应用

随机游动是一种基于运用[0，1]区间的均匀分布随机数序列来进行的计算。早在1906年Pearson就提了“随机游动”的问题。以后随着其理论的逐步完善，随机游动模型在物理学、生物学和社会科学中都得到广泛的应用。许多教科书中都可以找到它在诸如气体分子扩散、液体中悬浮物的布朗运动、量子力学中薛定锷方程的求解、高分子长链的特件研究、求解偏微分方程和数学积分的近似计算等中的成功应用。我们在介绍它的应用之前，有必要首先介绍一下随机游动模型。第三页，共六十三页，2022年，8月28日

醉汉的一维行走问题初始：电杆位置x=0，步长l，每一步的取向是随机的，右行几率为p，左行几率为q=1-p。问题：醉汉在行走N步以后，离电杆的距离为x的概率。有了后，可以计算：第四页，共六十三页，2022年，8月28日

可用概率理论解析地分析

虽然这里用了很简单的解析方法得到上式，但是一般情况下，能精确求解游动问题的技术却不是这样简单。有两种重要的方法可以用于游动问题，它们是查点法和蒙特卡洛方法。查点法：对给定的行走总步数N及总位移x，要求把游动时可能的每一步的坐标和几率都确定下来。第五页，共六十三页，2022年，8月28日

从上面的分析可以看出：查点法只有在总步数较小时才可以应用，N比较大时用起来就比较困难了。对比查点法，蒙特卡洛方法就可以克服在游动中的这个困难，具有可操作性。蒙特卡洛方法可以对许多步的游动过程进行抽样。我们以随机游动的蒙特卡洛方法在求解泊松型微分方程中的应用作为例子。若该泊松方程及其边界条件为第六页，共六十三页，2022年，8月28日

为求解区域D的边界，s为边界上的点。这里我们采用等步长h的正方形格点划分的差分法。在区域D内的任意正则内点o(其相邻的节点都在区域D内)的函数值可以用周围四个邻近点1，2，3，4上的函数值来表示。这个表达式有如下差分方程表示第七页，共六十三页，2022年，8月28日第八页，共六十三页，2022年，8月28日第九页，共六十三页，2022年，8月28日第十页，共六十三页，2022年，8月28日

前面所述类型的随机游动或链具有如下特征；它在游走中任一阶段的行为都不被先前游动过程的历史所限制，即区域内的点可以被多次访问，这种随机游动过程叫做马尔科夫过程。又因为游动最终会终止在边界上，故而上述的这类游动也称为马尔科夫链。马尔科夫涟正是这样生成相继各状态的，它使得后一个状态在前一个状态的邻近。由此可以知道相继各状态之间的确存在着关联。马尔科夫链是分子动力学中由运动方程生成的轨道在概率方面的对应物。对统计力学系统进行蒙特卡洛模拟计算将在本章第4节中介绍。另外还有一种非马尔科夫过程。自规避随机游动过程就是属于这一类。在这个过程中任何一步的游动概率都要考虑前面游动的历史，因而游动将有可能在碰到边界前就被强行终止掉。随机游动对一些更抽象的问题也是非常有用的。第十一页，共六十三页，2022年，8月28日两个重要的概念随机行走的概念

----行走方向的几率

----按该几率实现行走路径平均、路径求和、路径积分的概念

----某一路径给出所求物理量的一个值

----不同路径给出不同值

-----对所有路径给出的值求平均第十二页，共六十三页，2022年，8月28日第三节量子MonteCarlo方法

量子力学中的波函数是直接与几率密度相关的量、我们有分布密度函数的关系式其中，为归一化常数，因此波函数也被称为几率幅度。人们很自然地想到可以利用蒙特卡洛方法来求解量子力学问题。用于求解量子系统的薛定諤方程的蒙特卡洛模拟方法通称为量子蒙持卡洛方法。在实际应用中主要有变分蒙特卡洛方法(VMC)，路径积分蒙特卡洛方法(PIMC)和格林函数蒙特卡洛方法(GFMC)等。在本节我们将介绍路径积分量子蒙特卡洛方法和变分量子蒙特卡洛方法，并对格林函数Monte

Carlo方法作入门的了解。第十三页，共六十三页，2022年，8月28日一、量子力学回顾量子力学的基本方程是薛定锷方程：

为微观体系的哈密顿算符。对微观粒子，其哈密顿算符可以写为

为势函数算符。求解哈密顿算符所对应的能量本征态的波函数和能量本征值是量子力学的基本内容。若知道初始态的波函数为，波动方程则有唯一的波函数解及以后时刻的几率密度。从费曼的观点来看，一个粒子第十四页，共六十三页，2022年，8月28日在某个时刻t，某空间位置x的波函数应当是来自所有的初始态位置“传播”到该时空点的幅度。即上式中的称为“传播子”。它表示在初姑时刻，空间位置点的波函数值对下一时刻，在x点上的波函数值的贡献强度。该传播子可以表示为如果为与时间无关的哈密顿算符的本征态波函数，它满足的薛定锷方程为第十五页，共六十三页，2022年，8月28日于是：其中：于是：第十六页，共六十三页，2022年，8月28日假定该等式在延拓到t为虚值时仍成立，令，则有当足够大时，特别是在时(是基态能量，为第一激发态的能量)，上式的右边主要是来自能量最小的基态能量的贡献。如果我们取并忽略其他的贡献项，则有于是：第十七页，共六十三页，2022年，8月28日

利用归一化的要求，基态波函数绝对值的平方可用传播子表示为

我们现在必须计算传播子。将时间间隔分为个等时间间隔的小区间，则此间隔为，并且，()。根据完备座标表象的关系式第十八页，共六十三页，2022年，8月28日有：第十九页，共六十三页，2022年，8月28日第二十页，共六十三页，2022年，8月28日取连续极限得到第二十一页，共六十三页，2022年，8月28日其中常数，为沿路径的经典作用量。上式表示传播子是由连接初态和末态的所有路径，通过相因子所做的贡献。其中是系统的拉氏量。上式中是所有各种可能的分段直线段构成的路径()之和的总作用量。同样，如果我们假定将延拓到虚数范围时，上述等式仍然成立。令，则上式中的作用量可以推出为第二十二页，共六十三页，2022年，8月28日于是：第二十三页，共六十三页，2022年，8月28日类似前面的推导，上式中指数中有一个路径积分，它的积分是沿路径，即我们把路径积分的空间起终点和分别放在上，则该积分为因而对于每一条路径，就有一个能量。上式于是有如下形式；第二十四页，共六十三页，2022年，8月28日由于，并对进行积分，此时须加进一个函数在被积函数中，则上式可等价写为

上面的公式显示出量子力学中的费曼路径积分在欧氏时空的表示，揭示出量子理论与统计力学之间的深刻联系。这时的路径积分与配分函数两者在数学上是相同的，因而我们可以用计算经典统计力学配分函数的做法来计算路径积分问题。第二十五页，共六十三页，2022年，8月28日

二、路径积分量子蒙特卡洛方法下面我们就用路径积分蒙特卡洛方法求解薛定锷方程的基态能量和基态波函数的数值。从上面两个公式可以使我们联想到玻尔兹曼分布。变量的位形分布密度函数正好是将玻尔兹曼分布中的换成。可以被视为函数在位形

(每个位形对应一条路径)在此分布下的平均位。其分布的数学表示为第二十六页，共六十三页，2022年，8月28日这里存在的一个关键问题是：上面公式中给出的具体形式计算起来并不方便。在计算归一化常数时，包含了一个积分。这个计算实际上是一个高维的多重积分的计算。费曼路径积分量子化的欧氏积分表示中的积分计算也仍然主要是个蒙特卡洛计算问题，对它们的积分计算可以离散化为对路径的求和。但是采用一般随机抽取位形点的办法，效率是很低的。尤其是在此高级空间中做均匀抽样时，由于指数项的缘故，大量的点会落到对求和贡献非常小的区域。此时如果我们采用马尔科夫随机游动的重要抽样方法——Metropolis方法，将是十分有效的。利用Metropolis方法，按照类似玻尔兹曼分布的分布函数来抽取若干位形，便可以计算出基态波函数的估计值，然后对该估计值求平均便得到的值。第二十七页，共六十三页，2022年，8月28日

这种方法在求解一维基态波函数时优越性并不明显。但是在更复杂的量子力学计算中，采用路径职分方法就显示出极大的优越性。这半要是由于在传统的场论计算中，势函数的作用是用在真空上的微扰方法来处理的；而在路径积分中，是将势函数插入到作用量积分中去求数值解，事实上是在做精确计算的尝试。前一种方法对电弱作用的计算很有效，但对于有强相互作用的问题，其使用价值不大。在强相互作用中，矩阵元不能够以强耦合常数展开为收敛的级数。另一个优点是该方法将时空离散化为格点，这将带来数值计算上的方便。此外，采用Metropolis游走方法来选择具有代表性的态是非常有用的。该方法不仅可以以简洁的数组方式给出场的描述，还能够对积分加上截断，以保证在将格点上的离散时空延拓到连续时空时微扰理论的重整化。第二十八页，共六十三页，2022年，8月28日三、Metropolis随机抽样方法

在随机游动的MonteCarlo方法中，有一种最常用方法称为Metropolis方法，它是重要抽样法的一个特殊情况；采用此方法可以产生任意分布的随机数，包拈无法归一化的分布密度函数。Metropolis方法是通过某种方式的”随机游动”来实现的。只要这个随机游动过程拉照一定规则来进行，那么在进行大量的游动，并达到平衡之后所产生的点的分布就满足所要求的分布。Metropolis方法所采用的游动规则是选择一个从x点游动到x’点的“过渡几率”，使得它在游动中所走过的点的分布收敛到系统达到平衡时的分布。要达到这样的重要抽样的目的，就需要对过渡几率的选择加上适当的限制：第二十九页，共六十三页，2022年，8月28日对于相空间中点集的一切互补的对偶集，存在着和，使得。这是相空间区域的连通性和遍历性的陈述。由于概率正定性的要求，对于一切，。概率归一化要求，对所有的，。由于要求极限分布为平衡分布，所以对所有的x，可以证明，只要游动所选的”过渡几率”满足如下的细致平衡条件．就可以达到平衡时分布为这样的目的：第三十页，共六十三页，2022年，8月28日

第五项中的细致平衡条件实际只是一个充分条件，并不是一个必要条件。该条件并不能唯一确定过渡几率。所以，过渡几率的选择有很大的自由度。不同的选取即是不同的方法；在Metropolis方法中一般采用一个简单的选择过渡几率的方法：第三十一页，共六十三页，2022年，8月28日设游动到了点，以下的具体操作步骤为：（1）首先选取一个试探位置，假定该点位置为：，其中为在间隔内均匀分布的随机数。（2）计算的数值。（3）如果不等式满足，那么进行这一游动，并取，返回（1）开始对游动到点的试探。（4）如果，产生一个区间内的随机数。第三十二页，共六十三页，2022年，8月28日

（5）如果此时，那么还接受这步游动，并取这步游动所到达的点为，然后返回到步骤（1），开始下一步到达点的游动。（6）如果此时，就拒绝游动，仍留在的位置不变。（7）返回到步骤（1），重新开始对游动到点的又一次试探。第三十三页，共六十三页，2022年，8月28日

必须指出：采用这样的游动过程，只有在产生了大量的点后．才能得到收敛到满足分布的集。这里有一个明显的重要问题，就是如何选择的大小，才能提高游动的效率?如果选得太大，那么绝大部分试探的步子都将会被舍弃，就很难达到平衡分布：反之，如果取得太小，那么绝大部分试探步子都会被接受，这同样难以达到所要求的平衡分布。根据实际应用的经验，选取的一个粗略标准应当是：选择适当大小的原则是要在游动的试探过程中，有1／3到1／2的试探步子将被接受。按照这样的标准选择得到的，就可以大大提高游动的效率。第三十四页，共六十三页，2022年，8月28日另一个在Metropolis方法中的问题是：进行这样的随机游动，从哪一点出发才可以比较快地达到平衡分布呢?原则上讲，从任何一个初始位置出发均可达到平衡分布，但是为了尽快地达到平衡分布，我们最好是要选择一个合适的初始位置．这个初始位置应当是在游动范围内所要求的几率分布密度最大的区域。第三十五页，共六十三页，2022年，8月28日四、例子---一维简谐振子假定有一个质量为m的粒子，在一维简单简谐势中运动。取为长度单位，为时间中的单位。有第三十六页，共六十三页，2022年，8月28日首先，选择任意的、连接个时间间隔、且的一条路径，计算上式的能量，然后再选一系列路径，每条路径与前条路径最多只有在一个时刻（例如），有不相同的空间点（见图）。采用Metropolis方法来确定满足上面要求的新径迹。其中将随机定下的坐标改变到的过渡几率为，为分别包括在时刻坐标为和的两条径迹的能量差，可由上式算出。这样的随机游动抽样得到的径迹也许会与前一个径迹相同。每当新径迹选出后，就利用前式计算被积函数的估计值，并累加到求和之中。最终该求和所得的值与抽样路径的总数相除所得到平均值．就得到的数值结果。按上述方法，游动足够多的步数后，找们就可以得到x点上的值。第三十七页，共六十三页，2022年，8月28日第三十八页，共六十三页，2022年，8月28日第三十九页，共六十三页，2022年，8月28日五、变分量子MonteCarlo方法通过薛定谔方程求解基态本征能量和本征波函数选择试探波函数计算试探能量其中，可看作局域能量。第四十页，共六十三页，2022年，8月28日

可看作空间点出现的几率。由哈密顿，有采用Metropolis随机游动方法产生满足分布的个点，则第四十一页，共六十三页，2022年，8月28日不断改变试探波函数的值，并计算试探能量的平均值，直到取得最小值，这时得到的试探波函数和能量平均值就是基态波函数和基态能量本征值。

下面我们以一个一维的量子体系的变分蒙特卡洛模拟步骤作为示范：（1）选择一个物理上合理的近似基态波函数作为试探波函数；（2）采用Metropolis方法，按照分布密度函数随机抽取个点用上述公式计算能量平均值。（3）改变试探波函数的值，使得的值在区间内随机变化一个小量即，重复（2）中能量平均值的计算得到。

第四十二页，共六十三页，2022年，8月28日（4）计算能量平均值的改变值，如果则接受这一变化，否则，便拒绝这个改变，回到第（3）步，重新选择试探波函数的改变值。（5）返回到第二步，反复循环直到能量平均值不再有明显的改变为止。

第四十三页，共六十三页，2022年，8月28日六、格林函数Monte

Carlo方法考虑坐标空间的薛定谔方程进行能量零点的移动使得最低的能量本征值大于零第四十四页，共六十三页，2022年，8月28日于是，对于可定义格林函数而这个格林函数是非负的。这样，薛定谔方程可写成积分方程的形式我们可以积分这个方程得到一个函数序列第四十五页，共六十三页，2022年，8月28日我们可以设定这个序列的初始函数从概率论的基本原则可以证明：如果（a）从波函数随机抽样产生出的一系列数值；（b）从每一个根据作为从到的过渡密度的随机产生出的一系列数值，则这一系列数值的密度就是。第四十六页，共六十三页，2022年，8月28日第二步之所以可行是因为。用这个方法我们可以生成一系列坐标使其满足分布。注意到有关这一分布函数的所有知识都包含在这一座标集合中。如，以下的数值积分可化成求和的形式：注意到最关键的一步是以为条件从生成的一系列数值。第四十七页，共六十三页，2022年，8月28日一般来说，尽管不知道，但可以通过局部几率无规行走的方法得到所需的数值集合。我们来分析一下从开始如何产生序列。用本征函数展开，有于是，上面的迭代成为第四十八页，共六十三页，2022年，8月28日上面最后一个方程说明了三个要点:

1)数值集合的分布密度渐进地趋向于，与初始的集合无关。

2）这一渐进行为与无关。

3）在中的分布在渐进分布中的贡献具有正比于的系数。

对Monte

Carlo计算来说，如果某个集合的一个结构对所计算的结果具有的贡献，那么对的积分方程的计算将比对初始密度的方