级数的收敛性

级数的收敛性第一页，共九十六页，2022年，8月28日§1级数的收敛性第十二章数项级数第二页，共九十六页，2022年，8月28日1.计算圆的面积正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积一、问题的提出第三页，共九十六页，2022年，8月28日1.无穷级数的定义设有数列{un}:u1,u2,…,un,…,则称表达示为一个无穷级数，简称为级数.其中，un称为级数的一般项或通项.无穷级数的概念第四页，共九十六页，2022年，8月28日若级数的每一个项un均为常数，则称该级数为常数项级数；若级数的每一项均为同一个变量的函数un=un(x),则称级数为函数项级数.第五页，共九十六页，2022年，8月28日例1.

下列各式均为常数项级数第六页，共九十六页，2022年，8月28日例2.

下列各式均为函数项级数第七页，共九十六页，2022年，8月28日2.级数的敛散性定义无穷级数的前n项之和：称为级数的部分和.若存在，则称级数收敛，S称为级数的和：第八页，共九十六页，2022年，8月28日若不存在(包括为)，则称级数发散.第九页，共九十六页，2022年，8月28日观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推播放第十页，共九十六页，2022年，8月28日观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第十一页，共九十六页，2022年，8月28日观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第十二页，共九十六页，2022年，8月28日观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第十三页，共九十六页，2022年，8月28日观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第十四页，共九十六页，2022年，8月28日观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第十五页，共九十六页，2022年，8月28日观察雪花分形过程第一次分叉：依次类推第十六页，共九十六页，2022年，8月28日周长为面积为第次分叉：第十七页，共九十六页，2022年，8月28日于是有结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．第十八页，共九十六页，2022年，8月28日例3.

讨论等比级数的敛散性.解：等比级数的部分和为：当公比|r|<1时，即第十九页，共九十六页，2022年，8月28日当公比|r|>1时，当公比r=1时，当公比r=1时，Sn=a,n为奇数0,n为偶数,故不存在.

综上所述，当公比|r|<1时,等比级数收敛；当公比|r|1时，等比级数发散.第二十页，共九十六页，2022年，8月28日例4.

讨论级数的敛散性.解：第二十一页，共九十六页，2022年，8月28日而故，即该级数收敛.第二十二页，共九十六页，2022年，8月28日3.收敛级数的余项收敛级数称为收敛级数的余项，记为的和S与其部分和Sn的差SSn显然第二十三页，共九十六页，2022年，8月28日二、级数收敛的必要条件定理：若级数收敛，则必有证设第二十四页，共九十六页，2022年，8月28日例5.

判别的敛散性.解：由于故该级数发散.第二十五页，共九十六页，2022年，8月28日例6.

证明调和级数是发散的.证

调和级数的部分和有：第二十六页，共九十六页，2022年，8月28日第二十七页，共九十六页，2022年，8月28日由数学归纳法，得

k=0,1,2,而故不存在，即调和级数发散.第二十八页，共九十六页，2022年，8月28日若c0为常数，则有相同的敛散性，且三、无穷级数的性质性质1第二十九页，共九十六页，2022年，8月28日证的部分和为的部分和为故从而同时收敛或同时发散.第三十页，共九十六页，2022年，8月28日若其和分别为S1和S2，则级数且性质2第三十一页，共九十六页，2022年，8月28日证的部分和为：故第三十二页，共九十六页，2022年，8月28日即级数收敛，且第三十三页，共九十六页，2022年，8月28日例7.

因为等比级数所以级数第三十四页，共九十六页，2022年，8月28日例8.

问题(1)一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？答：是发散的.问题(2)两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？答：不一定.第三十五页，共九十六页，2022年，8月28日

在一个级数的前面加上或者去掉有限项后，所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.(但对收敛级数来说，它的和将改变.)性质3第三十六页，共九十六页，2022年，8月28日证

设级数的部分和为Sn,去掉级数的前面m项后得到的级数的部分和为S'k:第三十七页，共九十六页，2022年，8月28日由于Sm当m固定时为一常数，所以故级数与级数第三十八页，共九十六页，2022年，8月28日

对收敛的级数加括号后所得到的新级数仍然收敛，且其和不变.性质4第三十九页，共九十六页，2022年，8月28日例9.

考虑一下几个问题：(1)收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？答：不一定.(2)发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？答：不一定发散.(3)如果加括号后的级数仍发散，原级数是否也发散？答：原级数也发散.第四十页，共九十六页，2022年，8月28日证明四、级数收敛的必要条件：第四十一页，共九十六页，2022年，8月28日注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.第四十二页，共九十六页，2022年，8月28日讨论第四十三页，共九十六页，2022年，8月28日8项4项2项2项项由性质4推论,调和级数发散.第四十四页，共九十六页，2022年，8月28日五、小结常数项级数的基本概念基本审敛法第四十五页，共九十六页，2022年，8月28日思考题第四十六页，共九十六页，2022年，8月28日思考题解答能．由柯西审敛原理即知．第四十七页，共九十六页，2022年，8月28日练习题第四十八页，共九十六页，2022年，8月28日第四十九页，共九十六页，2022年，8月28日练习题答案第五十页，共九十六页，2022年，8月28日§2正项级数第十二章数项级数第五十一页，共九十六页，2022年，8月28日正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:定理部分和数列为单调增加数列.第五十二页，共九十六页，2022年，8月28日证明即部分和数列有界3.比较审敛法第五十三页，共九十六页，2022年，8月28日不是有界数列定理证毕.比较审敛法的不便:须有参考级数.第五十四页，共九十六页，2022年，8月28日解由图可知第五十五页，共九十六页，2022年，8月28日重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.第五十六页，共九十六页，2022年，8月28日证明第五十七页，共九十六页，2022年，8月28日4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;第五十八页，共九十六页，2022年，8月28日证明由比较审敛法的推论,得证.第五十九页，共九十六页，2022年，8月28日第六十页，共九十六页，2022年，8月28日解原级数发散.故原级数收敛.第六十一页，共九十六页，2022年，8月28日证明第六十二页，共九十六页，2022年，8月28日收敛发散第六十三页，共九十六页，2022年，8月28日比值审敛法的优点:不必找参考级数.两点注意:第六十四页，共九十六页，2022年，8月28日第六十五页，共九十六页，2022年，8月28日解第六十六页，共九十六页，2022年，8月28日比值审敛法失效,改用比较审敛法第六十七页，共九十六页，2022年，8月28日级数收敛.第六十八页，共九十六页，2022年，8月28日思考题第六十九页，共九十六页，2022年，8月28日思考题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.例如：收敛,发散.第七十页，共九十六页，2022年，8月28日练习题第七十一页，共九十六页，2022年，8月28日第七十二页，共九十六页，2022年，8月28日练习题答案第七十三页，共九十六页，2022年，8月28日§3一般项级数第十二章数项级数第七十四页，共九十六页，2022年，8月28日任意项级数的敛散性1.交错级数及其敛散性交错级数是各项正负相间的一种级数，它的一般形式为或其中，un0(n=1,2,…)第七十五页，共九十六页，2022年，8月28日定理(莱布尼兹判别法)若交错级数满足条件(1)(2)unun+1(n=1,2,…)

则交错级数收敛，且其和S的值小于u1.(级数收敛的必要条件)第七十六页，共九十六页，2022年，8月28日证只需证明级数部分和Sn当n时的极限存在.1)取交错级前2m项之和由条件(2)：unun+1，un0,得S2m以及由极限存在准则：第七十七页，共九十六页，2022年，8月28日2)取交错级数的前2m+1项之和由条件1):综上所述，有第七十八页，共九十六页，2022年，8月28日例1.讨论级数的敛散性.解：这是一个交错级数，又由莱布尼兹判别法，该级数是收敛.第七十九页，共九十六页，2022年，8月28日例2.判别级数的敛散性.解：这是一个交错级数，又令x[2,+)，则x[2,+)，故f(x)[2,+)，即有unun+1成立，由莱布尼兹判别法，该级数收敛.第八十页，共九十六页，2022年，8月28日解原级数收敛.第八十一页，共九十六页，2022年，8月28日2.任意项级数及其敛散性(1)级数的绝对敛和条件收敛定义：若级数对收敛的；若级数但级数第八十二页，共九十六页，2022年，8月28日定理：若(即绝对收敛的级数必定收敛)证：un|un|从而第八十三页，共九十六页，2022年，8月28日上定理的作用：任意项级数正项级数第八十四页，共九十六页，2022年，8月28日解故由定理知原级数绝对收敛.第八十五页，共九十六页，2022年，8月28日定理(达朗贝尔判别法)设有级数若(1)<1时,级数绝对收敛；(2)>1(包括=)时，级数发散；(3)=1时，不能由此断定级数的敛散性.第八十六页，共九十六页，2022年，8月28日例5.判别级数的敛散性.解：由P一级数的敛散性，即原级数绝对收敛.第八十七页，共九十六页，2022年，8月28日例6.判别的敛散性，其中，x1为常数.解：记第八十八页，共九十六页，2022年，8月28日当|x|<1时，=|x|<1,原级数绝对收敛.当|x|>1时，=1,此时不能判断其敛散性.由达朗贝尔判别法：但|x|>1时，从而，原级数发散.第八十九页，共九十六页，2022年，8月28日例6.级数是否绝对收敛?解：由调和级数的发散性可知，故发散.但原级数是一个收敛的交错级数：故原级数是条件收敛，不是绝对收敛的.第九十页，共九十六页，2022年，8月28日(2)绝对收敛级数的性质性质1.任意交换绝对敛级数中各项的位置，其敛散性不变，其和也不变.

性质2.两个绝对收敛的级数的积仍是一个绝对收敛的级数，且其和等于原来两个级数的和之积.第九十一页，共九十六页，2022年，8月28日(3)任意项级数敛散性的一个判别法定理(迪利赫勒判别法)设有级数任意的n1,有unun+1,且又n=1,2,…,M>0为与n无关的常数，则级数若对收敛.第九十二页，共九十六页，2022年，8月28日例8.判别级数的敛散性,其中,x2k,