第四讲插值与拟合

第四讲插值与拟合第一页，共二十三页，2022年，8月28日则插值公式化为余项化为第二页，共二十三页，2022年，8月28日称为Newton向前插值公式。插值余项为此公式适于求x位于数据表表头的函数近似值。第三页，共二十三页，2022年，8月28日优点：结构简单，容易计算；次数每升高一次，只要在原公式中增添一项即可。例如：解题步骤：1.构造差分表，取表中第一条斜线上方的部分。2.计算系数：3.根据公式，写出插值多项式。第四页，共二十三页，2022年，8月28日例题解.-0.1451117-0.1646838-0.1735836-0.1714563-0.0195721-0.00889980.0021273-0.01067230.01102710.0003548第五页，共二十三页，2022年，8月28日第六页，共二十三页，2022年，8月28日2.Newton向后插值公式设第七页，共二十三页，2022年，8月28日称为Newton向后插值公式。该式适于求x位于数据表表尾的函数近似值。插值余项为第八页，共二十三页，2022年，8月28日例题解-0.1451117-0.1646838-0.1735836-0.1714563-0.0195721-0.00889980.0021273-0.01067230.01102710.0003548第九页，共二十三页，2022年，8月28日t=-2/3

如果用相同的节点对同一点进行插值，则向前、向后两种公式只是形式上的差别，计算结果相同。练习：82页例4第十页，共二十三页，2022年，8月28日

4.5分段线性插值一、问题分析n+1个节点的n次插值多项式的余项公式确定？？第十一页，共二十三页，2022年，8月28日例1.并作图比较.解:第十二页，共二十三页，2022年，8月28日不同次数的Lagrange插值多项式的比较图Runge现象第十三页，共二十三页，2022年，8月28日结果表明,并不是插值多项式的次数越高,插值效果越好,精度也不一定是随次数的提高而升高,这种现象在上个世纪初由Runge发现,故称为Runge现象.Faber定理：对[a,b]：上任意给定的三角阵：总存在定义在[a,b]上的连续函数f(x)：使得由三角阵中任一行元素为插值节点所生成的n阶拉格朗日插值多项式不能收敛到f(x).第十四页，共二十三页，2022年，8月28日二、分段线性插值由于增加插值节点并不能保证插值精度的的提高，我们引进分段线性插值的概念：设在区间[a,b]上，给定n+1个插值节点第十五页，共二十三页，2022年，8月28日构造该区间上的Lagrange线性插值，得如何构造？

第十六页，共二十三页，2022年，8月28日考虑第十七页，共二十三页，2022年，8月28日由此可见，下面的函数是满足要求的第十八页，共二十三页，2022年，8月28日内插外插外插第十九页，共二十三页，2022年，8月28日也称折线插值,如右图。曲线的光滑性较差在节点处有尖点但如果增加节点的数量减小步长,会改善插值效果特点：构造简单第二十页，共二十三页，2022年，8月28日n次Lagrange插值多项式的余项为2.分段线性插值的误差估计第二十一页，共二十三页，2022年，8月28日例