高等数学同济第七版第三章课后习题答案解析

第三章

微分中值定理与导数的应用

习题3-微分中值定理

值1.验证罗尔定理对函数V=Insinx在区间［专.旬上的正确性.

证函数/⑺=lnsinx在隋，铝上连续,在信用内可导，又

Ai)=lnsi"f=>"y.AT)=,nsinT=lnT*

即L=4>)，故/(为在［/引上满足罗尔定理条件，由罗尔定理知至少存在

一点•).(</'(《)=0.又/(x)=?=col令/(x)=0得x=nk+3

\oo/sinx2

In=0.±1.±2.…).取n=0,得f=1eC.因此罗尔定理对函数y=Insin*在

区间［*.言］L是正确的.

Ea2.验证拉格朗日中值定理时函数>=4/-5/+X-2在区间［0,1］上的正确性.

证函数/(*)=4/-5/+工-2在区间10,1】上连续，在(0,1)内可导，故/(*)

在P.1上满足拉格朗日中值定理条件,从而至少存在一点fw(0.1),使

/«)

又,由/'(f)=12f2-10f+1=0可知f='±［"3e(0」),因此拉格朗日中值定理对

函数>=4/-5/+x-2在区间［0,1j上是正确的.

值3.对函数/(工)=sir>x及F(x)=x+cosx在区间［0上验证柯西中值定理的正

确性.

证函数/(*)=sinx,F(x)=x+cosx在区叫(),日上连续，在(0,朗内可导，

且在(0,"内产(x)=I-sin工#0,故/(x)、F(x)满足柯西中值定理条件，从而至

少存在一点门(0,引,使

88一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

《亍)-/(0)_/,(6)

F0-F(0)

由

I-0_cosf

IT.1-sing,

T-1

cosy+sin彳a&_4_

即------------=三;，可得tan彳=----.所以.£=2nir+2arctan------.ill题设，

cos与-sin与221r宣

取〃=0,得品=2arclan---因故品=2arclan(---je(°，：)•因

此•柯西中值定理对/(x)=sinx,F(x)=.t+cosi在区间［0.；］I：是正确的.

a4.试证明对函数尸px2+的+「应用拉格朗口中值定理时所求得的点f总是位于区

间的正中间.

证任取数值〃》,不妨设“<鼠函数/(')=p”+"+r在区间］明从上连续.

在(a5)内可导.故由拉格朗H中值定理知至少存在•点fw(明人，使

/(〃)-/(«)

即pM+qb+r-pa?-qa-r=(2吒+q)(b-a).经整理得f=与发.即所求得的f总

是位于区间的正中间.

值5.不用求出函数/(x)=(x-I)(x-2)(、-3)(x-4)的导数,说明方

程/•'(#)=0有几个实根，并指出它们所在的区间.

解函数/(4)分别在［1.2］」2在］,［3,4］上连续，分别在(1.2).(2,3).(3.4)

内可导•且/⑴=〃2)=/(3)=/(4)=0,由罗尔定理知至少存在占£(1・2)&£(2.3).

«£(3,4).使

/'(fl)=/'(&)=/'(/)=。・

即方程/'(X)=0至少有三个实根,乂方程/'(X)=0为三次方程.故它至多疔.个实银,因

此方程/'(，)=0有且仅有三个实根，它们分别位于区间(1,2).(2.3),(3.4)内.

团6.证明恒等式：arcsinx+ar<-<-osx=：(-IWKWI).

证取函数/(4)=arcsinx+arccosx,.ve［-I.I.14

故/(4)mC.取，=。，得/(。)=C=］.因此

第三章微分中值定理与导数的应用89

arcsinx+arccosx=—,xe[-1,1].

tii7.若方程+a/"-'+•••+a„.jX=0右一个正根x=*(>,证明方程aonx"~'+a!

(0-l)x"T+…+a“_|=0必有一个小于X。的正根.

1

证取函数/(x)=aox"+UjX"-+…+a”_产./(x)在[(),%]上连续,在(0,x())

内可导，且/(0)=/(沏)=0,由罗尔定理知至少存在一点£e(0,如)，使/'(，)=0,即

2

方程aon***'+<i1(n-I)x"+…+a._।=0必有一个小于％的正根.

值8.若函数/(X)在(a.6)内具有二阶导数.且/(A)=/(x2)=/(打)，其中

a<*1<*2<盯<b.证明:在(X|,巧)内至少有一点人使得/"(§)=0.

证根据题意知函数/(#)在函1,出],[X2#3〕上连续，在(航，叼)，(*2，叼)内可

存且/(A)=/(X,)=/(Xj)，故由罗尔定理知至少存在点-e("2)益e(*2),使

/'(G=/'(&)=o.

乂/'(x)在却上连续.在(A,&)内可导.故由罗尔定理知至少存在点

f6(却.八)<=(町，打)使/"")=0.

29.设a>/，>0,">I,证明：

<«"-6"-6).

证取函数/(x)=工"./(X)在M.a上连续.在()内可导.111拉格朗日中值

定理知,至少存在一点fe(鼠a),使

f(a)-/(*)

即a"-6"=nf"*1(a-h).乂0<>1.故

0<A"-1<f"-'

因此

nb"-'(a-b)<n^"-'(a-6)<na"-'(a-h),

即nt"-'(a-6)<a"-fc"<nan(a-h).

&10设a>6>0.证明:

证取函数/(x)=lnxj(z)在",“］上连续，在(6,a)内可导，由拉格朗日中值

定理知，至少存在一点fw(6,a),使

即Ina-Inb='-(«-b).乂故因此

C«fl>

a-l>a-ba-b

-------<-z<~~：-一,

证明F列不等式:

90一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

(1)Iarrlana-arctan/>IIa-61；

(2)当4>1时.<?>e-x.

证(1)当。二分时，显然成立.当aW6时，取函数/(x):arclanx./(x)在a,6

或［6,〃］上连续，在(a,〃)或(b,a)内可导，由拉格朗日中值定理知，至少存在一点

fe(a.b)或(6,a),使

/(«)>/(6)=/'(5)("-6),

即airtana-arctanb=-~~(a-6).故

Iarctana-arctanbI=------1a-blWIa-bl.

1+，2

(2)取函数/(，)=/./(，)在［1,工)上连续.在(1.x)内可导.由拉格朗H中值定

理知，至少存在一点fe(1.*),使

/(x)-/(I)=/'(f)(x-l).

即e*-e=e，(:r-l).又.1<£<*,故e，>e.因此

e*-e>e(x-1),

即/>刀・e.

Si12.证明方程*s+x-l=0只有一个正根.

证取函数/(*)=/+X-1JU)在［0,1］上连续，

/(0)=-I<0,/(I)=1>0.

由零点定理知,至少存在点盯e(0,1).使/")=0.即方程.一+.r-I=0在(0.1)内

至少有一个正根.

若方程X'+X-I=0还仃一个正根*2,即/(*2)=0,则由/(X)=V5+»-I在

01,*2卜或［盯山］)上连续,在(A,*2)(或(打间))内可导.知/(*)满足罗尔定理

条件.故至少存在点fe(工|/2)(或(打，,))，使

/'⑷=0.

但/，")=5尸+1>0,矛盾.因此方程/+X-1=0只有一个正根.

国13.设/(*)*(*)在［".6］上连续，在(a.b)内可导.证明在(*6)内有一点「使

/(")/(〃)、/(。)Z,(f)

=(ZJb-a).

«(")g(b)g(a)«'(f)

证取函数F(x)="",由/(x),g(x)在［〃,川上连续.在(。J)内

g(a)g(x)

可导知F(i)在［。㈤上连续，在(。5)内可导，由拉格朗日中值定理知,至少存在一

点C("5).使F(6)-F(fl)=r(f)(6-a).BP

/(«)f(b)/(«)/(")

尸⑷==0.

g(«)g(b)号(=)g(。)

o/(x)/(«)/'(x)_/(a)/'(A)

r(x)

()A(.c)g(a)K'(X)«(")*'(X)

第三章微分中值定理与导数的应用91

故

/(a)f(b)f(a)/'(f),,、

g(a)g(b)g(a)禺'")

值14.证明：若函数/(x)在(-8,+8)内满足关系式/'(*)=/(%),且/(0)=1,则

f(x)=eM.

证取函数F(x)=3,因

e

/⑺_/'(，)/-/(x)e*-f(x)=0

故F(x)=C.又广(0)=C=/(0)=1,因此尸(x)=11.故/(x)=e*.

值75.设函数)=/(、)在x=0的某邻域内具有〃阶导数，且/(0)=/r(0);…

/"一)(())=0.试用柯西中值定理证明：

X

证已知/(X)在*=0的某邻域内具有n阶导数，在该邻域内任取点x,由柯西

中值定理得

/(x)/(x)-/(0)(如)

丁一x"-0""'唱一

其中占介于0.工之间.乂

/'(一)/"(后)

喈丁'-n(f；*'"n(n-Df；'2'

其中分介于(),却之间.依此类推.得

"一”工…)尸7(品"

n!f.-l-»!(f.-i-0)""!

其中品介于0t之间，记2=M0<"I),因此

&1用洛必达法则求卜列极限：

(4)

92一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

..Insinxr—n

hm------------------T;(6)lim:---------------(«#0)；

2

TT-2x)•"xn-an

Intan7xtanx

(7)物而m(8)lim

tan3x

•«arccotx

(II)limxcol2x；

i«0

(15)limx*in*；

sin3x..3cos3x3

(4)limr=hm--------------=-—

•♦,Ian5x••«5sec*5x5

Insinx

(5)lim-=-lim、.

,T(ir-2x)IT-2x)・(-2).q4(“-2x)

-escx

-8

mm

x..mx

(6)lim——=hm--------

•-nxn

-------—•sec'lx-7

lunlxsec~7a7

(7)hm-------：---------------

———secfc2.r-2

Ian2x

2xsec27x7,

=Inn—•；—,—=1.

•-o7.rsec*2x2

22

..tanxs»rccv.Arcos3A-6ros3xsin3.v

lim--------hm--------------=bin、=hm

，.泮n3x…x3se<53x.."Jcos"x.-Orosxsinx

..cos3x-3sin3x,

=-Inn------------=-hm----------；--------=3.

cosx一乜-smx

94一、《高等数学》（第七版）上册习题全解

注在用洛必达法则求极限时,除了注意用洛必达法则对极限类型等的要求以

外，还要注意求极限的过程中合理地应用欢要极限、等价无穷小、初等变换等方法.

以使运算过程更快捷、简洁.

E2.验证极限lim上口存在.但不能用洛必达法则得出.

•X

证由于lim"；叱=lim"：丝■，不存在.故不能使用洛必达法则来求此极

限,但并不表明此极限不存在.此极限可用以下方法求得：

Hl3.验证极限linv.-土存在,但不能用洛必达法则得出.

••<>sinx

I.*\c•I•

Ix'sm——IZxsm-------cos——

证由于limg=lim------------------------L不存在.故不能使用洛必达法则

•«o(sinx)cosx

来求此极限,但可用以下方法求此极限：

2-1

xsin—

lim——；-----=liinf-7^—,xsin\=lim-；X-,limxsin—=I*0=0.

…0sinx•\sinxx］isinx1x

图・4.讨论函数

Ie—,xWO

在点x=0处的连续性.

r(|,呷［三二］

解lim/-(.t)=lim_—=e

>-.0x…ej

而

第三章微分中值定理与导数的应用95

=lim-r77^----r=-，

・句2(1+4)2

故

又

limx)=lime-f=c'T♦/(0)=e"7.

t-0•«-«0,

因为［电/(*)=［中/(x)=/(0),故函数/(x)在x=0处连续.

泰勒公式

按(x-4)的幕展开多项式/(外=/-5/+/-3….

解因为

/'(X)=4/-15/+2x=12/-30x+2,

J'"(x)=24X-30,/4,(X)=24./">(1)=0(n>5).

/(4)=-56./'(4)=21J"(4)=74,(4)=66./4,(4)=24.

故

x4-5x3+x:-3x+4

，(J4)(一

=/(4)+/4)(x-4)-CL±LX_2+^yp(x-4)+尸：；4)

+(4)

=-56+21(X-4)+37(X-4)2+11(X-4)3+(X-4)\

22.应用麦克劳林公式，按X的器展开函数/(%)=(/-3#+l)3.

解f(x)=x6-9/+30/-45/+30/-9x+1,/(0)=1,

5

/'(*)=6x-45/+120/-135/+60*_9//(0)=-9,

f"(x)=30/-l80xJ+360/-270*+60./"(0)=60,

f(x)=120/-540/+720X-270,/"(«)=-270.

/4,(x)=360/-)080x+720,/4,(0)=720,

/5,(x)=720x-I080./51(0)=-I080,

/6,(x)=720./6,(0)=720,

/n,(x)=0("27),

故

（x2-3M+1）,

=/（0）+/"），+等2+攀;娱，+竽/+瞥J

=1-9x+30/-45/+30J-9/+x6.

为3.求函数/（工）=〃按（x-4）的解展开的带行拉格朗H余项的3阶泰勒公式.

一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

解因为/(X)=6/'(4)4・、，(兀)=:N七

248

/4,(x)=_掺/7(4)=2,/'(4)=；./-(4)=_1广(4)=袅

10432ZJO

故

4=/(4)+((4)(M-4)+管(*-4/+,学(工-4/+^1^(x-4)4

2315

=2+4-(X-4)-±(X-4)+-1Z(X-4)(x-4)

404312384f7?

其中f介于无与4之间.

普4.求函数/(#)=lnx按(x-2)的藏展开的带右佩亚诺余项的n阶泰勒公式.

解因为

.七)=(一)?,«二.⑵二㈢守3.

故

2

Inx=/(2)+/'(2)(x-2)+£^(,-2)+^P*(x-2)3+…+

经”(x-2)”+o[(x-2)-]

几！

23

=ln2+^-(x-2)-±(X-2)+^(X-2)+-+

(-l)*-1-(x-2)»+o[(x-2)"].

n・2"

&5求函数/(x)=■!-按(x+1)的居展开的带有拉格朗H余项的n阶泰勒公式.

X

解因为

故

-=/(-1)+/'(-1)(—1)++/'\])(一1尸+…+

x2!3!

尸)(])“+a-

nJ(n+1)!

=-[]+(-])+(-1)2…)(-i)z

其中f介于“与-I之间.

26.求函数/(1)=lan]的带右做亚诺余项的3阶麦克劳林公式.

解因为

/(x)=tanx,f'(x)=sec2.t,/**(x)=2sec2.vtanx.

第三章微分中值定理与导数的应用97

/**(x)=4sec2xtan2x+2sec4x,

/4)(x)=8srr".ilan3x+8sec4xtanx+8se<?4xtanx

-8sec2.rtan3.r+!6sec4xtanx

8(sin2x+2)sinx

二COS5X，

/(0)=0/(0)="(0)=0/(0)=2,

J

故/(x)+—+o(x3).

47.求函数/(*)=*/的带右佩比诺余项的〃阶麦克劳林公式.

解因为/(')=趾"/")(')=(〃+工)/(见习题2-3,11(4))，")(0)=：〃,故

xe*=/(0)+/，(0)x+#(0)/+…+#)(0)/+。(”)

28.验证当OvxW!时.按公式e，=l+x+《+!计算e”的近似值时，所产生的误

LLo

差小于0.01,并求，的近似值,使误差小于0.01.

证设/(*)=e*,则，”(0)=1,故/(x)=e"的三阶麦克劳林公式为

e*=l+x+苏+,+方,其中《介于0与x之间.按e，=1+x+》+1计算十的

近似值时.其误差为

"(x)l=*/.

4!

当0<彳这~^~时.0<f,I&(#)IW丁!(；)85so.0045<0.01,

^,+T+T(T)+T(T)，e!!L645-

&9.应用三阶泰勒公式求卜列各数的近似值，并估计误差：

(1)沟；(2)sin18°.

解(】)因为

/(X)=力+4=(1+X)工

।T(T-')2-A)(卜2)

32!3!

一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

其中f介于。与X之间.故

沏=万。=3jlTg3[1+}.9TH2+*(")'卜3.10724.

误差

《介于0与9之间，即0<f4,因此

1«31=[渭7T1=1.88x10-，.

3sin(g+^-F)

(2)已知sin->&(*)='5「"W介于。与舌之间，故

sin18」咤飞-昂司=0.3090.

旧小围；2.55x109

sin/f+—IT）

注利用小（x）='4!卜可得误差1%1士士信

I.3x10-4.

10.利用泰勒公式求下列极限:

(1)Hm()/+3/-/，-2-)；

解（1）lim（万+3---2/）

第三章微分中值定理与导数的应用99

(2)lim.

+ln(l-x)]

/X42

+o(x4)

•，)-"~2~2

=linr

1-0

x4+o(x4)12+-7

4!8-111

=lim

i0T

y*4+。(“4)_L。(/)

2X42

1+-yX27、+/

(3)lim

t1211

1+TX1+~2X

lim

1-X>I

1-yx2+o(x2)-1-x2+o(x2)l[x2+o(x2)]

&1判定函数/(x)=arctanx-x的单调性.

解/'(，)=丁‘三-1=-7JwO且/'(x)=0仅在，=0时成立.因此函数

I+YI+4”

/(x)=arctanx7在(-oo,+8)内唯训|减少.

&2.判定函数/(I)=4+C<)84的单调性.

100一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

解/'(4)=1-sinxNO,且当4=2mr+y-(n=0,±1.±2,…)时,/'(x)=0.nf

以看出在(-8,+8)的任•有限子区间上，使/'(x)=0的点只有有限个.因此函

数八X)=4+COSX在(-8,+8)内单调增加.

&3.确定下列函数的单调区间：

Q

(1)y=2/-6x2-18*-7；)=2x+—(x>0)；

(2yX

(4)y=ln(x+/1+r

(5)y=(x-l)(x+l)3；(6)y=/(2x-a)(a-x)2(a>0)；

(7)y=x"e',(〃>0,xN0)；(8)y=x+Isin2x1.

解(1)函数的定义域为(-8,+8),在(-8.+8)内可林，且

y*=6x~-12x-18=6(.r-3)(.r+l).

令>'=0.得驻点X,=-1,叼=3.这两个驻点把(-8,+8)分成三个部分区间

(-8,-]]<-1,3]」3,+8).

当-8<X<-1及3<X<+8时因此函数在(-X.-I'.3,+8)上

单调增加；当-I<工<3时，<0.因此函数在[-1,3上单调减少.

(2)函数的定义域为(0,+8),在(0,+8)内可导.且

刍2.?-82(x-2)(.14-2)

令y'=0.得驻点勺=-2(舍去)..=2.它把(0.+8)分成两个部分区间(0.2],

[2.+8).

当0<x<2时，>'<0,因此函数在(0.2]上单调减少：当2<]<+8时./>0.因

此函数在[2,+8)上单调增加.

(3)函数除*=0外处处可导,且

(4.F-91+6.*尸

令>'=0,得驻点A=9,2=1.这两个驻点把区间(-8.0)及(0.+8)分成四个

部分区间(-8.0),(0.y].[y.l],[l,+x).

当-8<X<0.0<X<-^-,l<X<+8时.,，<0.因此函数在(-8.0).(O.g].

[1,+8)内单调戒少；:<X<1时,、’>0,因此南敢住[\上单阀增加.

(4)函数住(-8.+8)内可导.fI

第三章微分中值定理与导数的应用101

因此函数在(-8,+8)内单调增加.

(5)函数在(-8.+3C)内可导.且

<=(4+1)3-3(X+I)2

=(X+1)2(4X-2)=4(x+I)2卜

令>'=0.得驻点=-I,X2=T■，这两个驻点把区间(-8,+8)分成三个部

分区间(-8,-1],[-l.y]&[y,+x).

当-H<X<-1及-1时，>’<0.因此函数在(-x,上单调减少；当

1<X<+8时,<>0,因此函数在(，+8)上单调增加.

,on,x

(6)函数在A=y.x2="处不可导且在(-8.T)1(■y),<+)内可

3y/(2x-a)2(a-x)

令>'=0.得驻点打吟,这个驻点及》，叼="把区间(-8,+8)分成四

个部分区间(-8.UJ"^'，"!""卜[,[a,+*).

当-/<x<■及]Vx<y«,a<x<+8时>0.因此函数在(-8,y«j,

[«,+8)上唯调增加；当与<…时,>'<0,因此函数在信明“上单调减少.

(7)函数在；0.+8)内可导,且

y'=nx"-,e*,-x"e-M=x"-'e**(n-x).

令y'=().得驻点A=，，,这个驻点把区间10,+8)分成两个部分区间+8).

当0<x<"时，<>0,因此函数在10,,“上单调增加；当a<x<+8时，<0,

因此函数在"，+»)上单调减少.

(8)函数的定义域为(-8,+8),且

IT

x+sin2x,〃IT这人近〃TT+-,

y-~(〃=0.±I,±2.…)，

TT一，..

x-sin2x.“IT+»<2W(n+1)p

102一、《高等数学》(第七版)上册习题全解

ir

1+2cos2x.n-rr<x<nir+—,

Y<(n=0.±I,±2,…).

1-2cos2x,«IT+—<x<(n+l)7r

令y'=o,得驻点x=■及*=•+冷按照这些驻点将区间(-B.+8)分成

3o

下列部分区间

［nir.mr+-y］JHIT+-yjnr+-yj.piir+-y,/nr+葛］，［〃宣+费•(〃+I)irj

(n=0,±1,±2,•••).

当〃ITJ<fl1T+方•时，>'>0,因此函数在|〃TT,〃宣+"上单调增加；

当时♦>'<0•因此函数在［E+1■，〃"+T"［上单调减少；

当HIT+?<X<"宣+渺寸./>0•因此函数在［〃宣+?.〃犷+~ir］上单调增加；

当〃“+著<4((〃+1)”时.八0.因此函数在1