菱形的性质与判定

主备人：刘静备课组成员：张红玲邵文花李淑芳刘秀珍张宁慧拓晓燕常金禾教学课题1．菱形的性质与判定（一）一、教材分析本节内容是九年级上册《第一章特殊的平行四边形》第1课时，在此之前，学生已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质。在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。另外，通过七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。二、教学目标1、经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2、体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；3、在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力三、教学重、难点重点：菱形的判定方法.难点：菱形的判定方法的综合运用.四、教学方法帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，学到科学的探究方法，体验探究的乐趣，体会成功的喜悦。五、教学流程设计教学环节教学过程信息技术使用意图第一环节课前准备1、教师在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。第二环节设置情境，提出课题学生：观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。教师：同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？你认为它们有什么样的共同特征呢？学生1：图片中有八年级学过的平行四边形。教师：请同学们观察，彩图中的平行四边形与ABCD相比较，还有不同点吗？学生2：彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。教师：同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。第三环节猜想、探究与证明1、想一想①教师：菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。你能列举一些这样的性质吗？学生：菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。②教师：同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？请你与同伴交流。学生活动：分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。教师活动：教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。2、做一做教师：请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？（2）菱形中有哪些相等的线段？学生活动：分小组折纸探索教师的问题答案。组长组织，并汇总结果。教师活动：教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。师生结论：①菱形是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。②菱形的四条边相等。3、证明菱形性质图1-1图1-1（教师：展示题目）已知：如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.求证：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.师生共析：①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了。②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。学生：写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理。证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形又∵四边形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD教师：展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。第四环节性质应用与巩固教师：通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题。教师活动：展示题目1、例1如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。师生共析：①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD,BD=6，菱形的边长也是6。②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC。2、随堂练习如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.已知AB=5cm，AO=4cm求BD的长.师生共析：从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角△AOB，因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，BD为OB的两倍，这样就可以很方便的求出BD的数值了。解：∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2∴∵四边形ABCD是菱形∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）所以，BD的长是6cm.第五环节课堂小结1、菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形.2、菱形的性质：①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。第六环节布置作业:课本习题知识技能1、2、3数学理解4六、教学反思

教学课题1.菱形的性质与判定（二）一、教材分析本节内容是九年级上册《第一章特殊的平行四边形》第2课时，上节课，学生已经经历了独立探索发现菱形性质的过程，通过折纸等活动学生体会了“实验—猜想—证明—应用”的科学探索过程，认识了菱形与平行四边形的关系，这些都为本节课进一步探索发现相关定理提供了较好的知识基础和活动经验基础。二、教学目标1．知识目标：理解菱形的判别条件及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题。2．能力目标：（1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）经历实际操作，探索菱形判定定理的证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力；（3）在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。3．情感与价值观（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．（2）通过“实验—猜想—证明—应用“的数学活动提升科学素养三、教学重、难点重点：菱形判定定理的证明.（2）菱形判定定理的应用.难点:学生独立完成证明的过程，增强学生对待科学的严谨治学态度。四、教学方法引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现菱形的性质及判别方法，并对这些发现进行了严格的推理证明。在探究过程中倡导学生进行合作学习。五、教学流程设计教学环节教学过程信息技术使用意图课前准备活动内容：制作菱形1．在一张纸上用尺规作图做出边长为10cm的菱形；2．想办法用一张长方形纸剪折出一个菱形.3．利用长方形纸你还能想到哪些制作菱形的方法.温故知新复习上节课探究过的菱形的性质展示交流，引导探究利用实物投影或者课件，请学生说明自己制作的菱形的过程，教师从中抓住“对角线垂直的平行四边形是菱形”、“四条边相等的四边形是菱形(菱形的尺规作图)”和“利用长方形纸剪折菱形”等的实例资源，引导学生认识到理论证明的必要性，并引导学生思考菱形的判定与菱形的性质之间的关系。用实物投影、课件、板书等方式罗列发现的学生资源:（1）对角线垂直的平行四边形是菱形（2）四条边相等的四边形是菱形请学生交流大体思路（3）菱形的尺规作图（4）利用长方形纸剪折菱形活动注意事项：（1）在学生的展示过程中教师要能及时扑捉学生资源;（2）展示交流时，应当鼓励学生提出自己的意见，鼓励学生多提“为什么”,鼓励学生质疑，从而使学生认识到证明的必要性。（3）如果学生资源不足，教师可以运用课件展示教材上的课例。教师引导，独立证明组织学生以小组合作的方式独立完成“对角线垂直的平行四边形是菱形”和“四条边相等的四边形是菱形”两个判定定理的证明，并进行全班交流。（一）对角线垂直的平行四边形是菱形已知:如图1-3,在□ABCD中,对角线AC与BD交于点O,AC⊥BD.求证:□ABCD是菱形证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴OA=OC又∵AC⊥BD∴BD是线段AC的垂直平分线∴BA=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)（二）四条边相等的四边形是菱形已知:如图1-5,四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求证:四边形ABCD是菱形证明:∵AB=CD,AD=BC∴四边形ABCD是平行四边形又∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形(菱形定义)实际应用，练习巩固小组合作完成教材中的两个习题1.画一个菱形,使它的两条对角线长分别是4cm、6cm.2.已知:如图,在□ABCD中,对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相较于点E、O、F.求证:四边形AECF是菱形课堂小结学生互相交流菱形的性质与判定定理，何时该选用性质定理，何时选择判定定理，菱形与平行四边形的关系，遇到菱形实际题目时如何分析思路，以及遇到困难时如何克服等。作业布置1.教材P8知识技能2此题要求有能力的同学分别运用本节课学习的菱形的两条判定定理进行证明.2.教材P8数学理解3六、教学反思教学课题1.菱形的性质与判定（三）一、教材分析本节内容是九年级上册《第一章特殊的平行四边形》第一节第3课时，是在学生充分经历了菱形的性质及判定的基础上进行设计的的，学生理解了菱形的概念，探索并证明了菱形的性质定理及判别方法，本节课是对菱形性质及判定的巩固，要求学生能利用性质定理及判定定理解决一些相关的问题。二、教学目标1、知识与技能目标能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法。2、过程与方法目标经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法。3、情感与态度目标在学习过程中感受数学与生活的联系，增强学生的数学应用意识；在学习过程中通过小组合作交流，培养学生的合作交流能力与数学表达能力。三、教学重、难点重点：菱形的性质定理及判定定理的综合应用及菱形面积的求法。难点：等宽纸条交叉部分为菱形的证明及菱形面积的综合应用。四、教学方法引导学生通过动手操作、小组合作等方式探究发现菱形的证明及面积的计算。五、教学流程设计教学环节教学过程信息技术使用意图第一环节：知识回顾内容：同学们通过前两节课的学习我们已经知道了菱形的性质及判定，你能完成下面几个题目吗？1.如图1所示：在菱形ABCD中，AB=6，请回答下列问题：图1(1)其余三条边AD、DC、BC的长度分别是多少？图1(2)对角线AC与BD有什么位置关系？(3)若∠ADC=120°，求AC的长。2.如图2所示：在□ABCD中添加一个条件使其成为菱形：添加方式1：.添加方式2：.第二环节：知识应用1、典型例题：图3例3如图3，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长为10cm.求：(1)对角线AC的长度；图3(2)菱形ABCD的面积.解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,即∠AED=90°，DE=BD×10=5（cm）∴在Rt△ADE中，由勾股定理可得：∴AC=2AE=2×12=24(cm).（2）S菱形ABCD=S△ABD+S△CBD=2×S△ABD=2××BD×AE=BD×AE=10×12=120(cm2).2、变式训练：如上图3，四边形ABCD是菱形，其中对角线BD长为12cm，AC长为16cm.求：(1)菱形的边长；(2)求菱形一条边上的高。3.方法启迪：同学们在我们刚才完成的例题及变式训练中你有什么方法感悟或者经验？已知，菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积是cm2.第三环节：拓展提高图51.如图4，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分ABCD是菱形吗？为什么？图5图4图42.如图5,你能用一张锐角三角形纸片ABC折出一个菱形，使∠A成为菱形一个内角吗？第四环节：效果检测1.如图6所示，菱形ABCD的周长为40cm，它的一条对角线BD长10cm，则∠ABC=°，AC=cm.2.如图7，四边形ABCD是菱形，对角线AC和BD相交于点O，AC=4cm，BD=8cm，则这个菱形的面积是

cm2．图8图6图8图6图7图73.已知，如图8，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是（）A.矩形B.菱形C.等腰梯形D.正方形4.已知：如图9，在菱形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，且BE=BF，图10求证：(1)△ADE≌CDF；(2)∠DEF=∠DFE.图10图9图95．已知：如图10，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D、E，点F在DE延长线上，且AF=CE,求证：四边形ACEF是菱形.第五环节：课堂小结通过本节课的学习你有哪些收获，你还存在什么疑问？第六环节：作业布置课本p27知识技能第3题，第4题，第8题；六、教学反思教学课题矩形的性质与判定（一）一、教材分析本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的，它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上，而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用，所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。二、教学目标1.知识与技能:掌握矩形的的定义，理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;2.过程与方法：(1)经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识；（2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点．3.情感态度与价值观：(1)培养学生严谨的推理能力，掌握几何思维方法，体会逻辑推理的思维价值。(2)通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。(3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。三、教学重、难点重点：矩形的性质定理的理解及应用。难点：矩形的性质定理的应用。四、教学方法通过观察、测量、猜想、归纳、推理的过程，完成矩形性质的探索。五、教学流程设计教学环节教学过程信息技术使用意图创设情景，导入新课1、平行四边形具有哪些性质？2、探究矩形的定义。利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考：（1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？（2）在运动过程中四边形不变的是什么？（3）在运动过程中四边形改变的是什么？不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形变：角的大小（4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形）矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形

分组讨论，探究新知1.既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质？性质类别边角对角线对称性矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分中心对称图形2.矩形是特殊的平行四边形，它还具有一些特殊性质。下面我们来进一步研究矩形的其他性质。（1）请同学们以小组为单位，测量身边的矩形（如书本，课桌，铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数，并记录测量结果；（2）根据测量的结果，猜想结论。当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？（3）通过测量、观察和讨论，你能得到矩形的特殊性质吗？矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.层层递进，推理论证提问：怎样证明你的猜想？（教师写出定理1、2的已知、求证，请同学分析思路写出证明过程）订正完毕后，请同学说出性质的推理形式，教师板书。已知：如图,四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°对角线AC与DB相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°(2)AC=BD乘胜追击，完善性质1、请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

①矩形是不是中心对称图形?如果是，那么对称中心是什么？②矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?结论：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。2、请你总结一下矩形有哪些性质？归纳概括矩形的性质：从边来说，矩形的对边平行且相等；从角来说，矩形的四个角都是直角；从对角线来说，矩形的对角线相等且互相平分；从对称性来说，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形。3、矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(

）A.对角相等

B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分建构新知，发展问题（1）提出问题：由矩形的四个角都是直角可得几个直角三角形？在直角三角形ABC中，你能找到它的一条特殊线段吗？你能发现它有什么特殊的性质吗？你能借助于矩形加以证明吗？（2）教师板书推论及推理语言：定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半.（3）练一练已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3㎝,则AC＝_____㎝;(2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝,BD＝_____㎝.

合作交流，解决问题例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5cm证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD(矩形的对角线相等)OA=OC=AC，OB=OD=BD，∴OA=OD。∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°。又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)∴BD=2AB=2×=5.反思交流，反馈提高本节课你学到了什么？（1）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.（2）矩形的性质（3）直角三角形的性质（4）矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形；矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形。因此，有关矩形的问题往往可化为直角三角或等腰三角形的问题来解决。自我检测1、下列说法错误的是（

）．A.矩形的对角线互相平分B.

矩形的对角线相等。C.有一个角是直角的四边形是矩形D.

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2、已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为

_____。

六、教学反思

教学课题矩形的性质与判定(二)一、教材分析本节内容是学生在认识了特殊平行四边形矩形、菱形的性质基础上进行的，通过对平行四边形和菱形性质和判定的证明，学生已经有了一定的推理论证能力，掌握了独立证明特殊平行四边形性质及判定定理的基本技能；同时，在前面的相关活动中，学生已经初步了解了归纳、概括及转化等数学思想方法，大量的活动经验丰富了学生的数学思想，使学生具备了在解题中合理运用方法的能力。二、教学目标1、知识技能：能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2、过程与方法：经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3、情感态度与价值观：学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。三、教学重、难点重点：理解和掌握矩形的判定定理.难点：矩形的判定定理的应用.四、教学方法借助实验、度量的过程通过观察、归纳，推理进一步得出矩形的判定定理。五、教学流程设计教学环节教学过程信息技术使用意图创设情境，提出问题课前准备小木板和橡皮筋，制作一个如图所示的平行四边形的活动框架。在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生什么变化？先猜想再实践，发展几何直觉根据上面的实践活动提出以下两个问题：1、随着的变化，两条对角线将发生怎样的变化?2、当两条对角线相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想?教师板书本题证明过程。定理两条对角线相等的平行四边形是矩形。学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；请学生交流大体思路；用规范的数学语言写出证明过程；同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。再创情境，猜想实践李芳同学用四步画出一个四边形，“边、直角、边----直角、边----直角、边”，她说这就是一个矩形，她说的对吗？为什么？学生先猜想然后小组讨论，将讨论的结果进行证明。定理三个角是直角的四边形是矩形。学生独立画出图形，在教师引导下写出已知、求证；对比平行四边形和菱形的判定定理的证明，对已知、求证进行分析；请学生交流大体思路；用规范的数学语言写出证明过程；同学之间进行交流，找出自己还存在的问题。实际应用，范例教学；1、请说明如何进行下列操作，并说明这样做的原因。①如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是平行四边形？②如果仅有一根足够长的绳子，如何判断一个四边形是菱形？③如果仅有一