MATLAB对线性系统稳定性的分析

MATLAB对线性系统稳定性的分析摘要：本文对线性系统从时域、复域和频域进行了稳定性分析，总结了控制系统的主要判据，分析过程简单，结合实例验证了其真实性、有效性。关键词：线性系统稳定性MATLAB引言：一个控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的系统,即当系统受到外界干扰后,虽然它的平衡状态被破坏,但在外扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡状态下继续工作。在已知一个系统的系统函数或状态空间表达式时,就可以对其系统的稳定性进行分析。但当系统的阶次较高时,绘图和计算需要花费大量的时间和精力。MATLAB是一套高性能的数值计算和可视化软件,并拥有几十个工具箱,借助MATLAB的系统工具箱,就可以直观、方便地分析系统的稳定性。1、控制系统稳定性定义关于稳定性的定义有许多种，较典型的说法有两种：一种是由俄国学者李雅普诺夫首先提出的平衡状态稳定性，另一种指系统的运动稳定性。对于线线控制系统而言，这两种说法是等价的。根据李雅普诺夫稳定性理论，线性控制系统的稳定性可以定义如下：若线性控制系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称该系统为渐近稳定，简称为稳定；反之，若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间的推移而发散，则称系统为不稳定。由上述稳定性定义可以推知，线性系统稳定的充分必要条件是：闭环系统特征方程的根都具有负实部，或者说闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴）。2、系统稳定性分析方法概述在经典控制理论中，常用时域分析法、复域分析法或频率分析法来分析控制系统的性能。不同的方法有不同的适用范围，下面对上述方法进行具体研究。2.1时域分析法在经典控制理论中，时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行稳定性分析的方法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。在时域分析系统的稳定性，必须研究在输入信号作用下，当时间t趋于无穷时，系统的输出响应趋于最终期值h（∞）。显然，一个稳定的系统，其时域响应曲线必须是衰减的。2.2复域分析法在复域中进行系统稳定性分析，尤其当系统参数K的变化时，选定合适的参数范围使系统达到所需要稳定要求。有两种方法：一是直接法，即对于较易得到系统闭环传递函数的场合，直接求出系统所有闭环极点，判断是否都具有负实部来确定系统的稳定性；二是根轨迹法，利用系统开闭环传递绘制根轨迹，由线性系统稳定的充分必要条件：闭环传递函数的极点均位于左半S开平面（不包括虚轴），确定使根轨迹在左半S开平面部分时参数范围为系统稳定的区域。2.2.1直接法假设闭环传递函数为=，则其特征方程写成一般形式：(1)若n≤2，可直接求取其特征方程根（即闭环极点）来判断系统稳定性，即使（1）有待定参数，也容易求出特征方程根的一般形式，但对于求取n>3的高阶系统特征方程式的根很麻烦，所以对高阶系统一般都采用间接法来判断稳定性，在时域中常采用间接方法是代数判据（也称劳斯判据）。2.2.2根轨迹法根轨迹法是一种图解方法，这种方法是根据系统开环零、极点的分布来研究系统中可变参数变化时，系统闭环特征根的变化规律，从而研究系统的稳定性。因此，根轨迹法在控制系统的分析和设计中是一种很实用的工程方法。它的最大特点是能够很清晰地了解到闭环特征根的分布，一目了然地得出系统稳定时参数的取值范围，并且不必求出系统的闭环传递函数，适用于较复杂系统。根轨迹法的关键环节就是能够正确地绘制出系统的根轨迹，简单根轨迹可用试探法绘制，复杂根轨迹则应利用其绘制基本规则进行绘制。2.2.3频域分析法频域分析法是应用频率特性研究系统的一种经典方法，以系统的频率特性为数学模型，用bode图或其他图表作为分析工具。当系统的开环传递函数表达式不易求出，就无法应用代数判据或根轨迹法判断闭环系统的稳定性，此时应用频率稳定判据就非常方便。其前提条件就是要正确地把系统的频率特性绘制成曲线，常用的频率特性曲线大致有三种：幅相曲线（极坐标图）；bode图，也称为对数频率特性曲线；对数幅相曲线（尼科尔斯图）。曲线的绘制可根据系统的开环频率特性的表达式通过取值描点法、叠加法绘制根轨迹草图，或利用MATLAB等计算机辅助工具来实现。3、MATLAB实现系统稳定性分析3.1时域分析法判断系统的稳定性系统模型为WK(S)=，单位负反馈。利用MATLAB工具箱提供的时域响应函数，给该系统施加单位冲激，观察它的响应，分析稳定性。程序如下：程序中num为开环传递函数分子系数矩阵，den为分母系数矩阵。系统的稳定性是指系统在遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，当扰动消失后，系统自身仍有能力恢复到原来平衡状态的一种能力。从图1可以很直观地看出该系统是稳定的。图1单位冲激响应图3.2直接判定法根据稳定的充分必要条件判别线性系统的稳定性，最简单的方法是求出系统所有极点，并观察是否含有实部大于0的极点，如果有，系统则不稳定。比如,要判断系统函数的系统是否稳定,可利用MATLAB快速求出其零极点并绘出零极点的分布图,程序如下:MATLAB运行结果如下:从运行结果看,系统极点P值实部全部为负,得知极点全部位于S左半平面,可判断该系统为稳定系统。对于简单的系统函数可以通过数学运算直接求得极点来分析系统稳定性,然而实际的控制系统大部分都是高阶系统，这样就面临求解高次方程，求根工作量大但在MATLAB中只需调用den函数即可，这样就可以由得出的极点位置直接判定系统的稳定性。比如系统函数为，程序如下:MATLAB运行结果如下:图2系统零极点分布图(×表示极点,o表示零点。)从计算机结果以及零极点图2可以看出,该系统的极点并不都在s左半开平面,有一对共轭极点位于S右半开平面,所以该系统不稳定。3.3轨迹法判断系统的稳定性MATLAB控制工具箱中提供了rlocus函数，来绘制系统的根轨迹，利用rlocfind函数，在图形窗口显示十字光标，可以求得特殊点对应的K值，进而分析系统稳定性情况。已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：，绘制系统的根轨迹图，分析系统的稳定性。程序为：根轨迹图如图3所示：图3系统的根轨迹图光标选定虚轴临界点，程序结果为：光标选定分离点，程序结果为：上述数据显示了增益及对应的闭环极点位置。由此可得出如下结论：（1）0<k<0.4时，闭环系统具有不同的实数极点，表明系统处于过阻尼状态；（2）k=0.4时，对应为分离点，系统处于临界阻尼状态；（3）0.4<k<6时，系统主导极点为共轭复数极，系统为欠阻尼状态；（4）k=6时，系统有一对虚根，系统处于临界稳定状态；（5）k>6时，系统的一对复根的实部为正，系统处于不稳定状态。3.4Nyquist曲线判断系统的稳定性已知一控制系统，H（s）=1，其开环传递函数为：选用不同的增益K值，用Matlab绘出系统的阶跃响应曲线和Nyquist曲线，并分析系统稳定性。K=3，Nyquist曲线程序：K=9，Nyquist曲线程序：图4（a）K=3时Nyquist曲线图4（a）K=9时Nyquist曲线奈氏稳定判据的内容是：若开环传递函数在s平面右半平面上有P个极点，则当系统角频率X由-∞变到+∞时，如果开环频率特性的轨迹在复平面上逆时针围绕（-1，j0）点转P圈，则闭环系统是稳定的，否则是不稳定的。当k=3时，从图3（a）中可以看出，Nyquist曲线不包围（-1，j0）点，同时开环系统所有极点都位于s平面左半平面，因此，根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是稳定的；当k=9时，从图3（b）中可以看出，Nyquist曲线按逆时针包围（-1，j0）点2圈，但此时P=0，所以根据奈氏判据判定以此构成的闭环系统是不稳定的。4、结论本文利用MATLAB函数的方法实现了对线性系统的稳定性分析,其过程简单,方法有效,结论直观,由此可见,MATLAB为工程技术人员分析、设计较优的控制系统提供了强有力的工具。现今，MATLAB也已成为大学里的许多先进课程的标准的计算机教学工具。相信不久将来,MATLAB也会出现在我国的许多大学和研究所里,并为各行各业专业人员所喜欢。参考文献：[1]、胡寿松.自动控制原理（第五版）[M].北京：科学出版社.2016.[2]、张威.MATLAB基础与编程入门（第二版）[I].西安：西安电子科技大学出版社.2016.[3]、高西全，丁美玉.数字信号处理（第三版）[I].西安：西安电子科技大学出版社.2017.

本科生学位论文论多媒体技术在教学中的应用姓名：指导教师：专业：教育管理专业年级：完成时间：

论多媒体技术在教学中的应用[摘要]多媒体不再是传统的辅助教学工具，而是为构造一种新的网络教学环境创造了条件，特别是对于教育社会化来说，多媒体网络是一种更理想的传播工具。多媒体本身具有：融合性、非线性化，无结构性、相互交涉性、可编辑性、实时性等特点；同时运用在教育教学上又有其特长：利于信息的存储利用、是培养发散性思维的工具、促使学习个别化的实现。多媒体在教学中的应用有着多种的形式，它在提高学生学习兴趣上有着积极的作用，同时它还能促进学生知识的获取与保持、对教学信息进行有效的组织与管理、建构理想的学习环境，促进学生自主学习等多方面的效果。立足未来发展，利用多媒体网络技术，开展教学试验。[关键词]多媒体网络教学系统资源共享多媒体技术主要指多媒体计算机技术，加工、控制、编辑、变换，还可以查询、检索。人们借助于多媒体技术可以自然贴切地表达、传播、处理各种视听信息，并具有更多的参与性和创造性。当今多媒体已成为广泛流传的名词，但人们对于它的认识，特别是对于它在教育教学方面如何更好应用，未知的因素还很多。

一、多媒体的教育特长任何一种媒体不管其怎样先进，它只能是作为一种工具被应用到教育领域，能不能促进教育的改革，。。。。。。应当吸取教训，加强理论研究，充分认识多媒体的特性及其教育特长，以便更好地在教育领域开发应用多媒体。

1、多媒体的特性

（1）融合性多种符号系统的融合是多媒体的特性之一，多媒体的这一特性区别于过去媒体符号系统的单一性或复合性。也就是说多媒体技术不是将符号系统叠加，而是具有整体性的融合。

（2）非线性化，无结构性因为多媒体是在超文本、，其组合结构是固定的、不变的。

（5）实时性多媒体信息中的声音、活动视濒、动画于时间有密切联系，对它们进行呈现、交互等集成处理是实时的。在显示某一主体内容时，其视听信息具有同步性。

2、多媒体的教育特长

（1）信息的存储利用便利多媒体特别是多媒体WWW网络信息的存储、提取、双向传输非常便利，它应用于教育，更利于教学信息传播机制的建立。

（2）发散性思维的工具在培养学习者发散性思维方面…………或创造性思维的基础。

（3）促使学习个别化的实现多媒体WWW网络有利于个别化的实现。因为学习者各人需求、学习经验、认知程度等不同，学习方法也有差异，由于多媒体教学信息的多角度多层次性，不具有固定的学习目标和既定学习路径，学习者可以自定学习路径选择自己需要的学习内容。

四、迎接信息时代，运用多媒体技术，实现网络教学传播

21世纪是一个信息高速发展的时代，…………，首先必须认清以下问题：

（一）多媒体不等于光盘化

。。。。。。由于人们认为这就是多媒体，因而也就将多媒体作为一种更完美的形象化教具。

（二）多媒体不是CAI的延伸

日本视听教育协会编著的《日本教育中的多媒体小史》超媒体的开发一节中指出：在超媒体的开发方面，有两种考虑方法：一种是把重点放在超媒体发展的原始起点和特长上，编制"无结构"的教材的思考方法；另一种是把映像和声音加入迄今为止的CAI的思考方法。然而，如果考虑到超媒体的特长的教育意义，便不用说，是考虑前者的好。我认为它与CAI有两个差异：

1、以不同的教育观为指导CAI延用了传统的教学观，对不同的学习者规定了同一的学习目标，同一的学习路径，采用了同一呆板；(2)……。多媒体技术则是超文本、超媒体技术发展的产物，只有我们以学习社会化的新教育观为指导，才能构建一种以学习者为中心，学习者可以自己控制的学习环境。

（四）构建网络教学系统要实现整个教学环境的软、硬件的网络化建设。首先应当在学校范围内建立一定规模的校园网络的硬件体系结构；其次应当具备必需的相应的校园网管理软件，要有课件点播系统五、立足未来发展，利用多媒体网络技术，开展教学试验

而是怎样教。学生不是考虑从教师那里学到什么，而是在教师的帮助下，学会怎么学习，确立终身学习的思想和态度。

今后的教学应以学生学为主，教师应成为顾问、咨询者、管理者，这在传统的课堂教学中是难以实现的。而在多媒