人教版数学八年级上册 运用完全平方公式因式分解

14.3.2

公式法第十四章整式的乘法与因式分解第2课时运用完全平方公式因式分解14.3

因式分解1.理解并掌握用完全平方公式分解因式；（重点）2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解

进行计算．（难点）学习目标导入新课复习引入1.因式分解的定义：把一个多项式转化为几个整式的积的形式的过程.2.我们已经学过哪些因式分解的方法？1.提公因式法2.平方差公式a2-

b2=(a+b)(a-

b)ma+mb+mc=m(a+b+c)讲授新课用完全平方公式分解因式一

你能把下面

4

个图形拼成一个正方形并求出你拼成的图形的面积吗？拼出的图形为：aabbabababa²b²ab这个大正方形的面积可以怎么求？a2

+2ab+b2(a+b)2=ababa²ababb²(a+b)2a2

+2ab+b2=将上面的等式逆过来看，能得到：a2

+2ab+b2a2

-

2ab+b2

我们把

a²+2ab+b²

和

a²

-

2ab+b²

这样的式子叫做完全平方式.观察这两个式子：（1）每个多项式有几项？（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？三项这两项都是数或式的平方，并且是和的形式.是第一项和第三项底数的积的±2倍.完全平方式的特点：1.必须是三项式(或可以看成三项的)；2.有两个数或式的平方和；3.有两底数之积的

±2倍.

完全平方式：简记口诀：

首平方，尾平方，首尾两倍在中央.凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将它写成完全平方的形式，便实现了因式分解.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2两个数的平方和加上(或减去)这两个数积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.3.a²+4ab+4b²=()²+2·()·()+()²=()².2.m²-

6m+9=(

)²-2·()·(

)+()²=()²；1.x²+4x+4=()²+2·()·()+()²=()²；x2x+2aa2ba+2b2b对照

a²±2ab+b²=(a±b)²，填空：mm-

33x2m3下列各式是不是完全平方式？（1）a2-

4a+4；

（2）1+4a²；（3）4b2+4b-

1；

（4）a2+ab+b2；（5）x2+x+0.25.是（2）因为它只有两项.不是（3）4b²与

-1的符号不统一.不是分析：不是是（4）因为

ab不是

a与

b的积的

2倍.例1

若

x2

-

6x+N是一个完全平方式，则

N=()A.11B.9C.-

11D.

-

9B解析：根据完全平方式的特征，中间项

-6x=-2×x×3，故可知

N=32=9.变式训练

如果

x2

-

mx+16是一个完全平方式，那么常数

m的值为_______.解析：∵16=(±4)2，∴

-m=2×(±4)，即

m=±8.±8典例精析方法总结：本题要熟练掌握完全平方式的结构特征，根据参数所在位置，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的

2

倍的符号可正可负，避免漏解．例2

分解因式：（1）16x2

+24x+9；（2）-x2+4xy-

4y2.分析：(1)

中，16x2=(4x)2，

9=3²，24x=2×4x·3，

所以

16x2+24x+9是一个完全平方式，即

16x2+24x+9=(4x)2

+2×4x·3+32.2ab

b2a2(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为

-(x2-

4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2.=(4x)2+2×4x·3+32(2)-x2+4xy-

4y2

=-(x2-

4xy+4y2)=-(x-

2y)2.例3

把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2；

(2)(a+b)2-12(a+b)+36.解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)=3a(x+y)2.分析：(1)中有公因式

3a，应先提出公因式，再进一步分解因式；(2)中将(a+b)

看成一个整体，也符合完全平方式的特征.(2)原式=(a+b)2

-2(a+b)·6+62

=(a+b-6)2.利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.

因式分解：(1)

-3a2x2+24a2x

-

48a2；(2)(a2+4)2

-

16a2.针对训练＝(a2

+4

+4a)(a2

+4

-

4a)解：(1)原式＝-3a2(x2

-

8x

+16)＝-3a2(x

-

4)2.(2)原式＝(a2

+4)2

-

(4a)2＝(a

+2)2(a

-

2)2.有公因式要先提公因式要检查每一个多项式的因式，看能否继续分解例4

简便计算：(1)1002

-

2×100×99

+99²；(2)342

+

34×32

+

162.解：(1)原式

=(100

-

99)²

(2)原式

=(34

+

16)2本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算=1.=2500.例5已知

x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求

x2y2＋2xy＋1的值.＝112＝121.解：由题意得

x2－4x＋4＋y2－10y＋25＝0，即

(x－2)2＋(y－5)2＝0.∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，∴x－2＝0，y－5＝0.∴x＝2，y＝5.∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2几个非负式的和为0，则这几个非负式都为0方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负式的和的形式，然后利用非负式的性质求出未知数的值，再代值计算．例6已知

a，b，c分别是△ABC三边的长，且

a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．∴△ABC是等边三角形．解：由

a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得

a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，即

(a－b)2＋(b－c)2＝0.∴a－b＝0，b－c＝0.∴a＝

b＝

c.当堂练习1.下列四个多项式中，一定能因式分解的是()A．a2＋1B．a2－6a＋9C．x2＋5yD．x2－5y2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是()A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2)D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若

m＝2n＋1，则

m2－4mn＋4n2的值是_____．BB14.若关于

x的多项式

x2－8x＋m2是完全平方式，则

m

的值为______．±45.把下列多项式因式分解：

(1)

x2-

12x+36；

(2)

4(2a+b)2-

4(2a+b)+1；(3)y2+2y+1-

x2.解：(1)原式

=x2-

2·x·6+62=(x-

6)2.(3)原式=(y+1)²-

x²=(y+1+x)(y+1-

x).(2)原式=[2(2a+b)]²-

2×2(2a+b)·1+1²=(4a+2b-

1)2.(2)原式6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；解：(1)原式＝(38.9－48.9)2＝100.7.

分解因式：(1)4x2

+4x

+1；(2)

小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若不对，请你帮忙纠正过来.x2

-

2x

+3.(2)原式＝

(x2

-

6x

+9)＝

(x

-

3)2.解：(1)原式＝(2x)2

+2×2x•1

+1＝(2x

+1)2.小聪:小明:××8.(1)已知

a－b＝3，求

a(a－2b)＋b2的值；

(2)已知

ab＝2，a＋b＝5，求

a3b＋2a2b2＋ab3的值.原式＝2×52＝50.解：(1)a(a－2b)