2014高中数学-3第二课时直线与平面垂直随堂自测和课后作业-苏教版必修

PAGEPAGE12014高中数学1.2.3第二课时直线与平面垂直随堂自测和课后作业苏教版必修2eq\a\vs4\al(1.)如果不在平面α内的一条直线l与平面α的一条垂线垂直，那么直线l与平面α的位置关系为________．解析：设平面α的垂线为a，过a上一点作l′∥l，设l′与a所确定的平面交α于b，则a⊥b，而a⊥l′，∴l′∥b，∴l∥b，即可得l∥α.答案：平行eq\a\vs4\al(2.)下列说法：①平面的斜线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°)；②直线与平面所成的角的取值范围是(0°，90°]；③若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线互相平行；④若两条直线互相平行，则这两条直线与一个平面所成的角相等．其中正确的是________(填序号)．解析：②应为[0°，90°]；③中这两条直线可能平行，也可能相交或异面．答案：①④eq\a\vs4\al(3.)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，它的六个面中与棱AA1垂直的有________个．解析：面A1B1C1D1与面ABCD都与棱AA1答案：2eq\a\vs4\al(4.)下列说法中正确的个数是________．①如果一条直线和一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直；②如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内的所有直线都垂直；③如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线和这个平面垂直；解析：①②正确，③中缺少两条“相交”直线这一条件．答案：2eq\a\vs4\al(5.)若点A∉平面α，点B∈α，AB＝6，AB与α所成的角为45°，则A到α的距离为________．解析：如图，过A作AH⊥平面α于H，连结BH，则∠ABH＝45°.在Rt△ABH中，AH＝ABsin45°＝3eq\r(2).答案：3eq\r(2)[A级基础达标]eq\a\vs4\al(1.)已知直线a和平面α、β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，a在α，β内的射影分别为b和c，则b和c的位置关系是________．解析：当直线a∥平面α，直线a∥平面β时，a∥b且a∥c，则b∥c；当直线a∩平面α＝A，直线a∩平面β＝B.且AB与l不垂直时，b与c异面；当a∩l＝O时，b与c相交于O.∴b和c的位置关系是相交、平行或异面．答案：相交，平行或异面eq\a\vs4\al(2.)垂直于梯形两腰的直线与梯形两底所在的平面的位置关系是________．解析：梯形的两腰所在的直线是相交的直线，故直线垂直于梯形所在平面内的两条相交直线，所以直线与平面垂直．答案：垂直eq\a\vs4\al(3.)如图，边长为2eq\r(2)的正方形ABCD在α上的射影为EFCD，且AB到α的距离为eq\r(2)，则AD与α所成的角为________．解析：在Rt△AED中，AE＝eq\r(2)，AD＝2eq\r(2)，∴∠ADE＝30°.答案：30°eq\a\vs4\al(4.)在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的有________．(填序号)解析：在①中，设面BCD上的另一个顶点为A1，连结BA1，易得CD⊥BA1，CD⊥AA1，即CD⊥平面ABA1，∴CD⊥AB.答案：①eq\a\vs4\al(5.)如图，PA⊥面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．解析：∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴△PAB，△PAC为直角三角形．∵BC⊥AC，∴△ABC为直角三角形．∵BC⊥AC，BC⊥PA，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥PC.∴△PBC也为直角三角形．答案：4eq\a\vs4\al(6.)如图，已知P是菱形ABCD所在平面外一点，且PA＝PC.求证：AC⊥平面PBD.证明：设AC∩BD＝O，连结PO(图略)．∵PA＝PC，∴AC⊥PO.又ABCD为菱形，∴AC⊥BD.而PO∩BD＝O，PO，BD⊂平面PBD，∴AC⊥平面PBD.eq\a\vs4\al(7.)已知在四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：如图，过A作AO⊥平面BCD于O，则AO⊥CD.连结OB，OC，∵AB⊥CD，AO∩AB＝A，∴CD⊥平面AOB，∴BO⊥CD.同理得CO⊥BD，∴O是△BCD的垂心．连结DO并延长交BC于M，则DM⊥BC，而AO⊥BC，AO∩DM＝O，∴BC⊥平面AOD，∴BC⊥AD.[B级能力提升]eq\a\vs4\al(8.)如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD，则a的值等于________．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥QD，又PQ⊥QD，PQ∩PA＝P，∴QD⊥平面APQ，∴AQ⊥QD.即Q在以AD为直径的圆上，当半圆与BC相切时，点Q只有一个．故BC＝2AB＝2，即a＝2.答案：2eq\a\vs4\al(9.)正△ABC边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．解析：如图，作DH⊥AC于H，连结BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD.从而BD⊥DH，∴DH为BH在平面ADC内的射影，∴BH⊥AC，又正△ABC边长为a，∴DH＝eq\f(\r(3),4)a，∴BH＝eq\r(BD2＋DH2)＝eq\f(\r(7),4)a.答案：eq\f(\r(7),4)aeq\a\vs4\al(10.)如图，已知α∩β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.证明：∵EA⊥α，l⊂α，∴EA⊥l.同理EB⊥l.∵EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a⊂β，∴EB⊥a.又AB⊥a，AB∩EB＝B，∴a⊥平面EAB.∴a∥l.eq\a\vs4\al(11.)(创新题)如图，在矩形ABCD中，已知AB＝2AD，E为AB的中点，M为DE的中点，将△