第七章 对策与决策模型

第七章对策与决策模型第一页，共一百零三页，2022年，8月28日第八章对策与决策模型对策与决策是人们生活和工作中经常会遇到的择优活动。人们在处理一个问题时，往往会面临几种情况，同时又存在几种可行方案可供选择，要求根据自己的行动目的选定一种方案，以期获得最佳的结果。有时，人们面临的问题具有竞争性质，如商业上的竞争、体育中的比赛和军事行动、政治派别的斗争等等。这时竞争双方或各方都要发挥自己的优势，使己方获得最好结果。因而双方或各方都要根据不同情况、不同对手做出自己的决择，此时的决策称为对策。在有些情况下，如果我们把可能出现的若干种情况也看作是竞争对手可采取的几种策略，那么也可以把决策问题当作对策问题来求解。第二页，共一百零三页，2022年，8月28日§8.1对策问题对策问题的特征是参与者为利益相互冲突的各方，其结局不取决于其中任意一方的努力而是各方所采取的策略的综合结果。先考察几个实际例子。

例8.1

（田忌赛马）

田忌赛马是大多数人都熟知的故事，传说战国时期齐王欲与大将田忌赛马，双方约定每人挑选上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，每局赌金为一千金。齐王同等级的马均比田忌的马略胜一筹，似乎必胜无疑。田忌的朋友孙膑给他出了一个主意，让他用下等马比齐王的上等马，上等马对齐王的中等马，中等马对齐王的下等马，结果田忌二胜一败，反而赢了一千金。

第三页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.2

（石头—剪子—布）这是一个大多数人小时候都玩过的游戏。游戏双方只能选石头、剪子、布中的一种，石头赢剪子，剪子赢布，而布又赢石头，赢者得一分，输者失一分，双方相同时不得分，见下表。表8.1石头剪子布石头01－1剪子－101布1－10第四页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.3

（囚犯的困惑）警察同时逮捕了两人并分开关押，逮捕的原因是他们持有大量伪币，警方怀疑他们伪造钱币，但没有找到充分证据，希望他们能自己供认，这两个人都知道：如果他们双方都不供认，将被以使用和持有大量伪币罪被各判刑18个月；如果双方都供认伪造了钱币，将各被判刑3年；如果一方供认另一方不供认，则供认方将被从宽处理而免刑，但另一方面将被判刑7年。将嫌疑犯A、B被判刑的几种可能情况列表如下：表8.2嫌疑犯B供认不供认嫌疑犯A供认不供认（3，3）（0，7）（7，0）（1.5，1.5）表中每对数字表示嫌疑犯A、B被判刑的年数。如果两名疑犯均担心对方供认并希望受到最轻的惩罚，最保险的办法自然是承认制造了伪币。第五页，共一百零三页，2022年，8月28日一、对策的基本要素（1）局中人。参加决策的各方被称为决策问题的局中人，一个决策总是可以包含两名局中人（如棋类比赛、人与大自然作斗争等），也可以包含多于两名局中人（如大多数商业中的竞争、政治派别间的斗争）。局中人必须要拥用可供其选择并影响最终结局的策略，在例8.3中，局中人是A、B两名疑犯，警方不是局中人。两名疑犯最终如何判刑取决于他们各自采取的态度，警方不能为他们做出选择。从这些简单实例中可以看出对策现象中包含的几个基本要素。第六页，共一百零三页，2022年，8月28日（2）策略集合。局中人能采取的可行方案称为策略，每一局中人可采取的全部策略称为此局中人的策略集合。对策问题中，对应于每一局中人存在着一个策略集合，而每一策略集合中至少要有两个策略，否则该局中人可从此对策问题中删去，因为对他来讲，不存在选择策略的余地。应当注意的是，所谓策略是指在整个竞争过程中对付他方的完整方法，并非指竞争过程中某步所采取的具体局部办法。例如下棋中的某步只能看和一个完整策略的组成部分，而不能看成一个完整的策略。当然，有时可将它看成一个多阶段对策中的子对策。策略集合可以是有限集也可以是无限集。策略集为有限集时称为有限对策，否则称为无限对策。

记局中人i的策略集合为Si。当对策问题各方都从各自的策略集合中选定了一个策略后，各方采取的策略全体可用一矢量S表示，称之为一个纯局势（简称局势）。

第七页，共一百零三页，2022年，8月28日例如，若一对策中包含A、B两名局中人，其策略集合分别为SA

={1,…,m}，SB

={1,…,n}。若A选择策略i而B选策略j，则（i,j）就构成此对策的一个纯局势。显然，SA与SB一共可构成m×n个纯局势，它们构成表8.3。对策问题的全体纯局势构成的集合S称为此对策问题的局势集合。

(m,n)

…(m,j)

…(m,2)

(m,1)

m…………………(i,n)

…(i,j)

…(i,2)

(i,1)

i…………………(2,n)

…(2,j)

…(2,2)

(2,1)

2(1,n)

…(1,j)

…(1,2)

(1,1)

1A的策略n…J…21B的策略第八页，共一百零三页，2022年，8月28日（3）赢得函数（或称支付函数）。对策的结果用矢量表示，称之为赢得函数。赢得函数F为定义在局势集合S上的矢值函数，对于S中的每一纯局势S，F（S）指出了每一局中人在此对策结果下应赢得（或支付）的值。综上所述，一个对策模型由局中人、策略集合和赢得函数三部分组成。记局中人集合为I={1,…,k}，对每一i∈I，有一策略集合Si，当I中每一局中人i选定策略后得一个局势s；将s代入赢得函数F，即得一矢量F(s)=(F1(s),…,Fk(s))，其中Fi(s)为在局势s下局中人i的赢得（或支付）。本节讨论只有两名局中人的对策问题，即两人对策，其结果可以推广到一般的对策模型中去。对于只有两名局中人的对策问题，其局势集合和赢得函数均可用表格表示。例如，表8.2就给出了例8.3的局势集合和赢得函数。第九页，共一百零三页，2022年，8月28日二、零和对策存在一类特殊的对策问题。在这类对策中，当纯局势确定后，A之所得恰为B之所失，或者A之所失恰为B之所得，即双方所得之和总为零。在零和对策中，因F1(s)=－F2(s)，只需指出其中一人的赢得值即可，故赢得函数可用赢得矩阵表示。例如若A有m种策略，B有n种策略，赢得矩阵

表示若A选取策略i而B选取策略j，则A之所得为aij（当aij<0时为支付）。第十页，共一百零三页，2022年，8月28日在有些两人对策的赢得表中，A之所得并非明显为B之所失，但双方赢得数之和为一常数。例如在表8.4中，无论A、B怎样选取策略，双方赢得总和均为10，此时，若将各人赢得数减去两人的平均赢得数，即可将赢得表化为零和赢得表。表8.4中的对策在转化为零和对策后，具有赢得矩阵表8.4局中人B123局中人A1(8,2)(1,9)(7,3)2(4,6)(9,1)(3,7)3(2,8)(6,4)(8,2)4(6,4)(4,6)(6,4)第十一页，共一百零三页，2022年，8月28日给定一个两人对策只需给出局中人A、B的策略集合SA、SB及表示双方赢得值的赢得矩阵R。综上所述，当遇到零和对策或可转化为零和对策的问题时，R可用通常意义下的矩阵表示，否则R的元素为一两维矢量。故两人对策G又可称为矩阵对策并可简记成G={SA,SB,R}第十二页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.4

给定G={SA,SB,R}，其中SA

={1,2,3}，SB

={1,2,3,4}

从R中可以看出，若A希望获得最大赢利30，需采取策略1，但此时若B采取策略4，A非但得不到30，反而会失去22。为了稳妥，双方都应考虑到对方有使自己损失最大的动机，在最坏的可能中争取最好的结果。局中人A采取策略1、2、3时，最坏的赢得结果分别为min{12,－6,30,－22}=－22min{14,2,18,10}=2min{－6,0,－10,16}=－10其中最好的可能为max{－22,2,－10}=2。如果A采取策略2，无论B采取什么策略，A的赢得均不会少于2.第十三页，共一百零三页，2022年，8月28日B采取各方案的最大损失为max{12,14,－6}=14，max{－6,2,0}=2，max{30,18,－10}=30和max{－22,10,16}=16。当B采取策略2时，其损失不会超过2。注意到在赢得矩阵中，2既是所在行中的最小元素又是所在列中的最大元素。此时，只要对方不改变策略，任一局中人都不可能通过变换策略来增大赢得或减小损失，称这样的局势为对策的一个稳定点或稳定解，（注：也被称为鞍点）定义8.1

对于两人对策G={SA,SB,R}，若有，则称G具有稳定解，并称VG为对策G的值。若纯局势（）使得，则称（）为对策G的鞍点或稳定解，赢得矩阵中与（）相对应的元素称为赢得矩阵的鞍点，与分别称为局中人A与B的最优策略。对（8.1）式中的赢得矩阵，容易发现不存在具有上述性质的鞍点。给定一个对策G，如何判断它是否具有鞍点呢？为了回答这一问题，先引入下面的极大极小原理。第十四页，共一百零三页，2022年，8月28日定理8.1

设G={SA,SB,R}，记，则必有μ+ν≤0证明:，易见μ为A的最小赢得，ν为B的最小赢得，由于G是零和对策，故μ+ν≤0必成立。定理8.2

零和对策G具有稳定解的充要条件为μ+ν=0。

证明：

（充分性）由μ和ν的定义可知，存在一行（例如p行）μ为p行中的最小元素且存在一列（例如q列），－ν为q列中的最大元素。故有apq≥μ且apq≤－ν又因μ+ν=0，所以μ=－ν，从而得出apq=μ，apq为赢得矩阵的鞍点，（p,q）为G的稳定解。

第十五页，共一百零三页，2022年，8月28日（必要性）若G具有稳定解（p,q），则apq为赢得矩阵的鞍点。故有

从而可得μ+ν≥0，但根据定理8.1，μ+ν≤0必成立，故必有μ+ν=0。上述定理给出了对策问题有稳定解（简称为解）的充要条件。当对策问题有解时，其解可以不唯一。例如，若

则易见，（2,2），（2,4），（4,2），（4,4）均为此对策问题的解。一般又可以证明。第十六页，共一百零三页，2022年，8月28日定理8.3对策问题的解具有下列性质：（1）无差别性。若（,）与（,）同为对策G的解，则必有。（2）可交换性。若（,j1）、（,j2）均为对策G的解，则（,j2）和（,j1）也必为G的解。

定理8.3的证明非常容易，作为习题留给读者自己去完成。第十七页，共一百零三页，2022年，8月28日具有稳定解的零和对策问题是一类特别简单的对策问题，它所对应的赢得矩阵存在鞍点，任一局中人都不可能通过自己单方面的努力来改进结果。然而，在实际遇到的零和对策中更典型的是μ+ν≠0的情况。由于赢得矩阵中不存在鞍点，至少存在一名局中人，在他单方面改变策略的情况下，有可能改善自己的收益。例如，考察（8.1）中的赢得矩阵R。若双方都采取保守的maxmin原则，将会出现纯局势（

4,1）或（4,3）。但如果局中人A适当改换策略，他可以增加收入。例如，如果B采用策略1，而A改换策略1，则A可收益3。但此时若B改换策略

2，又会使A输掉4，……。此时，在只使用纯策略的范围内，对策问题无解。这类决策如果只进行一次，局中人除了碰运气以外别无办法。但如果这类决策要反复进行多次，则局中人固定采用一种策略显然是不明智的，因为一旦对手看出你会采用什么策略，他将会选用对自己最为有利的策略。这时，局中人均应根据某种概率来选用各种策略，即采用混合策略的办法，使自己的期望收益尽可能大。

第十八页，共一百零三页，2022年，8月28日设A方用概率xi选用策略i，B方用概率yj选用策略j，，且双方每次选用什么策略是随机的，不能让对方看出规律，记X=(x1,…,xm)T，Y=(y1,…,yn)T，则A的期望赢得为E(X,Y)=XTRY其中，R为A方的赢得矩阵。记SA:策略α1,…,αmSB:策略β1,…,βn概率x1,…,xm概率y1,…,yn分别称SA与SB为A方和B方的混合策略。对于需要使用混合策略的对策问题，也有具有稳定解的对策问题的类似结果。第十九页，共一百零三页，2022年，8月28日定义8.2若存在m维概率向量和n维概率向量，使得对一切m维概率向量X和n维概率向量y有则称（,）为混合策略对策问题的鞍点。定理8.4（VonNeumann）任意混合策略对策问题必存在鞍点，即必存在概率向量和，使得：（证明从略）。使用纯策略的对策问题（具有稳定解的对策问题）可以看成使用混合策略的对策问题的特殊情况，相当于以概率1选取其中某一策略，以概率0选取其余策略。对于双方均只有两种策略的对策问题（即2×2对策），可按几何方法求解。第二十页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.5A、B为作战双方，A方拟派两架轰炸机I和II去轰炸B方的指挥部，轰炸机I在前面飞行，II随后。两架轰炸机中只有一架带有炸弹，而另一架仅为护航。轰炸机飞至B方上空，受到B方战斗机的阻击。若战斗机阻击后面的轰炸机II，它仅受II的射击，被击中的概率为0.3（I来不及返回击它）。若战斗机阻击I，它将同时受到两架轰炸机的射击，被击中的概率为0.7。一旦战斗机未被击落，它将以0.6的概率击毁其选中的轰炸机。请为A、B双方各选择一个最优策略，即：对于A方应选择哪一架轰炸机装载炸弹？对于B方战斗机应阻击哪一架轰炸机？

解：双方可选择的策略集分别为SA={1,2},1：轰炸机I装炸弹，II护航

2：轰炸机II装炸弹，I护航SA={1,2},1：阻击轰炸机I2：阻击轰炸机II第二十一页，共一百零三页，2022年，8月28日赢得矩阵R=（aij）2×2，aij为A方采取策略

i而B方采取策略j时，轰炸机轰炸B方指挥部的概率，由题意可计算出：a11=0.7+0.3(1－0.6)=0.82a12=1,a21=1a22=0.3+0.7(1－0.6)=0.58即易求得，。由于μ+ν≠0，矩阵R不存在鞍点，应当求最佳混合策略。第二十二页，共一百零三页，2022年，8月28日现设A以概率x1取策略1、概率x2取策略2；B以概率y1取策略1、概率y2取策略2。先从B方来考虑问题。B采用1时，A方轰炸机攻击指挥部的概率的期望值为E（1）=0。82x1+x2，而B采用2时，A方轰炸机攻击指挥部的概率的期望值为E（2）=x1+0.58x2。若E（1）≠E（2），不妨设E（1）<E（2），则B方必采用1以减少指挥部被轰炸的概率。故对A方选取的最佳概率x1和x2，必满足：即由此解得x1=0.7，x2=0.3。第二十三页，共一百零三页，2022年，8月28日同样，可从A方考虑问题，得即并解得y1=0.7，y2=0.3。B方指挥部轰炸的概率的期望值VG=0.874。上述方法也可以用几何方式表达。在x轴上取长度为1的线段，左端点为x=0，右端点为x=1。过x=0和x=1各作x轴的垂线，称之为轴I和轴II。在轴I上取B1、B2，它们到x轴的距离分别的a11和a12，表示在A采取策略1

即(x2=0）时A方在B方分别采取策略1和2下的赢得，如图8.1所示。第二十四页，共一百零三页，2022年，8月28日借助几何方法也可以解m×2或2×n的使用混合策略的对策问题。但当m>2且n>2时，采用几何方法求解就变得相当麻烦，此时通常采用线性规划方法求解。现设A以概率x2采取策略2，若B采取策略2，则A的期望赢得为a11(1－x2)+a21x2。对应x2的不同取值（0≤x2≤1），a11(1－x2)+a12x2恰好构成连接两个B1的直线段。类似地，连接两个B2的直线段恰好对应当B取2而A以概率x2取2时的赢得a12(1－x2)+a22x2。设两直线段相交于N，并设N对应于。若A以小于的x2取策略2，则B可以采取1使A的期望赢得减小；反之，若x2>，则B又可采取2而使A的赢得减小。故A的最佳混合策略为以=1－概率取1，以概率取2（注：B的最佳混合策略可类似用几何方法求得）。第二十五页，共一百零三页，2022年，8月28日A方选择混合策略的目的是使得其中ej为只有第j个分量为1而其余分量均为零的向量，Ej

=XTRej。记，由于，在yk=1，yj=0（j≠k）时达到最大值u，

第二十六页，共一百零三页，2022年，8月28日故应为线性规划问题

minu

,j=1,2,…,n(即Ej≤Ek)xi≥0,i=1,2,…,mS.t的解。同理，应为线性规划maxν

,i=1,2,…,myj≥0,i=1,2,…,nS.t的解。第二十七页，共一百零三页，2022年，8月28日由线性规划知识，（8.2）与（8.3）互为对偶线性规划，它们具有相同的最优目标函数值。关于线性规划对偶理论，有兴趣的读者可以参阅有关书籍，例如鲁恩伯杰的“线性与非线性规划引论”。

为了寻找例8.5中A方的最优混合策略，求解线性规划minuS.t0.82x1+x2≤u

x1+0.58x2≤u

x1+x2=1

x1,x2≥0可得最优混合策略x1=0.7,x2=0.3。类似求解线性规划maxυS.t0.82y1+y2≤υ

y1+0.58y2≥υ

y1+y2=1

y1,y2≥0可得B方最优混合策略：y1=0.7,y2=0.3。第二十八页，共一百零三页，2022年，8月28日三、非零和对策除了零和对策外，还存在着另一类对策问题，局中人获利之和并非常数。例8.4现有一对策问题，双方获利情况见表8.5。表8.5B方A方1231234（8,2）（3,4）（1,6）（4,2）（0,9）（9,0）（6,2）（4,6）（7,3）（2,7）（8,1）（5,1）假如A、B双方仍采取稳妥的办法，A发现如采取策略4，则至少可获利4，而B发现如采取策略1，则至少可获利2。因而，这种求稳妥的想法将导至出现局势（4，2）。第二十九页，共一百零三页，2022年，8月28日容易看出，从整体上看，结果并不是最好的，因为双方的总获利有可能达到10。不难看出，依靠单方面的努力不一定能收到良好的效果。看来，对这一对策问题，双方最好还是握手言和，相互配合，先取得总体上的最大获利，然后再按某一双方均认为较为合理的方式来分享这一已经获得的最大获利。例8.4说明，总获利数并非常数的对策问题（即不能转化为零和对策的问题），是一类存在着合作基础的对策问题。当然，这里还存在着一个留待解决而又十分关键的问题：如何分享总获利，如果不能达到一个双方（或各方）都能接受的“公平”的分配原则，则合作仍然不能实现。怎样建立一个“公平”的分配原则是一个较为困难的问题，将在第九章中介绍。

最后，我们来考察几个对策问题的实例。第三十页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.6（战例分析）1944年8月，美军第一军和英军占领法国诺曼第不久，立即从海防前线穿过海峡，向Avranches进军。美军第一军和英军的行动直接威胁到德军第九军。美军第三军也开到了Avranches的南部，双方军队所处的地理位置如图8.2所示。美军方面的指挥官是Bradley将军，德军指挥官是VonKluge将军。VonKluge将军面临的问题是或者向西进攻，加强他的西部防线，切断美军援助；或者撤退到东部，占据塞那河流域的有利地形，并能得到德军第十五军的援助。Bradley将军的问题是如何调动他的后备军，后备军驻扎在海峡南部。Bradley将军有三种可供选择的策略：他可以命令后备军原地待命，当海峡形势危急时支援第一军或出击东部敌人，以减轻第一军的压力。双方应如何决策，使自己能有较大的机会赢得战争的胜利呢？

第三十一页，共一百零三页，2022年，8月28日我们将用建立矩阵对策模型的方法，来试图求得双方的最优策略。模型假设：

1、Bradley将军和VonKluge将军分别为对策问题的局中人A和B。2、局中人A的策略集合为SA={1,2,3}，其中：1为后备军增援保卫海峡；2为后备军东征，切断德军后路；3为后备军待命

3、局中人B的策略集合为SB={1,2}，其中：1为德国向西进攻海峡，切断美军援助；2为德军撤退到东部，占领塞纳河流域有利地形。4、SA、SB构成六种纯局势，综合双方实力，各种局势估计结果如下。若B采取策略1，即德军采取攻势，则有（1）（1,1），估计美军击败德军并占领海峡的可能性（即概率）为（2）（2,1），估计美军取胜的可能为。德军很可能打破美军第一军的防线，并切断美军的退路。（3）（3,1），估计美军可以根据需要增援。如不需增援，后备军可东进绕行到德军后方。这样，美军将占领海峡并彻底歼灭德军第九军。情况（1）、（2）、（3）如图8.3（1）、（2）、（3）所示。第三十二页，共一百零三页，2022年，8月28日若B采取策略2，即德军第九军东撤，占据塞纳河流域有利地形，则有

（4）（1,2），美方扩大了战线，德军虽占据了有利地形，美军仍有击败德军的可能性。（5）（2,2），美后备军东进给德军东撤造成压力并挫伤德军，使美军击败德军的可能性增大到。（6）（3,2），美后备军待命。在发现德军撤退后，奉命向东扰乱敌方撤退，为以后歼灭德第九军创造条件，估计是美军击败德军的可能性。情况（4）、（5）、（6）见图8.3（4）、（5）（6）所示。第三十三页，共一百零三页，2022年，8月28日上述分析估计是由Bradley将军作出的，据此构造出A方赢得矩阵这是一个3×2对策矩阵。可以求得，，，不存在稳定解，需要考虑其他解法。第三十四页，共一百零三页，2022年，8月28日定义8.3对于赢得矩阵R，如果对所有j，aij≥akj均成立，且至少存在一个使得则称i行优于k行（策略ai优于ak）。同样，如对一切i有aij≤akl，且至少有一个i0使得，则称j列优于l例（局中人B的策略j优于l）。易见，若一个对策矩阵的第i行优于第k行，则无论局中人B选择哪种策略，局中人A采取策略i的获利总优于（至少不次于）采取策略k的获利。定理8.5对于矩阵对策G={SA,SB,R}，若矩阵R的某行优于第i1,……,ik行，则局中人A在选取最优策略时，必取。令，R’为从R中划去第i1行，…，ik行后剩下的矩阵，则的最优策略即原对策G的最优策略，对于R中列的最优关系也有类似的结果。第三十五页，共一百零三页，2022年，8月28日利用这一定理，有时对策问题可先进行化简，降低矩阵的阶数。现在回过来讨论美、德军队对策问题。在Bradleg构造的矩阵中容易发现a1j＜a3j,j=1,2故3优于1。根据上面的定理8.5，可划去该矩阵的第一行，得到2×2赢得矩阵这仍然是一个无鞍点的对策矩阵。设Bradley以概率p1取策略2而以概率p2取略3，则应有解得第三十六页，共一百零三页，2022年，8月28日类似地，设VonKluge以概率q1取策略1而以概率q2取策略2，则应有解得。由于两军作战并非可以反复进行的对策问题，看来最大的可能是美军采取策略3而德军采取策略2，即美方后备军待命而德军第九军东撤。事实上，当时双方指挥官正是这样决策的，如果真能实行，双方胜负还难以料定。但正当德军第九军刚开始东撤时，突然接到了希特勒的命令要他们向西进攻，从而失去了他们有可能取得的最佳结局，走上必然灭亡的道路。VonKluge将军指挥的德军向西进攻，开始时德军占领了海峡，但随之即被美军包围遭到了全军复灭，VonKluge本人在失败后自杀。

第三十七页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.7（防坦克地雷场的布设）实战中，攻方为了增强攻击力，大量使用攻击力强、防御坚固的坦克；守方为了抵御对方攻击，需要大量杀伤敌方的有生力量，有效对策之一是布设防坦克地雷场。1、分析评价防坦克地雷场的重要指标是战斗效力，而布雷密度是基本因素之一。只要有足够多的地雷，用较高密度的地雷场对付敌方进攻总是行之有效的。但在实际战斗中，地雷不太可能是足够多的。假设：（1）防坦克地雷数量有限；（2）通过侦察、分析，已知敌方可能采用1、2、…、n种进攻策略之一；（3）通过敌情分析，确定了防御正面的宽度，并根据我方地雷数量，设计了1,2,…,m这m种布雷方案。问采取哪一方案或什么样的混合策略能有效击毁敌方的坦克？第三十八页，共一百零三页，2022年，8月28日本例在过去一般是凭指挥员的作战经验定性决策的，现用矩阵对策方法进行定量择优。

由于每两辆坦克之间一般要保持50米的间距，因而进攻正面拉得很宽，如一个梯队20辆坦克，进攻正面约为一公里宽。因为只有有限个防御正面，用有限个进攻策略来描述敌方的进攻状态是非常接近实际情况的。对守方来讲，布雷密度通常可分成0.5,1,1.5,2等有限个等级。按常规做法，在防御正面上一般采用同一种技术密度。为了提高杀伤率，现将一个防御正面划分成几段，各段允许采用不同密度。第三十九页，共一百零三页，2022年，8月28日2、对策决策要用矩阵对策决策，关键问题是如何列出守方的赢得矩阵。由效率评定试验可得出在各种布雷密度下的杀伤率表，如表8.6所示。表8.6布雷密度0.511.52杀伤率0.640.870.950.98根据上表，在确定方案后即可根据各段不同密度针对攻方的进攻策略计算出坦克的杀伤率。为便于理解，作为实例分析下面两种情况：第四十页，共一百零三页，2022年，8月28日情况1设守方只有1500个防坦克地雷，欲布设在攻方必经的2公里攻击正面上。攻方一个坦克梯队的20辆坦克展开成1公里宽的阵面，但既可能从左侧进攻（策略1）也可能从右侧进攻（策略2）。守方设计了三种布雷方案1,2,3,（图8.4），试求守方的赢得矩阵和最优策略。图8.4第四十一页，共一百零三页，2022年，8月28日情况1求解：容易求得守方的赢得矩阵这是一个有鞍点的矩阵，鞍点为a22。守方只要按2方案布雷，则不管攻方从哪一侧进攻，总可毁伤对方47.5%的坦克。第四十二页，共一百零三页，2022年，8月28日情况2攻方一梯队20辆坦克可从左侧（1）、中路（2）或右翼（3）进攻，展开成1公里布阵。守方只有2000个防坦克地雷，初步提出三种布雷方案，如图8.5所示，试求守方采用何种布雷方案较好。图8.5第四十三页，共一百零三页，2022年，8月28日对情况2，可求得守方的赢得矩阵为此时，矩阵A中不存在鞍点，对策无稳定解，应采用混合策略。可以求得，此时守方如按照0.166:0.456:0.378的比例采取策略1,2,3布雷，平均可毁伤对方83.5%的坦克。由本例可以看出，在决策问题中，策略的设计至关重要，它直接影响到赢得矩阵。策略的设计并没有包含在决策问题的求解中，事实上，仅当策略设计完成后，即策略集合给定后，决策问题才被给定，从而才能被求解，因而，在用对策论方法研究实际课题时，应当特别注意策略的设计。这一部分工作既具有一定的创造性又在很大程度上影响到结果，对它研究也是十分有趣的。第四十四页，共一百零三页，2022年，8月28日§8.2决策问题人们在处理问题时，常常会面临几种可能出现的自然情况，同时又存在着几种可供选择的行动方案。此时，需要决策者根据已知信息作决策，即选择出最佳的行动方案，这样的问题称为决策问题。面临的几种自然情况叫做自然状态或简称状态。状态是客观存在的，是不可控因素。可供选择的行动方案叫做策略，这是可控因素，选择哪一方案由决策者决定。

第四十五页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.8在开采石油时，会遇到是否在某处钻井的问题。尽管勘探队已作了大量调研分析，但由于地下结构极为复杂，仍无法准确预测开采的结果，决策者可以决定钻井，也可以决定不钻井。设根据经验和勘探资料，决策者已掌握一定的信息并列出表8.7。表8.7000不钻井（2）

4020－30钻井（1）

P(3)=0.3

P(2)=0.5

P(1)=0.2

（亿元）高产油井（3）

一般（2）

无油（1）

自然状态概率

收益方案问：决策者应如何作出决策？第四十六页，共一百零三页，2022年，8月28日解：由题意可以看出，决策问题应包含三方面信息：状态集合Q={1,…,n}、策略集合A={1,…,m}及收益R={aij}，其中aij表示如果决策者选取策略i而出现的状态为j，则决策者的收益值为aij（当aij为负值时表示损失值）。决策问题按自然状态的不同情况，常被分为三种类型：确定型、风险型（或随机型）和不确定型。确定型决策是只存在一种可能自然状态的决策问题。这种决策问题的结构较为简单，决策者只需比较各种方案，确定哪一方案最优即可。值得一提的是策略集也可以是无限集，例如，线性规划就可行看成一个策略集是限集的确定型决策，问题要求决策者从可行解集合（策略集）中挑选出最优解。确定型决策的求解并非全是简单的，但由于这些问题一般均有其自己的专门算法，本节不准备再作介绍。在本节中，我们主要讨论风险型与不确定型决策，并介绍它们的求解方法。第四十七页，共一百零三页，2022年，8月28日一、风险型决策问题在风险型决策问题中存在着两种以上可能出现的自然状态。决策者不知道究竟会出现哪一种状态，但知道各种状态出现的概率有多大。例如，例8.8就是一个风险型决策问题。对于风险型决策问题，最常用的决策方法是期望值法，即根据各方案的期望收益或期望损失来评估各方案的优劣并据此作出决策。如对例1，分别求出方案1（钻井）和2（不钻井）的期望收益值：E（1）=0.2×（－30）+0.5×20+0.3×40=16（万元）E（2）=0由于E（1）＞E（2），选取1作为最佳策略。风险型决策也可采用期望后悔值法求解。首先，求出采取方案i而出现状态j时的后悔值。第四十八页，共一百零三页，2022年，8月28日例如，如果不钻井，但事实上该处可开出一口高产井，则后悔值为40。因为钻井可收益40万元，但决策者作了不钻井的决策，未获得本来可以获得的40万元收益。然后，比较各方案的期望后悔值，选取期望后悔最小的方案作为最佳策略。在例8.8中，如采用期望后悔值法，则E（1）=6，E（2）=22，取1为最佳策略。在选取策略i而出现状态j时后悔值为的理由是在出现状态j情况下的最大可能收益为。定理8.6最大期望收益法与最小期望后悔值法等价，即两者选出的最佳策略相同。证明：由得故

等式（8.4）的右端项为一常数，其左端项为采取策略i时期后悔值与期望收益值之和，从而，若某策略使期望收益最大，则该策略必使期望后悔值最小，定理得证。第四十九页，共一百零三页，2022年，8月28日对于较为复杂的决策问题，尤其是需要作多阶段决策的问题，常采用较直观的决策树方法，但从本质上讲，决策树方法仍然是一种期望值法。

例8.9某工程按正常速度施工时，若无坏天气影响可确保在30天内按期完工。但根据天气预报，15天后天气肯定变坏。有40%的可能会出现阴雨天气而不影响工期，在50%的可能会遇到小风暴而使工期推迟15天，另有10%的可能会遇到大风暴而使工期推迟20天。对于可能出现的情况，考虑两种方案：（1）提前紧急加班，在15天内完成工程，实施此方案需增加开支18000元。

（2）先按正常速度施工，15天后根据实际出现的天气状况再作决策。如遇到阴雨天气，则维持正常速度，不必支付额外费用。如遇到小风暴，有两个备选方案：（i）维持正常速度施工，支付工程延期损失费20000元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施有三种可能结果：有50%可能减少误工期1天，支付应急费用和延期损失费共24000元；有30%可能减少误工期2天，支付应急费用和延期损失费共18000元；有20%可能减少误工期3天，支付应急费用和延期损失费共12000元。第五十页，共一百零三页，2022年，8月28日如遇大风暴，也有两个方案可供选择：（i）维持正常速度施工，支付工程延期损失费50000元。（ii）采取应急措施。实施此应急措施也有三种可能结果：有70%可能减少误工期2天，支付应急费及误工费共54000元；有20%可能减少误工期3天，支付应急费及误工费共46000元；有10%可能减少误工期4天，支付应急费和误工费共38000元。根据上述情况，试作出最佳决策使支付的额外费用最少。解：由于未来的天气状态未知，但各种天气状况出现的概率已知，本例是一个风险型决策问题，所谓的额外费用应理解为期望值。

本例要求作多次决策，工程初期应决定是按正常速度施工还是提前紧急加班。如按正常速度施工，则15天后还需根据天气状况再作一次决策，以决定是否采取应急措施，故本例为多阶段（两阶段）决策问题。为便于分析和决策，采用决策树方法。根据题意，作决策树如图8.6第五十一页，共一百零三页，2022年，8月28日图8.6中，□表示决策点，从它分出的分枝称为方案分枝，分枝的数目就是方案的个数。○表示机会节点，从它分出的分枝称为概率分枝，一条概率分枝对应一条自然状态并标有相应的发生概率。△称为未梢节点，右边的数字表示相应的收益值或损失值。第五十二页，共一百零三页，2022年，8月28日在决策树上由右向左计算各机会节点处的期望值，并将结果标在节点旁。遇到决策点则比较各方案分枝的效益期望值以决定方案的优劣，并且用双线划去淘汰掉的方案分枝，在决策点旁标上最佳方案的效益期望值，计算步骤如下：（1）在机会节点E、F处计算它们的效益期望值E(E)=0.5×（－24000）＋0.3×（－18000）＋0.2×（－12000）=－19800E(F)=0.7×（－54000）＋0.2×（－46000）＋0.1×（－38000）=－50800（2）在第一级决策点C、D处进行比较，在C点处划去正常速度分枝，在D处划去应急分枝。

（3）计算第二级机会节点B处的效益期望值E(B)=0.4×0＋0.5×（－19800）＋0.1×（－50000）=－14900并将－14900标在B点旁。第五十三页，共一百零三页，2022年，8月28日（4）在第二级决策点A处进行方案比较，划去提前紧急加班，将－14900标在A点旁。

结论最佳决策为前15天按正常速度施工，15天后按实际出现的天气状况再作决定。如出现阴雨天气，仍维持正常速度施工；如出现小风暴，则采取应急措施；如出现大风暴，也按正常速度施工，整个方案总损失的期望值为－14900元。

根据期望值大小决策是随机型决策问题最常用的办法之一。实际应用时应根据具体情况作出分析，选取期望收益最大或期望损失最小的方案。第五十四页，共一百零三页，2022年，8月28日二、不确定型决策问题只知道有几种可能自然状态发生，但各种自然状态发生的概率未知的决策问题称为不确定型决策问题，由于概率未知，期望值方法不能用于这类决策问题。下面结合一个例子，介绍几种处理这类问题的方法。例8.10设存在五种可能的自然状态，其发生的概率未知。有四种可供选择的行动方案，相应的收益值见表8.7表8.866653415964387543266544154321自然状态方案第五十五页，共一百零三页，2022年，8月28日（1）乐观法（maxmax原则）

采用乐观法时，决策者意在追求最大可能收益。他先计算每一方案的最大收益值，再比较找出其中的最大者，并采取这一使最大收益最大的方案，在例8.10中，maxa1j=6，maxa2j=8，maxa3j=9，maxa4j=6，而max{6，8，9，6}=9，采取方案3。（2）悲观法（maxmin原则）采用悲观法时，决策者意在安全保险。他先求每一方案的最小收益,再比较找出其中的最大者，并采取这一使最小收益值最大化的方案。对于例8.10，mina1j=4，mina2j=3，mina3j=1，mina4j=3。因为max{4,3，1，3}=4,采取方案1。（3）乐观系数法（Hurwicz决策准则）乐观系数法采用折中的办法，引入一个参数t，0≤t≤1，称t为乐观系数。作决策时，决策者先适当选取一个t的值；再对各方案1求出；最后再作比较，找出使最大的方案。在例8.10中，若取t=0.5，采用乐观系数法决策，将选取方案2。易见，t=1对应乐观法，而t=0则对应于悲观法。第五十六页，共一百零三页，2022年，8月28日（4）等可能法（Laplace准则）由于不能估计各状态出现的概率，决策者认为它们相差不会过大。此时，决策者采用将各状态的概率取成相同值的办法把问题转化为风险型，并借用风险型问题的期望值法来决策。对于例8.10，如取各状态出现的概率均为0.2，用期望值法决策，将选取策略2。不难看出，对于不确定型决策问题，不论采用什么方法决策，最终采用的策略都不能称为最佳策略。事实上，采取什么方法决策与决策者的心理状态有关。而且，即使对同一决策者，在处理不同决策问题时也可能采取不同的方法。例如，在决定购买几元钱一张的对奖券时，决策者也许会采用乐观法。因为几元钱的损失对他来讲是无所谓的事，小额奖金他也许看不上眼，要中就来个大奖。但是，在决策购买何种股票时，因为关系重大，也许他为了保险又会采取悲观法。同而，不确定型问题的决策充其量只能算是在决策者某种心理状态下的选优。要作出较符合实际情况的决策，还需决策者多作些调查研究，以便对未来自然状态的出现作出较符合客观实际的预测，才能收到较好的效果。第五十七页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.11（离散报童模型）设某商品的需求量θ为离散变量，其取值范围为Q={1,…,n}，取值i的概率为P(i)，=1。记该商品的进货量为（决策变量），若>，进货过量，每单位进货过剩将造成k0元过量损失；反之，若<，进货不足，每单位进货不足将造成ku元的不足损失。试确定该商品的最佳进货量。解：当≥时，将有过量损失k0（－）；当<时，将有不足损失ku（－）。故总期望损失为若*为最优进货量，则必有且

由此经平凡的计算可以得出：最佳进货量*应使成立（推导过程从略）。第五十八页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.12

某烧鸡店每卖出一只烧鸡可赚5元，如出现过剩将于下午5点另作处理，每剩一只将损失2.5元。该店根据平时销售情况列出下表，试根据表8.9中提供的信息确定制作烧鸡的最佳数量并求该店销售烧鸡的最佳平均利润。表8.90.10.180.20.220.20.1概率P()

302928272625需求量

解：根据题意，单位过剩损失k0=2.5，单位不足损失ku=5，。

因为，

但。故烧鸡的最佳制作量为28只。

最佳平均利润为

（元）

第五十九页，共一百零三页，2022年，8月28日§8.3层次分析法建模层次分析法是对一些较为复杂、较为模糊的问题作出决策的简易方法，它特别适用于那些难于完全定量分析的问题。社会的发展导致了社会结构、经济体系及人们之间相互关系的日益复杂，人们希望能在错综复杂的情况下，利用各种信息，通过理智的、科学的分析，作出最佳决策。例如，生产者面对消费者的各种喜好或竞争对手的策略要作出最佳决策；消费者面对琳琅满目的商品要根据它们的性能质量的好坏、价格的高低、外形的美观程度等选择自己最为满意的商品；毕业生要根据自己的专业特长、社会的需求情况、福利待遇的好坏等挑选最为合意的工作；科研单位要根据项目的科学意义和实用价值的大小、项目的可行性、项目的资助情况及周期长短等选择最合适的研究课题……。当我们面对这类决策问题时，容易发现，影响我们作决策的因素很多，其中某些因素存在定量指标，可以给以度量，但也有些因素不存在定量指标，只能定性地比较它们的强弱。在处理这类比较复杂而又比较模糊的问题时，如何尽可能克服因主观臆断而造成的片面性，较系统、全面地比较分析并作出较为明智的决策呢？第六十页，共一百零三页，2022年，8月28日Saaty.T.L等人在70年代提出了一种以定性与定量相结合，系统化、层次化分析问题的方法，称为层次分析法（AnalyticHiearchyProcess，简称AHP）。层次分析法将人们的思维过程层次化，逐层比较其间的相关因素并逐层检验比较结果是否合理，从而为分析决策提供了较具说服力的定量依据，层次分析法的提出不仅为处理这类问题提供了一种实用的决策方法，而且也提供了一个在处理机理比较模糊的问题时，如何通过科学分析，在系统全面分析机理及因果关系的基础上建立数学模型的范例。

一、层次分析的基本步骤层次分析过程可分为四个基本步骤：（1）建立层次结构模型；（2）构造出各层次中的所有判断矩阵；（3）层次单排序及一致性检验；（4）层次总排序及一致性检验。下面通过一个简单的实例来说明各步骤中所做的工作。第六十一页，共一百零三页，2022年，8月28日例8.13某工厂有一笔企业留成利润要由厂领导决定如何使用。可供选择的方案有：给职工发奖金、扩建企业的福利设施（改善企业环境、改善食堂等）和引进新技术新设备。工厂领导希望知道按怎样的比例来使用这笔资金较为合理。步1建立层次结构模型在用层次分析法研究问题时，首先要根据问题的因果关系并将这些关系分解成若干个层次。较简单的问题通常可分解为目标层（最高层）、准则层（中间层）和方案措施层（最低层）。与其他决策问题一样，研究分析者不一定是决策者，不应自作主张地作出决策。对于本例，如果分析者自行决定分配比例，厂领导必定会询问为什么要按此比例分配，符合决策者要求的决策来自于对决策者意图的真实了解。经过双方沟通，分析者了解到如下信息：决策者的目的是合理利用企业的留成利润，而利润的利用是否合理，决策者的主要标准为：（1）是否有利于调动企业职工的积极性，（2）是否有利于提高企业的生产能力，（3）是否有利于改善职工的工作、生活环境。分析者可以提出自己的看法，但标准的最终确定将由决策者决定。第六十二页，共一百零三页，2022年，8月28日根据决策者的意图，可以建立起本问题的层次结构模型如图8.7所示。合理利用企业利润调动职工积极性C1提高企业技术水平C2改善职工工作生活条件C3发奖金P1扩建福利事业P2引进新设备P3目标层O准则层C措施层P图中的连线反映了因素间存在的关联关系，哪些因素存在关联关系也应由决策者决定。第六十三页，共一百零三页，2022年，8月28日对于因果关系较为复杂的问题也可以引进更多的层次。例如，在选购电冰箱时，如以质量、外观、价格、品牌及信誉等为准则，也许在衡量质量优劣时又可分出若干个不同的子准则，如制冷性能、结霜情况、耗电量大小等等。建立层次结构模型是进行层次分析的基础，它将思维过程结构化、层次化，为进一步分析研究创造了条件。步2构造判断矩阵层次结构反映了因素之间的关系，例如图10.7中目标层利润利用是否合理可由准则层中的各准则反映出来。但准则层中的各准则在目标衡量中所占的比重并不一定相同，在决策者的心目中，它们各占有一定的比例。第六十四页，共一百零三页，2022年，8月28日在确定影响某因素的诸因子在该因素中所占的比重时，遇到的主要困难是这些比重常常不易定量化。虽然你必须让决策者根据经验提供这些数据，但假如你提出“调动职工积极性在判断利润利用是否合理中占百分之几的比例”之类的问题，不仅会让人感到难以精确回答，而且还会使人感到你书生气十足，不能胜任这一工作。此外，当影响某因素的因子较多时，直接考虑各因子对该因素有多大程度的影响时，常常会因考虑不周全、顾此失彼而使决策者提出与他实际认为的重要性程度不相一致的数据，甚至有可能提出一组隐含矛盾的数据。为看清这一点，可作如下设想：将一块重为1千克的石块砸成n小块，你可以精确称出它们的质量，设为w1,…,wn。现在，请人估计这n小块的重量占总重量的比例（不能让他知道各小石块的重量），此人不仅很难给出精确的比值，而且完全可能因顾此失彼而提供彼此矛盾的数据。

第六十五页，共一百零三页，2022年，8月28日设现在要比较n个因子X={x1,…,xn}对某因素Z的影响大小，怎样比较才能提供可信的数据呢？Saaty等人建议可以采取对因子进行两两比较建立成对比较矩阵的办法。即每次取两个因子xi和xj，以aij表示xi和xj对Z的影响大小之比，全部比较结果用矩阵A=(aij)n×n表示，称A为Z－X之间的成对比较判断矩阵（简称判断矩阵）。容易看出，若xi和xj对Z的影响之比为aij，则xj和xi对Z的影响之比应为。定义8.4若矩阵A=(aij)n×n满足（i）aij>0，（ii）（i,j=1,2,…,n），则称之为正互反矩阵（易见aii=1,i=1,…,n）。关于如何确定aij的值，Saaty等建议引用数字1~9及其倒数作为标度。他们认为，人们在成对比较差别时，用5种判断级较为合适。即使用相等、较强、强、很强、绝对地强表示差别程度，aij相应地取1,3,5,7和9。在成对事物的差别介于两者之间难以定夺时，aij可分别取值2、4、6、8。第六十六页，共一百零三页，2022年，8月28日从心理学观点来看，分级太多会超越人们的判断能力，既增加了作判断的难度，又容易因此而提供虚假数据。Saaty等人还用实验方法比较了在各种不同标度下人们判断结果的正确性，实验结果也表明，采用1~9标度最为合适。如果在构造成对比较判断矩阵时，确实感到仅用1~9及其倒数还不够理想时，可以根据情况再采用因子分解聚类的方法，先比较类，再比较每一类中的元素。步3层次单排序及一致性检验上述构造成对比较判断矩阵的办法虽能减少其他因素的干扰影响，较客观地反映出一对因子影响力的差别。但综合全部比较结果时，其中难免包含一定程度的非一致性。如果比较结果是前后完全一致的，则矩阵A的元素还应当满足：

i、j、k=1,2,…,n

第六十七页，共一百零三页，2022年，8月28日定义8.5满足（8.5）关系式的正互反矩阵称为一致矩阵。如前所述，如果判断者前后完全一致，则构造出的成对比较判断矩阵应当是一个一致矩阵。但构造成对比较判断矩阵A共计要作次比较（设有n个因素要两两比较），保证A是正互反矩阵是较容易办到的，但要求所有比较结果严格满足一致性，在n较大时几乎可以说是无法办到的，其中多少带有一定程度的非一致性。更何况比较时采用了1~9标度，已经接受了一定程度的误差，就不应再要求最终判断矩阵的严格一致性。如何检验构造出来的（正互反）判断矩阵A是否严重地非一致，以便确定是否接受A，并用它作为进一步分析研究的工具？Saaty等人在研究正互反矩阵和一致矩阵性质的基础上，找到了解决这一困难的办法，给出了确定矩阵A中的非一致性是否可以允忍的检验方法。第六十八页，共一百零三页，2022年，8月28日定理8.7正互反矩阵A的最大特征根λmax必为正实数，其对应特征向量的所有分量均为正实数。A的其余特征根的模均严格小于λmax。（证明从略）现在来考察一致矩阵A的性质，回复到将单位重量的大石块剖分成重量为

1,…,n的n块小石块的例子，如果判断者的判断结果完全一致，则构造出来的一致矩阵为容易看出，一致矩阵A具有以下性质：第六十九页，共一百零三页，2022年，8月28日定理8.8若A为一致矩阵，则（1）A必为正互反矩阵。（2）A的转置矩阵AT也是一致矩阵。（3）A的任意两行成比例，比例因子（即wi/wj）大于零，从而rank（A）=1（同样，A的任意两列也成比例）。（4）A的最大特征根λmax=n，其中n为矩阵A的阶。A的其余特征根均为零。（5）若A的最大特征根λmax对应的特征向量为W=（w1,…,wn）I，则aij=wi/wj，i,j=1,2,…,n。（注：（1）、（2）可由一致矩阵定义得出，（3）—（5）均容易由线性代数知识得到，证明从略）。第七十页，共一百零三页，2022年，8月28日定理8.9

n阶正互反矩阵A为一致矩阵当且仅当其最大特征根λmax=n，且当正互反矩阵A非一致时，必有λmax>n。证明：设正互反矩阵A的最大特征根为λmax，对应的特征向量为W=（w1,…,wn）T。

由定理，λmax>0且wi>0，i=1，…，n。又由特征根和特征向量的性质知，AW=λmax

W,

故

,i=1,…,n(8.7)（8.7）式两边同除wi且关于i从1到n相加，得到即（8.8）式的括号内共有项。

（8.8）

第七十一页，共一百零三页，2022年，8月28日现证明必要性，由一致矩阵性质（5），有，故由（8.8）式，得λmax=n。再证明充分性。由于(8.9)

当且仅当=1（即）时（8.9）式中的等号成立，故由（8.8）式λmax=n。因而当λmax=n时必有=1，于是aijajk=aiki,j,k=1,2,…,n成立，A为一致矩阵。当A非一致矩阵时，（8.9）式中的等号不能对一切i，j成立，从而必有λmax>n。

第七十二页，共一百零三页，2022年，8月28日根据定理8.9，我们可以由λmax是否等于n来检验判断矩阵A是否为一致矩阵。由于特征根连续地依赖于aij，故λmax比n大得越多，A的非一致性程度也就越为严重，λmax对应的标准化特征向量也就越不能真实地反映出X={x1,…,xn}在对因素Z的影响中所占的比重。因此，对决策者提供的判断矩阵有必要作一次一致性检验，以决定是否能接受它。

为确定多大程度的非一致性是可以允忍的，Saaty等人采用了如下办法：（1）求出，称CI为A的一致性指标。容易看出，当且仅当A为一致矩阵时，CI=0。CI的值越大，A的非一致性越严重。利用线性代数知识可以证明，A的n个特征根之和等于其对角线元素之和（即n）故CI事实上是A的除λmax以外其余n－1个特征根的平均值的绝对值。若A是一致矩阵，其余n－1个特征根均为零，故CI=0；否则，CI>0，其值随A非一致性程度的加重而连续地增大。当CI略大于零时（对应地，λmax稍大于n），A具有较为满意的一致性；否则，A的一致性就较差。第七十三页，共一百零三页，2022年，8月28日（2）上面定义的CI值虽然能反映出非一致性的严重程度，但仍未能指明该非一致性是否应当被认为是可以允许的。事实上，我们还需要一个度量标准。为此，Saaty等人又研究了他们认为最不一致的矩阵——用从1~9及其倒数中随机抽取的数字构造的正互反矩阵，取充分大的子样，求得最大特征根的平均值，并定义称RI为平均随机一致性指标。对n=1,…,11,，Saaty给出了RI的值，如表8.10所示。表8.10N1234567891011RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51第七十四页，共一百零三页，2022年，8月28日（3）将CI与RI作比较，定义称CR随机一致性比率。经大量实例比较，Saaty认为，在CR<0.10时可以认为判断矩阵具有较为满意的一致性，否则就应当重新调整判断矩阵，直至具有满意的一致性为止。综上所述，在步3中应先求出A的最大特征根λmax及λmax对应的特征向量W=（w1,…,wn）T，进行标准化，使得。再对A作一致性检验：计算，查表得到对应于n的RI值，求，若CR<0.1，则一致性较为满意，以i作为因子xi在上层因子Z中所具有的权值。否则必需重新作比较，修正A中的元素。只有在一致性较为满意时，W的分量才可用作层次单排序的权重。第七十五页，共一百零三页，2022年，8月28日现对本节例8.13（即合理利用利润问题的例子）进行层次单排序。为求出C1、C2、C3在目标层A中所占的权值，构造O－C层的成对比较矩阵，设构造出的成对比较判断知阵A=311153C1C2C3C1C2C30于是经计算，A的最大特征根λmax=3.038，CI=0.019，查表得RI=0.58，故CR=0.033。因CR<0.1，接受矩阵A，求出A对应于λmax的标准化特征向量W=(0.105,0.637，0.258)T，以W的分量作为C1、C2、C3在目标O中所占的权重。第七十六页，共一百零三页，2022年，8月28日类似求措施层中的P1、P2在C1中的权值，P2、P3在C2中的权值及P1、P2在C1中的权值：

1P231P1P2P1C113λmax=2，CI=CR=0W=(0.75,0.25)T15P31P2P3P2C