第四章 角动量守恒 刚体力学

第四章角动量守恒刚体力学第一页，共八十九页，2022年，8月28日§4－1角动量定理与角动量守恒1、质点对一参考点的角动量O定义：动量为的质点，相对某一参考点O的角动量（动量矩）为大小：方向：满足右手螺旋法则。一、质点的角动量定理与角动量守恒第二页，共八十九页，2022年，8月28日2、力对一参考点的力矩O定义：力F相对某一参考点O的力矩为：大小：方向：满足右手螺旋法则。若质点同时受多个力作用，则对一参考点的力矩矢量和等于合力对该点的力矩：第三页，共八十九页，2022年，8月28日3、质点对参考点的角动量定理、角动量守恒定律质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率—角动量定理。第四页，共八十九页，2022年，8月28日角动量守恒定律是自然界普遍适用的一条基本规律。力矩M=0的条件：（1）力臂r=0

（有心力作用），（2）力F=0，（3）r与F相互平行。若质点所受的合外力矩如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量矢量保持不变—角动量守恒定律。第五页，共八十九页，2022年，8月28日例1、质点运动时，位矢r在单位时间内扫过的面积称为掠面速度。试证明：作匀速直线运动的质点，其掠面速度为常数。解：质点作匀速直线运动，受合外力F＝0，因而对原点O的力矩＝0，对O点的角动量守恒。角动量大小因而掠面速度：第六页，共八十九页，2022年，8月28日例2、行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。解：行星在太阳引力（有心力）作用下沿椭圆轨道运动，因而行星在运行过程中，它对太阳的角动量守恒不变。因而掠面速度：第七页，共八十九页，2022年，8月28日rm2m1OR例3、发射一宇宙飞船去考察一质量为m1，半径为R的行星。当飞船静止于空间中距行星中心r=4R时，以初速v0发射一质量为m2(m2远小于飞船质量)的探测器，要使探测器正好能掠着行星表面着陆，角应多大？解：探测器飞行过程中只受到行星的引力，因而对O点的角动量守恒：又由机械能守恒：代入r=4R，求出第八页，共八十九页，2022年，8月28日4、质点对轴的角动量定理、角动量守恒定律Z动量为的质点对Z轴的角动量：为质点动量在与Z轴相垂直的平面上的分量，也在该平面上。Z同样，力对Z轴的力矩：为力在垂直于Z轴平面上的分量第九页，共八十九页，2022年，8月28日质点对轴的角动量定理为：力对Z轴的力矩等于质点对Z轴的角动量随时间的变化率。也可认为是质点对Z轴上任一点O的角动量定理在Z轴上的投影。当MZ=0时，LZ=常量—质点对轴的角动量守恒。第十页，共八十九页，2022年，8月28日解：小球运动过程中受重力和绳中张力的作用。张力不作功机械能守恒：mg例4、一小球用摆长为L的轻绳系于O点，开始时将小球移开使绳与竖直方向成角，并给小球一水平初速度v0使小球绕O点旋转，若希望在运动过程中，绳与竖直方向的最大瞬时夹角为90°，问v0

应多大？LO重力和张力都在竖直面上，对竖直轴无力矩，因而小球对竖直轴的角动量守恒：求出：第十一页，共八十九页，2022年，8月28日二、质点系的角动量定理、角动量守恒1、质点系对一参考点的角动量定理与角动量守恒设一质点系中各质点相对参考点O的位矢用(i=1,2,3,…)，各质点的运动速度用(i=1,2,3,…)表示，则质点系对O点的角动量为：质点系中各质点所受外力对O点的力矩和为：第十二页，共八十九页，2022年，8月28日而质点系中内力总是成对出现的，因而对同一参考点而言，内力矩之和总为零。因而质点系对一参考点的角动量定理为：质点系相对参考点O的角动量随时间的变化率等于所有外力对该点力矩的矢量和。当时，当外力对参考点O的力矩矢量和为零时，质点系对该点的角动量守恒。第十三页，共八十九页，2022年，8月28日2、质点系对轴的角动量定理与角动量守恒考虑质点系中质点都在垂直于Z轴的平面上运动的情形，可得出质点系对轴的角动量定理：质点系对Z轴的角动量随时间的变化率等于质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和。当质点系所受一切外力对Z轴的力矩之和=0时，质点系对Z轴的角动量守恒。第十四页，共八十九页，2022年，8月28日3、角动量守恒定律可以解释星系的圆盘形结构。观察表明银河系及许多星系都呈扁平的圆盘形结构。银河系最初可能是球形的，由于某种原因（如与其它星系的相互作用）而具有一定的角动量。正是这个角动量的存在，使球形的银河系不会在引力作用下凝聚（坍缩）成一团，而只能形成具有一定半径的圆盘形结构。这是因为在凝聚过程中，角动量守恒（r2ω=常量）要求转速随r的减小而增大，因而使离心力增大，它往往比引力增大得更快，最终引力会和离心力相互平衡，即角动量守恒限制了星系在垂直于转轴方向的进一步坍缩。但角动量守恒并不妨碍星系沿转轴方向的坍缩，因为对这种坍缩，角动量守恒不要求增加转速。故星系最终坍缩成圆盘状，在沿轴向坍缩过程中减少的引力势能将以辐射的形式释放掉。第十五页，共八十九页，2022年，8月28日三、质点系对质心的角动量定理和守恒定律前述角动量定理和角动量守恒定律都是相对某惯性系的，若参考系是一非惯性系，则还要考虑各质点所受的惯性力的力矩。选系统质心C为参考系，并设质心具有加速度

,质点系相对质心C的角动量为，用表示作用在质点系上各外力对质心C的力矩矢量和，再考虑各质点所受的惯性力矩，有：第十六页，共八十九页，2022年，8月28日因而在质心系中，有：即质心系中的角动量定理和惯性系中的角动量定理有完全相同的形式。这说明质心系的特殊和重要。第十七页，共八十九页，2022年，8月28日§4－2对称性、对称性与守恒定律一、自然界中的对称性对称是自然界固有的一种属性。如球体关于球心对称；圆柱体关于轴对称；人和动物“左、右”对称；花、草有对称性；各种建筑物也“左、右”对称，等。人们也习惯了“对称”之美。第十八页，共八十九页，2022年，8月28日我们要给对称性下一个较严格的定义：若对某一几何形体施行某种操作后会使其状态与初态完全相同，则称它具有对称性。常见的对称性有:平移对称性：如果一个形体发生一平移后，它和原来一模一样，那么该形体具有空间平移对称性。转动对称性:

如果一个形体绕某一固定轴转动一个角度，它又和原来一模一样,则称它具有转动对称性。左右对称又称镜象对称性:人们照镜子时，镜中的像与你实际上是不同的，你的像将你的左、右对换了。所以镜象对称操作也称为空间反演变换。第十九页，共八十九页，2022年，8月28日二、物理定律的对称性物理学中讨论的对称性要比上述形体上的对称性有更深的内涵。物理学家认为，若某一事物、某一性质、某一规律在某种变换之后仍保持不变，就称其具有对称性，也称为在这种变换下的不变性。由于事物在变换后完全复原，因而在变换前、后是不能区分的，也无法作出辨别性的测量。故物理学中将对称性、在变换下的不变性、不可区分性和不可测性四者给予相同的涵义。物理学中也研究几何对称性，但更重要的是物理定律的对称性，即物理定律在某种变换下的不变性。这些变换包括：时间平移、空间平移和转动、空间镜像、惯性系坐标变换等。第二十页，共八十九页，2022年，8月28日物理定律的时间平移不变性：无论是过去、现在还是将来，物理定律都不会改变。一个实验只要不改变实验条件和使用的仪器，不管是昨天、今天还是明天去做，都应得到相同的结果。这一事实表明物理定律具有时间平移的对称性。或者说对物理定律而言，时间有均匀性。物理定律的空间平移不变性：物理定律在空间中任何位置上都相同。这一性质称为物理定律的空间平移对称性，即对物理定律而言，空间具有均匀性。物理定律的空间转动不变性:物理定律在空间所有方向上都相同,不管将实验仪器在空间中如何转向,只要实验条件相同,就应得到相同的实验结果。这一性质称为物理定律的空间转动不变性，或者说对物理定律而言，空间为各向同性。第二十一页，共八十九页，2022年，8月28日物理定律的镜像不变性：著名的物理学家费因曼讲过一个例子：若依据一只钟的镜像制作出另一只钟，并将这两只互为镜像的钟的发条上的一样紧，则这两只钟将以相同的速率走动，它们遵从相同的力学定律。类似地，若制造出两台互为镜像的电动机，这两台电动机也应遵从相同的电磁学定律。可见，物理定律在镜像变换下具有不变性，或者说对物理定律而言，空间是左、右对称的。物理定律的惯性系变换不变性：按相对性原理，当从一个惯性系变换到另一个惯性系时，物理定律保持不变。这表明对物理定律而言，所有的惯性系是完全对称的。第二十二页，共八十九页，2022年，8月28日物理定律的对称性都可用一种否定的形式来表述：人们无法通过任何物理实验来确定人们所处的时间绝对值、所在的空间绝对位置、空间绝对方向，也不能确定绝对的左和右。在参考系内做任何实验也无法确定参考系在空间的绝对速度。物理定律的对称性归根到底反映了我们所处时空的特性。三、物理定律的对称性与守恒定律由于物理定律具有某种对称性，就以相应的方式限制了物理定律，继而使遵循物理定律的物质体系的运动受到某种制约，这种制约就是物质体系在运动中保持某个物理量为恒量。于是物理定律的一种对称性就导致一条守恒定律，反之有一条守恒定律也必定有一种对称性与之相应。第二十三页，共八十九页，2022年，8月28日不可测量性物理定律变换不变性守恒定律时间绝对值时间平移能量空间绝对位置空间平移动量空间绝对方向空间转动角动量空间左和右空间反演宇称惯性系等价伽利略变换洛伦兹变换时空绝对性时空四维间隔带电粒子与中性粒子的相对位置电荷规范变换电荷重子与其它粒子的相对位置重子规范变换重子数轻子与其它粒子的相对位置轻子规范变换轻子数粒子与反粒子电荷共轭电荷宇称第二十四页，共八十九页，2022年，8月28日例1

空间平移对称性与动量守恒定律

设由两个质点组成的封闭系统，二者间只存在保守内力（如引力）的相互作用，如图所示。将两个质点沿同一方向平移，二者的相互作用势能改变：但因空间具有平移对称性，平移后两质点的相对位置不变，因而势能不变，即。因此有：即第二十五页，共八十九页，2022年，8月28日例2、空间旋转对称性与角动量守恒设两质点位于以O点为圆心，R为半径的圆周上，二者对圆心的连线之间的夹角为θ，让两质点在此圆周轨道上沿同一方向转过的角度dθ，如图所示。在此过程中系统势能改变量O，，其中分别是力对O点的力矩。由于空间具有旋转对称性，旋转后两质点的相对位置不变，因而势能应不变。即第二十六页，共八十九页，2022年，8月28日四、对称性的自发破缺一个原先具有较高对称性的体系，在没有受到任何不对称因素的影响下，突然间对称性明显下降的现象称为对称性的自发破缺。当系统中存在或受到破坏对称性的微拢时，若这种微拢会被不断地放大，最终就会出现明显的不对称，产生对称性的自发破缺。设想将一支削得十分均匀的铅笔笔尖朝下竖立在桌面上，放手后只要有十分微小的一点点拢动，笔就会倒下，笔未倒之前，对竖直轴线具有轴对称性，倒下后这种对称性就被打破了，出现对称性的自发破缺。目前，人们应用对称性原理有三个逻辑步骤：⑴假设某个绝对量不可观测；⑵导出时空的某种对称性即物理定律在某种变换下的不变性；⑶推出某条守恒定律第二十七页，共八十九页，2022年，8月28日这种对称性的自发破缺何时发生、在何处发生都具有偶然性。运动的多样性的一个重要表现，是自然界同时显现出许多不同类型的对称性。这些对称性互相交织在一起，在演化过程中不断地有对称性发生破缺，同时往往又显现出新的对称性。对称是美丽的，但若完全对称又会显得单调、平淡而缺乏生机，真正的美正是对称与不对称的完美结合，那蜿蜒曲折、此起彼伏而又错落有致的层层山峦不正是大自然创造出的美景吗？

对称性导致守恒而对称性的自发破缺则产生变化，二者的有机结合才有了大自然的变化莫测和多彩多姿。第二十八页，共八十九页，2022年，8月28日§4－3刚体运动的描述刚体是一种特殊的质点系统，无论在多大外力作用下，系统内任意两质点间的距离始终保持不变。形状、大小都不变的物体称为刚体。刚体是可以忽略由于受力而引起物体形状和体积改变的理想模型。第二十九页，共八十九页，2022年，8月28日一、刚体的平动：刚体运动时，刚体上任一条直线的位置始终保持彼此平行，称为平动。此时，刚体中所有质点的位移、速度和加速度都相同，可任选刚体上一点的运动来代表。即刚体的平动满足质心运动定理：第三十页，共八十九页，2022年，8月28日二、刚体的定轴转动：刚体绕一固定直线（转轴Z）的转动。z此时轴外各质点都在垂直于转轴的平面上作圆周运动，在同一时间间隔内，走过的弧长虽不同，但角位移，因而角速度、角加速度都一样。适合用圆周运动的角量描述：第三十一页，共八十九页，2022年，8月28日三、刚体的定点转动：刚体绕一固定点O的转动，称为定点转动。实际上，在任一瞬时，刚体上都存在一条轴线（瞬时转轴Z）各质点都在垂直于瞬时转轴的平面上作圆周运动。zO与定轴转动不同的是，此瞬时转轴的方位，在空间中不断变化。若能确定出瞬时转轴的方位（三个方位角，，中的两个），接下来就与定轴转动毫无差别了。第三十二页，共八十九页，2022年，8月28日角速度矢量：定义刚体转动的角速度为矢量。

方向：沿(瞬时)转轴，与转动方向成右手螺旋关系。大小：角速度可定义为矢量，是因为角速度合成时符合平行四边形法则。演示实验角速度矢量合成第三十三页，共八十九页，2022年，8月28日注意：角速度是矢量，因而无限小的角位移是矢量，但有限大的角位移合成结果与转动的先后次序有关，不服从交换律，因此它一般不是矢量。演示动画：转动的次序影响转动结果角加速度矢量：因角速度是矢量，所以角加速度也是矢量。对定轴转动，均沿转轴方向。第三十四页，共八十九页，2022年，8月28日四、刚体的平面运动：刚体在运动过程中，各质点均在平面内运动，且这些平面均与一固定的平面平行，称为平面运动。如车轮沿一直线的滚动。可认为：平面运动=质心平动+过质心轴的定轴转动演示:车轮的无滑动滚动第三十五页，共八十九页，2022年，8月28日五、刚体的一般运动：

刚体的一般运动=平动+定点转动。演示动画手榴弹的运动第三十六页，共八十九页，2022年，8月28日§4－4刚体定轴转动一、刚体定轴转动的角动量质点mi的动量mi对O点的角动量刚体对O点的角动量：通常角动量与角速度的方向并不一致。演示：刚体对点的角动量第三十七页，共八十九页，2022年，8月28日刚体对定轴Z的角动量LZ定义：刚体对Z轴的转动惯量I有：第三十八页，共八十九页，2022年，8月28日二、刚体转动惯量的计算rdm刚体对某一转轴的转动惯量I，是刚体转动时惯性大小的量度。其地位和作用都有与质点动力学中的质量m相当。常用的计算方法有：积分法：dm为质量元，简称质元。r为质元到转轴的距离。I与质量大小、质量分布、及转轴位置有关。演示：影响刚体转动惯量的因素第三十九页，共八十九页，2022年，8月28日常见刚体的转动惯量第四十页，共八十九页，2022年，8月28日例1求质量为m，长为l的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：(1)转轴通过棒的中心并和棒垂直；(2)转轴通过棒的一端并和棒垂直。解：(1)在棒上离轴x处，取一长度元dx，设棒的质量线密度为，则dm=dx，有：（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时：第四十一页，共八十九页，2022年，8月28日例2求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，它的转动惯量为：积分：注意：I与h无关一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心轴的转动惯量也与上述结果相同。第四十二页，共八十九页，2022年，8月28日平行轴定理：dICCIDIC、ID分别是刚体对过质心轴，和与之相平行的另一转轴的转动惯量。两转轴间距为d薄板的正交轴定理：yxzoX,Y轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。第四十三页，共八十九页，2022年，8月28日例3、质量m，长为l的四根均匀细棒，组成一正方形框架，绕过其一顶点O并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。Om,lC解：由平行轴定理，先求出一根棒对框架质心C的转动惯量：因而框架对质心C的转动惯量再次用平行轴定理，得：第四十四页，共八十九页，2022年，8月28日OIR例4、一质量为m，半径为R的薄圆盘，绕与盘边相切的轴转动，求转动惯量IZXY解：取图示坐标系，已知由垂直轴定理得又由平行轴定理，有第四十五页，共八十九页，2022年，8月28日三、刚体定轴转动的角动量定理、转动定律把刚体看成是质点组，由质点组角动量定理得出刚体定轴转动的角动量定理：刚体对轴的外力矩总和=刚体对轴的角动量变化率。或用冲量矩写成：通常，给定的刚体的IZ为常量，得出转动定律：第四十六页，共八十九页，2022年，8月28日例5一质量为M，半径为R的定滑轮（当作圆盘）上面绕有细绳。绳的另一端挂一质量为m的物体而下垂忽略轴处摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时滑轮的角速度。对物体m，由牛顿第二定律滑轮和物体的运动学关系为解：对定滑轮M，由转动定律，对于轴O，有第四十七页，共八十九页，2022年，8月28日物体下落高度h时的速度这时滑轮转动的角速度以上三式联立，可得物体下落的加速度为第四十八页，共八十九页，2022年，8月28日例6

待测物体装在转动架上，细线的一端绕在半径为R的轮轴上，另一端通过定滑轮悬挂质量为m的物体。测得m自静止下落高度h的时间为t，求待测刚体对转轴的转动惯量。忽略各轴承的摩擦、滑轮质量，已知转动架的转动惯量为I0解：对物体m，应用牛顿定律：对待测物体，应用转动定律：并有关系式：求出：TT第四十九页，共八十九页，2022年，8月28日例7

如图，以水平力f打击悬挂在P点的刚体，打击点为O，若打击点选择合适，则打击过程中轴对刚体的切向力Ft=0，该点称为打击中心。求打击中心到轴的距离rO解：刚体在水平外力f的力矩作用下定轴转动。由转动定律，有：刚体质心的切向加速度为αCt=rCβ，沿此方向的运动方程为:当Ft=0时，得对细棒第五十页，共八十九页，2022年，8月28日例8

一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速度ω。已知棒长为l，质量为M解：以f代表棒对子弹的阻力，对于子弹有子弹对棒的反作用力f’对棒的冲量矩为因f=f’，有第五十一页，共八十九页，2022年，8月28日例9

两个均匀圆柱各自绕自身的轴转动，两轴互相平行。圆柱半径和质量分别为R1,R2,M1,M2.开始时两柱分别以角速度ω1,ω2同向旋转。然后缓缓移动它们，使之互相接触。求两柱在相互之间摩擦力的作用下所达到的最终角速度ω’1、ω’2.解：最终状态是两柱表面没有相对滑动，即ω’1、ω’2方向相反，并满足由于两柱接触时摩擦力f大小相等,方向相反，它们的冲量矩的大小正比于半径，方向相同：第五十二页，共八十九页，2022年，8月28日消去得：解出其中用到两圆柱体的转动惯量公式：请考虑，此例中由两柱所构成的系统总角动量守恒吗？为什么？第五十三页，共八十九页，2022年，8月28日例题一质量为m、半径为R的匀质圆盘绕通过盘心且垂直于盘面的光滑轴正以o的角速度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，圆盘与桌面间的摩擦系数为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？解摩擦力是分布在整个盘面上的，计算摩擦力的力矩时，应将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环积分。故摩擦力矩为rdro于是得第五十四页，共八十九页，2022年，8月28日rdro由=

o+t=0得又由2-o2=2，所以停下来前转过的圈数为第五十五页，共八十九页，2022年，8月28日四、刚体定轴转动的角动量守恒定理由前知当MZ=0时，LZ=常量刚体对轴的角动量守恒。或在前后任意两个时刻，有：此式也适用于刚体的转动惯量有发生变化的情形。例如跳水、冰上芭蕾舞、茹可夫斯基凳等。演示：茹可夫斯基凳第五十六页，共八十九页，2022年，8月28日解系统:圆盘+人。系统什么量守恒？(1)外力(重力和轴的支撑力)对转轴的力矩为零，所以系统角动量守恒，于是有(I盘+I人)O=I盘

+m人v(R/2)

上式正确吗？显然是错误的。oR/2例题:匀质园盘(m、R)与一人(m/10,视为质点)一起以角速度o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动,如图所示。如果此人相对于盘以速率v、沿半径为R/2的园周运动(方向与盘转动方向相反),求:(1)圆盘对地的角速度;(2)欲使园盘对地静止，人相对园盘的速度大小和方向？第五十七页，共八十九页，2022年，8月28日所以在应用角动量守恒定律求解问题时，应代入人相对于惯性系(地面)的角速度。正确的式子是：解出：R/2(2)欲使盘静止，可令得式中负号表示人的运动方向与盘的初始转动(o)方向一致。角动量守恒定律只适用于惯性系。第五十八页，共八十九页，2022年，8月28日五、刚体定轴转动的动能定理1、力矩的功外力Fi使刚体转动一微小角度d

所作的元功：刚体转过有限大角度时力矩的功有多个力矩作用在刚体上时：第五十九页，共八十九页，2022年，8月28日2、定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能：为刚体各质点动能之和因得到外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理：第六十页，共八十九页，2022年，8月28日3、刚体的重力势能刚体的重力势能是组成刚体的各个质点重力势能之和刚体的重力势能相当于质量集中在刚体质心C的重力势能。ohihcxmCmy对于包含刚体的系统，功能原理仍然成立：系统外力所作的功与系统非保守内力所作的功之和等于系统机械能的增量。第六十一页，共八十九页，2022年，8月28日解：细棒下降过程中只有重力矩做功。杆重心下降了l/2,应用机械能守恒：例1一质量为m、长为l的均匀细棒OA可绕通过其一端的光滑轴O在竖直平面内转动。今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时下端点A的速度，和O点处的受力。OAG第六十二页，共八十九页，2022年，8月28日设在竖直位置时，杆在O点受力N，将它分解成水平与竖直的两个分量。由于此时N与G都过转轴O，对O点的力矩=0。由转动定律知，棒转动的角加速度=0因而ONnNtNGC第六十三页，共八十九页，2022年，8月28日例2.设杆的一端固定,可绕O点在竖直平面内转动,杆长为L,杆与物体的质量都是M。质量为m的子弹穿过物体后速度由v减至v/2,开始时物体静止在最下方,问当物体能在竖直平面内完成圆周运动时子弹的速度至少是多少?物体的大小可不计.解:射穿过程中,系统对O轴的角动量守恒。转动过程中,系统的机械能守恒：mOvLV/2M其中第六十四页，共八十九页，2022年，8月28日例3质量M长L的均匀细杆可绕过O点的水平轴转动，初始时杆静止于竖直位置质量m的小球以v0垂直撞向杆的下端与杆发生完全弹性碰撞，求碰后小球回弹速度v,杆角速度及上摆的最大角度M,Lm,v0O解：相撞过程系统对O轴的角动量守恒；撞前后动能相等，上摆过程机械能守恒：求出第六十五页，共八十九页，2022年，8月28日4－5刚体平面运动动力学一、刚体的动量，质心运动定理，动能1、刚体的质心：前面已知质点系的质心取刚体中小质元dm，其位矢为，则刚体的质心：或：第六十六页，共八十九页，2022年，8月28日2、刚体的动量，质心运动定理定义刚体的动量其中m是刚体质量，是刚体质心运动速度。若刚体所受外力矢量和为零，则刚体的动量守恒。质心运动定理：其中是作用在刚体上所有外力的矢量和，是刚体质心加速度。3、平面运动刚体的动能第六十七页，共八十九页，2022年，8月28日二、刚体平面运动基本方程刚体平面运动=质心平动+绕过质心轴的定轴转动质心平动基本方程过质心轴的定轴转动基本方程实际上，刚体质心的平动与一个质点的运动没有区别，因而可应用质点动力学的所有公式；同样，绕质心轴的定轴转动也可应用定轴转动的所有公式。第六十八页，共八十九页，2022年，8月28日例1质量为m、半径为R的均质圆柱，在水平外力作用下，在粗糙的水平面上作纯滚动，力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l，求质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力。lFacbf解：设静摩擦力f的方向如图，则由质心运动方程圆柱对质心的转动定律纯滚动条件为又求出当R>2L时，f>0,向后；当R<2L时，f<0,向前。第六十九页，共八十九页，2022年，8月28日例2长l质量m的均匀直杆，在光滑的水平桌面上由竖直位置自然倒下。求当杆与竖直线的夹角为时杆质心的速度和转动角速度。ycA解：只有重力作功，故系统机械能守恒。设杆与竖直线的夹角为时杆质心速度为vc，杆的角速度为，由机械能守恒定律有其中从A点运动叠加可知解出第七十页，共八十九页，2022年，8月28日例3圆盘质量为m，半径为R，初始角速度为ω0（逆时针转动），质心初始速度vc0向右，圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为，讨论其运动。

Rfvc解：开始阶段，由于质心初始速度向右，圆盘逆时针转动，圆盘必定是又滚又滑，所受摩擦力为滑动摩擦力。在摩擦力作用下无论是质心速度还是角速度均要随时间而衰减。有：求出第七十一页，共八十九页，2022年，8月28日圆盘作纯滚动的条件为：由此求出圆盘开始作纯滚动的时刻圆盘开始作纯滚动后，滑动摩擦力变为零，将保持此质心速度和角速度一直运动下去。可求出：可见，圆盘的实际运动取决于ω0、vc0和R的大小。

情形一2vc0>0R情形二

2vc0<0R情形三

2vc0=0R第七十二页，共八十九页，2022年，8月28日例4质量m,半径R的球体，从高h的斜面上由静止开始无滑动滚下，求它到底部时质心速度和转动角速度解：纯滚动时摩擦力不作功，机械能守恒：纯滚动条件：对实心球体求出第七十三页，共八十九页，2022年，8月28日例5

在光滑的桌面上有一质量为M、长2l的细杆，一质量为m的小球沿桌面以速率v0垂直地撞击在细杆的一端。设碰撞是完全弹性的，求碰后球和杆的运动情况解：设碰撞后小球和杆的质心速度分别为v1和vC，杆绕质心的角速度为ω，有动量守恒：关于质心角动量守恒：碰前后系统动能相等求出第七十四页，共八十九页，2022年，8月28日OR1R2Mm例半径R1,R2的两滑轮同轴合在一起，总质量M，对质心轴转动惯量IC。内轮上缠绕的细线悬挂于天花板，外轮上也用细线悬挂另一重物。求物体加速度，滑轮质心加速度、角加速度，及细线中张力。T1T2aac解：画出受力和加速度如图。列出方程组：求出第七十五页，共八十九页，2022年，8月28日4－6刚体的平衡刚体平衡的充分必要条件是它所受合外力=0；对任意一参考点的合外力矩=0：例1

一架均匀的梯子，重为W，长为2l，上端靠于光滑的墙上，下端置于粗糙的地面上，梯与地面的摩擦系数为μ。有一体重W1的人攀登到距梯下端l1的地方。求梯子不滑动的条件。第七十六页，共八十九页，2022年，8月28日解：设梯子不滑动，它与地面夹角为，地面与墙的法向力分别为N1和N2，地面摩擦力为f。力平衡方程为1力矩的参考点可以任意选择。为了简单，可以选图中N1和N2延长线的交点C。求出梯子不滑的条件第七十七页，共八十九页，2022年，8月28日即1对于一定的倾角，人所能攀登的高度为角愈大允许人攀登得愈高；μ愈大允许人攀登得也愈高。如果要求攀到一定的高度l1，则要求梯子的倾角l1愈小允许愈小，μ愈大允许愈小。

第七十八页，共八十九页，2022年，8月28日天平灵敏度问题。天平的主要结构是通过刀口架在立柱上的一根横梁，其两端挂有秤盘。横梁的重心必须在刀口的下方。通常灵敏天平的横梁的下方都固联一根摆动指针，针上装有一个螺丝，用以调节重心的高低。第七十九页，共八十九页，2022年，8月28日求出或如图，设刀口在O，臂长为l，横梁重为W0，重心在C点,OC=h。两边重量稍有不同，此时横梁倾角为。这是刚体绕定点转动的平衡问题，只需一个平衡方程：OChLW+△WW定义天平灵敏度为提高天平灵敏度，可把重心螺丝向上旋，以减小h。第八十页，共八十九页，2022年，8月28日4－7自转与旋进一、陀螺仪陀螺仪的轴装在内环上，它又可绕AC轴相对于内环转动。AC、BD、EF三轴两两垂直，而且都通过陀螺仪的重心。这样，陀螺仪就不受外力矩，且能在空间任意取向。陀螺仪是一个边缘厚重的轴对称转盘，可绕对称轴转动。转轴装在一个常平架上。常平架是由支在框架S上的两个圆环组成，外环能绕EF轴转动，内环可绕BD轴相对于外环转动，第八十一页，共八十九页，2022年，8月28日刚体不受外力矩时