第六章二次型的正定性_第1页
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第六章二次型的正定性第一页，共十三页，2022年，8月28日定义5设二次型的任意一个标准形为则其中正项项数称为f的正惯性指数，负项项数称为f的负惯性指数，正惯性指数与负惯性指数的和r称为f的惯性指数．第二页，共十三页，2022年，8月28日例如，二次型的正惯性指数等于3;的正惯性指数等于3，负惯性指数等于1．因此，二次型的惯性定理可以表述为二次型的正惯性指数、负惯性指数及惯性指数在可逆线性变换下都不变．

在二次型中，比较常用的是二次型的标准形的n个系数全为正或全为负的情形．第三页，共十三页，2022年，8月28日定义6

设二次型，如果对任何非零向量X，都有（1），则称f为正定二次型，且称矩阵A为正定矩阵；（2），则称f为负定二次型，且称矩阵A为负定矩阵；既不是正定二次型也不是负定二次型的二次型称为不定二次型

二次型的正定、负定或不定统称为二次型的正定性．例如二次型，仅当时，f=0，除此之外，无论取何值，总有因此，f是正定二次型．第四页，共十三页，2022年，8月28日定理8

（1）二次型为正定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正；（2）二次型为负定的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为负；推论（1）n阶实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是：A的n个特征值全为正．（2）n阶实对称矩阵A为负定矩阵的充分必要条件是：A的n个特征值全为负．第五页，共十三页，2022年，8月28日由以上结论可知，要判断二次型的正定性，需将其化为标准形或求出对称矩阵A的全部特征值．下面将介绍一个利用矩阵的顺序主子式判断矩阵正定性的方法：第六页，共十三页，2022年，8月28日定义7

n阶方阵的左上角r阶方阵的行列式称为A的r阶顺序主子式．第七页，共十三页，2022年，8月28日定理9（1）n阶实对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正，即（2）n阶实对称矩阵为负定矩阵的充分必要条件是：A的奇数阶顺序主子式都为负，偶数阶顺序主子式都为正．即第八页，共十三页，2022年，8月28日例27判别二次型的正定性．解利用配方法将f化为标准形．第九页，共十三页，2022年，8月28日令则由于二次型f的标准形的系数有正有负，故f不是正定二次型，也不是负定二次型即f是不定二次型．第十页，共十三页，2022年，8月28日例28

判别二次型的正定性.解

f的矩阵为由于A的各阶主子式故矩阵A的各阶顺序主子式都为正，从而二次型f是正定二次型．第十一页，共十三页，2022年，8月28日例29判别二次型的正定性．解

f的矩阵为由A的特征多项式求得A的特征值为因为A的3个特征值全为负，故A是负定矩阵，从而f是负定二次型．第十二页，共十三页，2022年，8月28日例30t满足什么条件时，二次型是正定的．解f的矩阵为要使f为正定二次型，则矩阵A

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