第六章插值计算与插值多项式模型

第六章插值计算与插值多项式模型第一页，共十五页，2022年，8月28日

线性插值

线性插值是最简单的插值方法，设已知函数y=f(x)，在x0、x1处的值分别为y0，y1，则过点（x0，y0），(xl，y1)的连线方程为[x。,x1]内任一点的插值为也可以推广为这样处理实际上是将n十1个点（x。，y。），（xl，y1…（x。，yn）顺序连接成折线近似代替原来的曲线y=f(x)。只有当线性关系非常好的时候，计算才较准确。第二页，共十五页，2022年，8月28日6．3拉格朗日插值6.3.1插值多项式模型已知函数y=f(x)在n个点xi上的值f(xi)（记作yi＝f（xi），i=l，2，…n），求一个低于n的插值多项式Ln-1（x），使Ln-1（xi）＝yi（i＝1,2，…n）拉格朗日插值法求多项式Ln-1（xi）模型为这是一组n—1次多项式、其分母是n—1个一次式之积，分子每一个因子都是（x-xi）形式，且缺少（x-xi；）因子；分母是xi代替分子中的x而得到，不包含x在内，且xl，x2，…xn是互不相同的，所以分母不为零。数学上可以证明这种多项式可以满足Ln-1（x）=y的要求，而且是唯一的。当n=2，拉格朗多项式即为线性插值。第三页，共十五页，2022年，8月28日当n=3，上述多项式即为典型的抛物线插值多项式，为常用公式之一。

拉格朗日多项式形式简单、对称，便于计算机编程计算；但计算工作量较大，而且当全部点作插值时，舍人误差也大，多项式次数较高，曲线的波动较大，一般计算时，取距插值点j较近的几个点进行插值计算。第四页，共十五页，2022年，8月28日拉氏插值模型的余项估计用拉氏插值多项式模型表示函数f(x)时，引起的误差由Rn-1(x)=f(x)-Ln-1(x)给出。或写成如下形式K值由微分中值定理导出式中ξ满足：min（x1，x2，…xn）≤ξ≤max（x1，x2，…xn）故余项可表达为如果f（x）的n阶导数f(n)(x)在区间[xl，xn]的绝对值最大值或上界为Mn（常数），则导出由此可知，余项大小不仅与f(x）的n阶导数有关，而且还与插值点的位置密切有关。第五页，共十五页，2022年，8月28日例6．l已知一氧化碳在溶液中的溶解度为：t（℃）0135溶解度xi0.33460.32130.2978O.2774求4℃时溶解度为多少？解：取二次拉格朗日模型进行插值计算。Ln-1（x）模型为当X=4℃时第六页，共十五页，2022年，8月28日例题6．l的Excel解法依次将原始数据输人表格的前面两列；然后输人插值点；按照公式依次输人Wi和Wj：乘Yl的计算公式。由于Excel具有输人公式，自动显示计算结果的能力，所以可以直接在屏幕上看到相应的计算结果，最后在最下面的一行中输人求和计算公式：=SUM（E3：E5）得到预料中的计算结果数值0.287213。温度t溶解度x插值点ωω*y00.334610.3213-0.125-0.0401630.297840.750.2233550.27740.3750.1040250.287213第七页，共十五页，2022年，8月28日牛顿插值

牛顿插值多项式的数学模型

如果将函数f(x)在诸点x0，x1，…xn满足：xi=xi-1十h上的函数值f(x0)，f(x0＋h)，f（x0十2h），f（x0十3h）…f（x0＋nh）简记为f0，f1，f2…fn将相邻两数相减得简记为上述各式称为一阶差分；类似地，二阶差分i阶差分为或简记为第八页，共十五页，2022年，8月28日

差商是设函数f(x)以及自变量的一系列互不相等的值为：x0，x1，…xn，所谓不相等，即在f≠j时，有xi≠xj，此时称为一阶差商。同样二阶差商：其余类推。如果x0，x1，x2，…xn是等步长的，且步长为h，即x1=x0十h；x2=x0＋2h，…xn=x0十nh；则m阶差商与差分的关系为注意：等式右边为常数！若各数据点m阶差商为常数，则说明已不用再计算更高一阶差商值。第九页，共十五页，2022年，8月28日牛顿插值多项式为当n=3点计算时；上式可写成：第十页，共十五页，2022年，8月28日例：6.2某流体实测温度与粘度的关系如下表所示；试求出t=25℃时的粘度值。解：用牛顿插值计算首先求一阶差分，二阶差分…并列入表中：T℃μ△△2△3△4201.0051-0.04720.0035-0.0003-0.0001220.9579-0.04370.0032-0.0004-0.0000240.91442-0.04050.0028-0.004260.8737-0.03370.0024280.8360-0.0353300.8007由表可以看出，△3已接近常数，故代人牛顿插值公式y0＝μ0=1.0051；x0＝20，x1＝22;…y＝μ；x=25，h＝x1-x0＝2所以第十一页，共十五页，2022年，8月28日例6.3某二元物质，溶质在溶剂中的溶解度C与溶剂组成X的关系如下表。试用差分法确定两者之间的模型关系。XCC△△2C△3CC计算0.10.2120.2510.580.140.2110.20.4630.3090.720.190.4630.30.7220.3810.910.190.7710.41.1530.4720.1100.181.1520.51.6250.5820.1280.211.6250.62.2070.7100.1490.142.2070.72.9170.8590.1630.182.9180.83.7760.10220.1813.7750.94.7980.1023/4.7971.06.001/6.001解：设所求的多次式模型为第十二页，共十五页，2022年，8月28日此时h=0.1，并将求得的代人式中，即有展开化简得到：C=-0.0024十2.017x十0.965x2十3.021x3对于内在数学规律复杂的数据，要使插值函数P（xi）尽量接近真实函数f(xi)，减小在插值点上的误差，插值多项式的次数则应高一些为好。但插值多项式的次数高了又会造成误差积累过大。为解决这一矛盾，可以将原始数据分段，分布采用次数较低的多项式插值。但在不同数据段接点上，由于插值函数不同，会造成曲线不光滑。在很多实际应用场合，这又是不允许的。如时间设备的外形尺寸放样等问题。因此又出现了新的插值方法。如能保证P（xi）=f(xi)=yi，P‘（xi）=f’(xi)=y‘i的Hemit插值，保证P（xi）=f(xi)=yi，P‘（xi）=f’(xi)=y‘i，P‘’（xi）=f’‘(xi)=y‘’i的样条函数插值等。第十三页，共十五页，2022年，8月28日6．5样条插值

上用多项式插值时，当插值结点很多时，作一个高次插值多项式是不理想的，通常采用分段插值法。然而分段插值只能保证插值曲线连续，不能保证光滑，即节点处的导数不连续。样条插值就是既能够保证结点处曲线连续，又能保证光滑的一种计算方法。本节只讨论常用的三次样条插值,其特点是它可保证拟合曲线一阶及二阶导数连续。插值多项式次数不高，为三次。一阶及二阶导数可不通过求导计算设曲线y=f(x)通过平面上n个点（xi，yi），假定a＜x1＜x2…＜xn=b，于是，三次样条插值函数S（x）就是满足如下条件的函数。（1）S（xi）=yi（i=1，2，…，n）（2）S（x）在插值区间[a，b]上有一阶及二阶连续导数，以保证曲线的光滑。（3）在每个子区间[xi，xi-1]上,s(x)均为三次多项式。可见，三次样条插值函数是一个分段函数，它在每个子区间上都是x的三次多项式，但通常又是不相同的，同时，它在各分段结点处又都有一阶及二阶导数连续。第十四页，共十五页，2022年，8月28日子区间[xi，xi＋1]三次样条插值公式为：(i=1,2,n-1)式中hi=xi＋1－xi；是任一