第五节二维随机变量函数的分布

第五节二维随机变量函数的分布第一页，共四十页，2022年，8月28日3.5.1和的分布3.5.1.1离散型随机变量和的分布3.5.1.2连续型随机变量和的分布3.5.4极值分布第五节二维随机变量的函数分布第二页，共四十页，2022年，8月28日二维随机变量的函数的分布设

是二维随机变量,

其联合分布函数为

是随机变量

的二元函数

的分布函数问题：如何确定随机变量Z的分布呢？

第三页，共四十页，2022年，8月28日一、离散型分布的情形例1

若X、Y独立，P(X=k)=ak,k=0,1,2,…,

P(Y=k)=bk,k=0,1,2,…,

求Z=X+Y的概率函数.解:

=a0br+a1br-1+…+arb0

由独立性此即离散卷积公式r=0,1,2,…3.5.1和的分布：Z=X+Y

第四页，共四十页，2022年，8月28日例2

设

的联合分布列为

YX-2-10-11/121/123/121/22/121/12032/1202/12分别求出（1）X+Y；（2）X-Y的分布列第五页，共四十页，2022年，8月28日解由（X，Y）的联合分布列可得如下表格

概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253第六页，共四十页，2022年，8月28日解得所求的各分布列为

X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12第七页，共四十页，2022年，8月28日解：依题意

例3

若X和Y相互独立,它们分别服从参数为

的泊松分布,

证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.由卷积公式i=0,1,2,…j=0,1,2,…第八页，共四十页，2022年，8月28日即Z服从参数为

的泊松分布.r=0,1，…第九页，共四十页，2022年，8月28日例4设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.

回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:

我们给出不需要计算的另一种证法:同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.

若X~B(n1,p),则X

是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.第十页，共四十页，2022年，8月28日

故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数，每次试验中A出现的概率为p,于是Z是以（n1+n2，p）为参数的随机变量即:

若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～B(n２,p)，则X+Y～B(n1+n2,p)二项分布的可加性第十一页，共四十页，2022年，8月28日例5设X和Y的联合密度为f(x,y),求Z=X+Y的密度

解:Z=X+Y的分布函数是:

FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)这里积分区域D={(x,y):x+y≤z}是直线x+y=z左下方的半平面.二、连续型分布的情形第十二页，共四十页，2022年，8月28日

化成累次积分,得由X和Y的对称性,fZ(z)又可写成以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式.交换积分次序第十三页，共四十页，2022年，8月28日特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y),则上述两式化为:

这两个公式称为卷积公式

.下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度第十四页，共四十页，2022年，8月28日为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域

例6若X和Y独立,具有共同的概率密度求Z=X+Y的概率密度.解:由卷积公式即第十五页，共四十页，2022年，8月28日如图示:于是第十六页，共四十页，2022年，8月28日解法二

从分布函数出发x+y=z当z<0时，1yx1可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求密度函数两种方法求和的分布第十七页，共四十页，2022年，8月28日x+y=z当0z<1时，1yx1•z•z第十八页，共四十页，2022年，8月28日x+y=z当1

z<2

时，z-11yx1•z•z第十九页，共四十页，2022年，8月28日1yx1x+y=z22当2

z时，第二十页，共四十页，2022年，8月28日例7设随机变量X1和X2相互独立,且均服从标准正态分布N~(0,1),求Y=X1+X2的概率密度函数.解

由题意得

X1和X2相互独立,故第二十一页，共四十页，2022年，8月28日结论:两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布.X1+X2~N(μ1+μ2,σ12+σ22)正态分布的可加性.即:若X1~N(μ1,σ12),X2~N(μ2,σ22),X1,X2独立,则有限个独立正态变量的线性组合仍服从正态分布.

更一般地,

可以证明:第二十二页，共四十页，2022年，8月28日推论:

有限个独立的正态分布的线性函数仍服从正态分布.即:若Xi~N(μi,σi2),(i=1,2,...n),X1,X2,...Xn相互独立,实数a1,a2,...,an不全为零,则

特别,

若X1,X2,...Xn独立同正态分布N(μ,σ2),则记:第二十三页，共四十页，2022年，8月28日

从前面例5可以看出,在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时，关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式，从而利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布.第二十四页，共四十页，2022年，8月28日例8

甲乙两人约定中午12时30分在某地会面.如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀分布.乙独立地到达,而且到达时间在12:00到13:00之间是均匀分布.试求先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率.又甲先到的概率是多少？第二十五页，共四十页，2022年，8月28日所求为P(|X-Y|

5)及P(X<Y)解:

设X为甲到达时刻，Y为乙到达时刻以12时为起点，以分为单位，依题意，X~U(15,45),Y~U(0,60)甲先到的概率由独立性先到的人等待另一人到达的时间不超过5分钟的概率第二十六页，共四十页，2022年，8月28日解一：P(|X-Y|5)=P(-5≤

X-Y

≤5)=1/6=1/2P(X<Y)第二十七页，共四十页，2022年，8月28日解二：P(X<Y)=1/6=1/2被积函数为常数，直接求面积=P(X>Y)P(|X-Y|5)第二十八页，共四十页，2022年，8月28日设

是二维连续型随机变量,其联合分布密度为

则

是一维的连续型随机变量

其分布函数为

是二元连续函数，其分布密度函数为

3.5.2一般函数Z=g(X,Y)的分布第二十九页，共四十页，2022年，8月28日3.5.4M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x)和FY(y),第三十页，共四十页，2022年，8月28日M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)又由于X和Y

相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:FM(z)=P(M≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=P(X≤z,Y≤z)即有FM(z)=FX(z)FY(z)第三十一页，共四十页，2022年，8月28日

类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是下面进行推广

即有FN(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]=1-P(X>z,Y>z)FN(z)=P(N≤z)=1-P(N>z)=1-P(X>z)P(Y>z)第三十二页，共四十页，2022年，8月28日设X1,…,Xn是n个相互独立的随机变量,(i=0,1，…,n)它们的分布函数分别为

M=max(X1,…,Xn)的分布函数为:…N=min(X1,…,Xn)的分布函数是…特别，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时，有FM(z)=[F(z)]nFN(z)=1-[1-F(z)]n与二维情形类似，可得:第三十三页，共四十页，2022年，8月28日需要指出的是，当X1,…,Xn相互独立且具有相同分布函数F(x)时,常称M=max(X1,…,Xn)，N=min(X1,…,Xn)为极值.由于一些灾害性的自然现象，如地震、洪水等等都是极值，研究极值分布具有重要的作用和实用价值.第三十四页，共四十页，2022年，8月28日

下面我们举一例，说明当X1,X2为离散型r.v时，如何求Y=max(X1,X2)的分布.第三十五页，共四十页，2022年，8月28日解一:P(Y=n)=P(max(X1,X2)=n)=P(X1=n,X2≤n)+P(X2=n,X1<n)记1-p=q例9设随机变量X1,X2相互独立,并且有相同的几何分布:P(Xi=k)=p(1-p)k-1,k=1,2,…(i=1,2)求Y=max(X1,X2)的分布.第三十六页，共四十页，2022年，8月28日解二:

P(Y=n)=P(Y≤n)-P(Y≤n-1)=P(max(X1,X2)≤n)-P(max(X1,X2)≤n-1)=P(X1≤n,X2≤n)-P(X1≤n-1,X2≤n-1)第三十七页，共四十页，2022年，8月28日

那么要问，若我们需要求Y=min(X1,X2)的分布，应如何分析？留作同学