第十三章 动能定理

各种运动形式存在能量转换和功的关系，其表现为动能定理，与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理从能量角度研究动力学问题，建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功之间的联系，有时可以方便有效地解决动力学问题。第一页，共三十八页，2022年，8月28日13-1力的功力的功是力沿路程累积效应的度量。图13-1，质点在常力作用下，力F的功定义为：力的功是代数量。在国际单位制中，其单位为对变力的功，如图13-2，质点作曲线运动。在无限小位移dr中力F视为常力，ds视为直线，力F的功称为元功，记为dW。则（13-1）或（13-2）第二页，共三十八页，2022年，8月28日力在全路程上作的功为元功之和，即（13-3）则力从M1到M2过程作的功为——（13-4）第三页，共三十八页，2022年，8月28日1．重力的功对质点系，重力功为：质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。重力投影：（13-5）第四页，共三十八页，2022年，8月28日2．弹性力的功弹簧原长，在弹性极限内，k为刚度系数，表示弹簧发生单位变形时所需的力。N/m,N/cm。弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。如图示则弹性力作的功为（13-7）第五页，共三十八页，2022年，8月28日作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。如果作用力偶,则力偶作的功仍可用上式计算

3．定轴转动刚体上作用力的功、力偶的功设在绕定轴z轴转动的刚体上A点作用有力F，如图示，则力F在切线上投影为因为FtR等于力F对轴z的力矩Mz，则转角j与弧s长的关系为则力F的元功为（13-8）刚体从j1到j2转动过程中力F作的功为（13-9）第六页，共三十八页，2022年，8月28日4．平面刚体上力系的功刚体上各力作功的代数和；也等于力系向质心简化所得力与力偶作功之和。简单证明如下：如图所示，以刚体质心C为基点，当刚体有无限小位移时，任一力Fi作用点Mi的位移为力Fi在点Mi位移上所作元功为则力系全部元功之和为（13-10）为主矢，Mc为主矩。刚体质心有C1到C2，同时由j1转到j2角度时，力系作功为（13-11）第七页，共三十八页，2022年，8月28日正压力N，摩擦力F作用于瞬心C处，而瞬心的元位移(2)圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3)滚动摩擦阻力偶m的功

(1)动滑动摩擦力的功N=常量时,W=–f´NS,与质点的路径有关。若M=常量则*万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。*摩擦力的功5．其它常见力作的功第八页，共三十八页，2022年，8月28日§13-2质点和质点系的动能上面第二式为第i个质点相对质心的速度，称为柯尼希定理动能是因物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的另一度量。1．质点的动能质点质量为m，速度为v，则质点的动能为2．质点系的动能或（1）平移刚体的动能（13-12）（2）定轴转动刚体的动能（13-13）（3）定轴转动刚体的动能（13-14）第九页，共三十八页，2022年，8月28日§13-3动能定理1．质点的动能定理：或即（13-15）积分上式，得或（13-16）上面式（13-15）和（13-16）分别称为质点动能定理的微分形式和积分形式，表明质点动能的增量等于质点上的力所作的功。第十页，共三十八页，2022年，8月28日2．质点系的动能定理对任一质点mi，有n个方程相加得到（13-17）或积分上式，得（13-18）上面式（13-17）和（13-16）分别称为质点系动能定理的微分形式和积分形式，表明质点系动能的增量等于该质点系上全部力作的功。第十一页，共三十八页，2022年，8月28日在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式3．理想约束与内力作功约束反力作功为零的约束称为理想约束。在理想约束下，质点系动能的改变只与主动力有关，式（13-17）和（13-18）中只需要计算主动力所作的功。（1）光滑固定面约束（2）活动铰支座、固定铰支座和向心轴承第十二页，共三十八页，2022年，8月28日对质点系内力的功不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。（3）刚体沿固定面作纯滚动（4）联接刚体的光滑铰链（中间铰）（5）柔索约束（不可伸长的绳索）

拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。第十三页，共三十八页，2022年，8月28日[例1]图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R,两盘中心线为水平线,盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)第十四页，共三十八页，2022年，8月28日解：取系统为研究对象上式求导得：第十五页，共三十八页，2022年，8月28日动能定理的应用练习题

1．图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解：研究OA杆由第十六页，共三十八页，2022年，8月28日2．行星齿轮传动机构,放在水平面内。动齿轮半径r,重P,视为均质圆盘；曲柄重Q,长l,作用一力偶,矩为M(常量),曲柄由静止开始转动；求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度。解：取整个系统为研究对象根据动能定理，得将式对t求导数，得第十七页，共三十八页，2022年，8月28日3．两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度。解：取整个系统为研究对象第十八页，共三十八页，2022年，8月28日§13-4功率·功率方程·机械效率1.功率力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标），以P表示。作用于刚体上力的功率：等于该力对转轴的矩与角速度的乘积，功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），１W=１J/s。等于切向力与力作用点速度乘积或（13-20）（13-19）第十九页，共三十八页，2022年，8月28日2.功率方程取质点系动能定理的微分形式，两端除以dt，得（13-21）该式为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有功率的代数和。每部机器的功率可以分为输出功率、有用功率和无用功率，则或（13-22）第二十页，共三十八页，2022年，8月28日显然：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下＜１。3.机械效率有效功率=P有用+，有效功率与输入功率的比值成为机械的机械效率，用h表示。（13-23）对n级传动系统，总效率为：第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日§13-5势力场、势能、机械能守恒定律若质点或物体在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。在力场中,如果作用于质点或物体力所作的功只决定于质点的始末位置，与运动轨迹无关，这种力场称为势力场或保守场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。1．势力场2．势能在势力场中,质点从位置M运动到任选位置M0,有势力所作的功称为质点在位置M相对于位置M0的势能，用V表示。（13-24）M0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日*几种常见的势能1）.重力场中的势能（13-25）2）.弹性力场中的势能（13-26）如取自然位置为零势能点，则有（13-27）3）.万有引力场中的势能：取A0为零势能点，则选取无穷远处为零势能点（13-28）很显然，对于不同的零势能位置，系统的势能是不相同的，出于方便对常见的重力—弹力系统，一般取其平衡位置为零势能点。*质点系在有势场中，有势力的功可通过势能计算：第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日如图，由M1经M2到达M0时，有势力的功为：（13-29）即有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。3．机械能守恒定律

机械能：质点系在某瞬时的的动能与势能的代数和。由动能定理和有势力的功可用势能计算的方法，有如果质点系还受到非保守力的作用，称为非保守系统，对非保守系统，设非保守力的功为W12'

,则有上式为机械能守恒定律的数学表达式，即质点系仅在有势力作用下运动时，其机械能保持不变，此类质点系称为保守系统；（13-30）（13-31）第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日*4．势力场的其它性质

1）有势力在直角坐标上的投影等于势能对该坐标的偏导数冠以负号。如图有势力F从M到M’作功为（13-32）（13-33）2）在势力场中，势能相等的各点构成等势能面，势能等于零的等势能面称为零势能面，等势能面不能够相交。3）有势力的方向垂直与等势能面，指向势能减小的方向。第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日[例1]长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解：因水平方向不受外力，且初始静止，质心C铅垂下降。因约束反力不作功,主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。由机械能守恒定律：将代入上式，化简后得初瞬时：任一瞬时：第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日§14-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中,要正确进行运动分析,提供正确的运动学补充方程。

第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日举例说明动力学普遍定理的综合应用：

[例1]两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日讨论动量守恒定理＋动能定理求解。计算动能时，利用平面运动的运动学关系。解：由于不求系统的内力，可以不拆开。研究对象：整体分析受力：，且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。代入动能定理：第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日

[例2]均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象运动学关系：由动能定理：对ｔ求导，得第三十页，共三十八页，2022年，8月28日[例3]重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。系统由图示位置无初速地释放。求系统经过最低位置B'点时的速度及支座A的约束反力。解：（1）取圆盘为研究对象，圆盘平动。第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日（2）用动能定理求速度。取系统研究。初始时T1=0，最低位置时：代入数据，得第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日（3）用动量矩定理求杆的角加速度。由于所以a＝0。杆质心C的加速度：盘质心加速度：