2013年高考数学总复习-第1章空间几何体的体积课时闯关（含解析）-苏教版必修

PAGEPAGE22013年高考数学总复习第1章1.3.2空间几何体的体积课时闯关（含解析）苏教版必修2[A级基础达标]eq\a\vs4\al(1.)正三棱台的上、下底面边长分别为3cm、6cm，高为3cm，则其体积为________．答案：eq\f(63,4)eq\r(3)cm3eq\a\vs4\al(2.)(2012·苏州调研)侧面是正三角形的正三棱锥，体积是eq\f(2\r(2),3)，则其表面积为________．解析：设正三棱锥的棱长为a，则其高h＝eq\r(a2－（\f(\r(3),3)a）2)＝eq\f(\r(6),3)a，所以V＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(6),3)a＝eq\f(\r(2),12)a3.由eq\f(\r(2),12)a3＝eq\f(2\r(2),3)，解得a＝2.所以S表＝4×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)a2＝4eq\r(3).答案：4eq\r(3)eq\a\vs4\al(3.)已知正方体的外接球的体积是eq\f(32,3)π，则正方体的棱长等于________．解析：设正方体的棱长为a，它的外接球的半径设为R，而正方体的体对角线长等于正方体外接球的直径．∴eq\r(3)a＝2R，而V球＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π，∴R3＝8，∴R＝2，∴a＝eq\f(2,\r(3))×2＝eq\f(4\r(3),3).答案：eq\f(4\r(3),3)eq\a\vs4\al(4.)如果一个圆柱、一个圆锥的底面直径和高都等于一个球的直径，则圆柱、球、圆锥的体积之比为________．解析：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的高均为2R，∴V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2·2R＝eq\f(2π,3)R3，V球＝eq\f(4,3)πR3，∴V圆柱∶V球∶V圆锥＝3∶2∶1.答案：3∶2∶1eq\a\vs4\al(5.)若一圆台的上、下底面圆半径之比为1∶2，体积为7π，高为1，则此圆台的侧面积为________．解析：由圆台体积公式可求得上、下底面圆半径分别为eq\r(3)和2eq\r(3)，由此易得母线长为2.由圆台侧面积公式得S圆台侧＝π(eq\r(3)＋2eq\r(3))×2＝6eq\r(3)π.答案：6eq\r(3)πeq\a\vs4\al(6.)正四棱柱的体对角线长为3cm，它的表面积为16cm2，求它的体积．解：设正四棱柱的底面边长为acm，高为hcm，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(h2＋（\r(2)a）2＝32，,4ah＋2a2＝16，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,h＝1，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(4,3)，,h＝\f(7,3)，))所以V正四棱柱＝a2h＝4×1＝4(cm3)或V正四棱柱＝a2h＝(eq\f(4,3))2×eq\f(7,3)＝eq\f(112,27)(cm3)．eq\a\vs4\al(7.)一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，求h.解：设圆锥形容器的液体面的半径为R，则液体的体积为eq\f(1,3)πR2h.圆柱形容器内的液体体积为π(eq\f(a,2))2h.根据题意，有eq\f(1,3)πR2h＝π(eq\f(a,2))2h，得R＝eq\f(\r(3),2)a.再根据圆锥轴截面与内盛液体截面是相似三角形，得eq\f(\f(\r(3),2)a,a)＝eq\f(h,a)，所以h＝eq\f(\r(3),2)a.[B级能力提升]eq\a\vs4\al(8.)如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝2DC＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点．将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P－DCE的外接球的体积为________．解析：∵AB＝2CD＝2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，∴AE＝AD＝DE＝CE＝EB＝BC＝CD＝1.由题意可知，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则得到一个正四面体P－CDE，棱长为1.设正四面体的外接球的半径为R，则有3×(eq\f(\r(2),2))2＝4R2，解得R＝eq\f(\r(6),4)，∴外接球的体积是V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(\r(6)π,8).答案：eq\f(\r(6)π,8)eq\a\vs4\al(9.)设三棱柱ABC－A1B1C1为正三棱柱，底面边长及侧棱长均为a，E，F分别是AA1，CC1的中点，则几何体B－EFB1的体积为________．解析：取BB1的中点D，连结DE，DF，则△DEF≌△BAC，∴三棱锥B－EFB1可分为两个体积相等的三棱锥B1－DEF和B－DEF.∴VB－EFB1＝VB－DEF＋VB1－DEF＝eq\f(1,3)S△DEF·(B1D＋BD)＝eq\f(1,3)S△ABC·BB1＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2·a＝eq\f(\r(3),12)a3.答案：eq\f(\r(3),12)a3eq\a\vs4\al(10.)如图，一个容器的盖子用一个正四棱台和一个球焊接而成，球的半径为R，正四棱台的上、下底面边长分别为2.5R和3R，斜高为0.6R.(1)求这个容器盖子的表面积、体积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)若R＝2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m2，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少kg？(精确到0.1kg)解：(1)S正四棱台＝4×eq\f(1,2)×(2.5R＋3R)×0.6R＋(2.5R)2＋(3R)2＝21.85R2.S球＝4πR2，故盖子的全面积为S全＝(21.85＋4π)R2，球的体积V1＝eq\f(4,3)πR3，棱台的体积V2＝eq\f(1,3)×eq\r(（0.6R）2－（\f(3R,2)－\f(2.5R,2)）2)×(6.25R2＋7.5R2＋9R2)＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(119),20)R×eq\f(91,4)R2＝eq\f(91\r(119),240)R3.∴V＝V1＋V2＝eq\f(4,3)πR3＋eq\f(91\r(119),240)R3.(2)取R＝2，π＝3.14，求得S全＝137.64(cm2)，得eq\f(137.64×100,10000)×0.4≈0.6(kg)．因此，100个这样的盖子共需涂料约0.6kg.eq\a\vs4\al(11.)(创新题)如图，在边长为a的正方形中，剪下一个扇形和一个圆，分别作为一个圆锥的侧面和底，求此圆锥的体积．解：设圆的半径为r，扇形的半径为x，则EF＝eq\f(1,4)·2πx＝eq\f(1,2)πx.又∵EF＝2πr，∴eq\f(1,2)πx＝2πr.∴x＝4r，