2023年经济数学基础期末复习

经济数学基础期末复习

第1章函数

复习知识点：

函数的概念、函数的奇偶性、复合函数、分段函数、基本初等函数和初等函数、经济分析

中的几个常见函数、建立函数关系式

复习规定：

(1)理解函数概念，掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；

(2)了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；

(3)了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；

(4)知道初等函数的概念，理解常数函数、幕函数、指数函数、对数函数和三角函数(正

弦、余弦、正切和余切)的解析表达式、定义域、重要性质及图形：

(5)了解需求、供应、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；

下面我们来看例题.

例1设/(x)=x+l,则/(/*)+1)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于〃x)=x+l,得/(/(x)+1)=(/(x)+1)+1=/(X)+2

将f(x)=x+1代入，得f(f(x)+l)=(x+l)+2=x+3

对的答案:D

例2下列函数中，()不是基本初等函数.

A.y=(―)vB.y=Inx2C.y=D.y=

ecosx

解由于y=ln/是由y=inM,a=/复合组成的，所以它不是基本初等函数

对的答案:B

例3设函数/(x)=<，则(。).

0,x>0

TTIT

A./(--)=/(-)B./(0)=/(2万)

44

CJ(0)=/(-2T)D.咛=乎

解由于一2%<0,故/(-2%)=cos(-2i)=l

且八0)=1,所以/(0)=/(-2万)

对的答案:C

例4生产某种产品的固定成本为1万元，每生产一个该产品所需费用为20元,若该

产品出售的单价为30元,试求：

(1)生产尤件该种产品的总成本和平均成本；

(2)售出x件该种产品的总收入；

(3)若生产的产品都可以售出，则生产尤件该种产品的利润是多少？

解(1)生产x件该种产品的总成本为C(x)=10000+20%；

平均成本为：C(x)=+20.

x

(2)售出x件该种产品的总收入为：R(x)=30x.

(3)生产x件该种产品的利润为：

L(x)=H(x)—C(x)=30x—(10000+20x)=10x—10000

第2章一元函数微分学

复习知识点：

极限的概念、无穷小量与无穷大量、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数的连续

性和间断点、导数的定义、导数的几何意义、导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函

数求导法则、高阶导数、微分的概念及运算法则

复习规定：

⑴了解极限概念，知道函数在某点极限存在的充足必要条件是该点左右极限都存在且

相等;

⑵了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质；

⑶掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简朴极限的常用方法；

(4)了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道连续与极限；会判断函

数在某点的连续性；

⑸理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系；

(6)纯熟掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简朴的隐函

数导数的方法；

⑺知道微分的概念，会求函数的微分；

(8)知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数.

下面我们举一些例题复习本章的重点内容.

例5极限limxsin—=_____________.

a。x

解由于当时，x是无穷小量，sinL是有界变量.

x

故当x—>0时，xsin，仍然是无穷小量.所以limxsin—=0.

xx

对的答案：0

例6若limf(x)=A，则/(处在点工。处()

XT*。

A.有定义B.没有定义。C.极限存在D.有定义，且极限存在

解函数在一点处有极限与函数在该点处有无定义无关.

对的答案：C

x+1x>0

例7当k时，/(x)=<在x=0处仅仅是左连续.

x1+kx<0

解由于函数是左连续的，即

/(O-)=lim(x+l)=l=/(O)

X"一

若/(0+)=lim(x2+k)=k=l

x->0+

即当％=1时，/(x)在x=0不仅是左连续，并且是连续的.

所以，只有当上w1时，/(X)在X=0仅仅是左连续的.

对的答案：wl

“I八什”、冗..f(x+Ar)-f(x),

例8右/(x)=cos—,则nl---------------=().

4…Ax

收八,71.7C

A.OB.——C.-sin—oD.sin—

244

TT

解由于/(x)=cos—是常数函数，常数函数是可导的，并且它的导数是0.

4

所以由导数定义可得

1im•"史―=/''(0)=0

Ar—0Ar

对的答案:A

TT

注意：这里的_/(X)=COSz不是余弦函数.

例9曲线y=d-无在点(1,0)处的切线是().

A.y=2x-2。。。B.y=-2x4-2

C.y=2x+2D.y=-2x-2

解由导数的定义和它的几何意义可知，

y(l)=(--x)1=(3--1)|=2

X=\X=1

是曲线y=/—x在点(i,o)处的切线斜率，故切线方程是

y—0=2(x—l),即y=2x—2

对的答案:A

例10已知y=,则y"=().

A.x3B.3x2C.6xD.6

解直接运用导数的公式计算：

y=(lx4y=x3,<=(/)，=3/

4

对的答案：B

例11计算下列极限

v9+sin3x-3x~—5x+4

(1)lim⑵-------

A->0xXT4-x-12

3—x1

⑶lim()

XT1x2-1x-i

(1)解对分子进行有理化，即分子、分母同乘J9+sin3x+3，然后运用第一重要极

限和四则运算法则进行计算.即

j9+sin3x-3=(j9+sin3R^+sin3x+3)

lim11m

10xa。x(j9+sin3x+3)

sin3尤xlim.1—=3x1=1

=lim

xs。j9+sin3x+362

(2)解将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再用四则运算法

则和连续函数定义进行计算.即

lim£3+4=园(x-4)(1)

xf4x-x-12x—4(x-4)(x+3)

=丽3=乂=3

3(x+3)4+37

(3)解先通分,然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算.即

.3—x1(3—x)—(x+1)

lim(----------)=lim---------------

x-i1-ix-1—(x-l)(x+l)

-21

=lrim----=-1

Xf1X+1

例12求下列导数或微分：

(1)设y=(4+l)(3—l),求dy.

(2)设丫=Jx+e*sinx,求dy.

(3)设丁=©056+1111---，求y'.

2x一1

(1)角吊由于y—(V^+1)(——1)=—y/~xH—广

yJXyJX

且yf=(-Vx+-J=)r=---\=---=-------7=(1+-)

Nx2jx2Vx32jxX

dy=--^(1+—)dx

2j尢x

注意：求导数时，要先观测函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数，简化

计算过程.

导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数.

⑵解由于.一号e“sin打」+e*+e：cos%

2jx+e'sinx2ylx+exsinx

.7l+ex(cosx+sinx),

所以dy=ydx=----1-dx

2jx+e，sinx)

(3)解yr=(cosV^-ln(2x-l))r

°=-sinVx-(Vx)r------=-[—^=sinVx+---]

2.x—12Jx2x—1

复合函数求导数要注意下面两步：

①分清函数的复合环节，明确所有的中间变量；

②依照法则依次对中间变量宜至自变量求导，再把相应的导数乘起来.

第3章导数的应用

复习知识点：

函数的单调性、函数的极值和最大(小)值、导数在经济问题中的应用

复习规定：

⑴掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间；

⑵了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道

函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值；

⑶了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法；

⑷纯熟掌握求经济分析中的应用问题(如平均成本最低、收入最大和利润最大等).

下面通过例题复习本章重点内容

例13函数/(x)=x—Inx的单调增长区间是.

解由于f\x)=(x-Inx)f=1--

x

令.(x)=l—得％>1

X

故函数的单调增长区间是(1,+8).

对的答案：(1,+8)

例14满足方程/'")=0的点是函数y=f(x)的().

A.极大值点B.极小值点C.驻点D,间断点

解由驻点定义可知，对的答案：C

例15下列结论中()不对的.

A./(x)在龙=与处连续，则一定在X0处可微.

B..f(x)在x=x()处不连续，则一定在和处不可导.

C.可导函数的极值点一定发生在其驻点上.

D.若/(幻在［小6］内恒有/'(x)<0,则在［a,6］内函数是单调下降的.

解由于函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，对的答案:A

求经济分析中的最值问题是本课程的重点之一，要掌握运用函数的导数求经济问题中的平

均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题的方法.

下面举一个求获得最大利润时的产量的应用问题，而其它两种类型的应用问题请大家自

己练习.

例16生产某种产品q台时的边际成本C'(q)=2.5q+1000(元/台)，固定成本5

00元，若已知边际收入为R(q)=2q+2000,试求

(1)获得最大利润时的产量；

(2)从最大利润的产量的基础再生产100台,利润有何变化？

解(1)L'=R'-C'

=2g+2000—(2.5q+1000)=—0.5^+1000

令〃=0,求得唯一驻点q=2000.由于驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产

量为2023时，可使利润达成最大.

(2)在利润最大的基础上再增长100台,利润的改变量为

[2100

(•2100

=(-与2+1000公=-2500AL=1皿(—0.5g+1000)dq。

2000

即利润将减少2500元.

第4章一元函数积分学

复习知识点：

原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、分部

积分法、无穷限积分

复习规定：

⑴理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念,知道不定积分与导数(微分)之间的关

系；

⑵纯熟掌握积分基本公式和直接积分法；

⑶掌握第一换元积分法(凑微分法)、分部积分法；

(4)知道无穷限积分的收敛概念，会求简朴的无穷限积分.

下面通过例题复习本章重点内容

例17假如J/(x)dx=sin2x+c,则/'(x)=.

解根据不定积分的性质可知

/(x)=(j/(xW=(Sin2x+cy=2cos2x

且f'(x)=(2cos2x)'=-4sin2x

对的答案：—4sin2x

例18设/(x)的一个原函数是e-2，,则/(x)=(。).

A.e2°°B.-2e~2xC.-4e2x«»D.4e-2x

。解由于/(x)的一个原函数是e-21故

/(x)=(e-2x))=-2e2x

所以对的答案：B

例19广义积分((，e2vdx=_______________________

J—00

解由于f"e2xdA-=lim-e2x=lim-(l-e2a)=-

JFa-222

所以对的答案：-

2

rx3

例20计算不定积分J

解用第一换元积分法求之.

?4+x2x：T(i-4

\^-^dx=dx2)dx2

J4+x2,24+x2

=y-21n(4+x2)+c

例21南,卜算定积分J。xcos%xdx

解用分部积分法求之.

「xcos乃_xdx=^-xsin%x--f'sin^xdx

Jo7t0〃

12

=—COS^-X=-----

乃一0万一

例22.计算定积分J：：sin杷

解由于，当0<%<万时，sinx>O^MsinX=sinx;

当%vxv27r时,sinxv0,即卜in=—sinx;

『向根=「siruuir+(-sinx)dr

=-cos'：+cosx|：=1+1+1+1=4

第5章积分应用

复习知识点：

积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程

复习规定：

(1)纯熟掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；

(2)了解微分方程的几个概念，掌握简朴的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性

微分方程的解.

用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量，一般出现在应用

题中，并且经常与导数应用中求最值问题相联系，所以一定要综合应用所学的知识求解应用

问题.有关的例题，我们在第3章中已经讲过，这里就不在举例了.

微分方程中的基本概念是指微分方程、阶、解(也就是通解、特解)，线性微分方程等,

这些概念大家要比较清楚的.比如

例23。")3+e-2>,=0是阶微分方程.

解由于微分方程(y〃)3+e-2xy=0中所含未知函数的导数的最高阶数是2次，

所以它是2阶微分方程.

对的答案：2

例24微分方程y'=y的通解是y=().

A.0.5x2+cB.ce*C.ce~xD.y=e'+c

解用可分离变量法很容易求解，因此，对的答案:B

例25求微分方程y'=满足初始条件y(0)=0的特解.

解将微分方程y'=e2，->变量分离，得e、dy=e2\k,等式两边积分得

ev=-e2v+c

2

将初始条件y(0)=0代入，得c=l/2.

所以满足初始条件的特解为：e‘=0.5(e2x+1)

第6章数据解决

考核知识点：

总体与样本、重要特性数

复习规定：

了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，掌握它们的

计算方法；

例26设一组数据%=0,超=10，与=20,其权数分别为〃1=0.1,，2=0-6,

“3=S3,则这组数据的加权平均数是().

A.12B.10C.6D.4

解由于加权平均数是

3

p.x.=0.1x0+0.6x10+0.3x20=12

i=i

所以，对的答案：A

第七章随机事件与概率

复习知识点：

随机事件与概率、事件的关系与运算、概率的加法公式与乘法公式、事件的独立性

复习规定：

⑴知道随机事件的概念，了解事件互不相容和对立事件等概念，；

⑵了解概率的概念及性质，会计算简朴古典概型问题；

⑶了解条件概率概念，掌握概率的加法公式和乘法公式；

(4)理解事件独立概念，掌握有关计算.

下面举几个例题来说明这一章的重点.

例27.对任意二事件A,B,等式()成立.

A.P(AB)=P(A)P(B)B.P(A+3)=P(A)+P(B)

C.P(A|B)=P(A)(P(B)HO)D.P(AB)=P(A)P(B\A)(P(A)HO)

解由概率乘法公式可知，对的答案:D

例28掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是().

11-1

A.—B.—C.—D.

361812

1

11

解两颗均匀的骰子的“点数之和”样本总数有6x6=36个，而“点数之和为3”的事

件具有：1+2和2+1两个样本，因此，该事件的概率为2.

18

对的答案：B

例29.假设事件A,8互相独立，已知尸(A)=0.3,P(3)=0.6,求事件4与3只有

一个发生的概率.

解A与8只有一个发生的事件为：AB+AB,且与初是互斥事件，于是

P{AB+M)=P(A历+P(AB)=P(A)P(历+P(A)P(B)

=0.3x(l-0.6)+(l-0.3)x0.6=0.54

例30.己知P(A)=0.7,P(B)=0.3,口4月)=0.5,求「(川3).

解由于A=A8+A耳，且AB与A》是互斥事件，得

P(A)=P(AB)+P(A有)

所以，尸邓)=久坐=地心幽=口丝=2。

1P(B)P(B)0.33

例31有甲、乙两批种子,发芽率分别是0.85和0.75,在这两批种子中各随机取一粒,

求至少有一粒发芽的概率.

解设A表达甲粒种子发芽,B表达乙粒种子发芽，则A,8独立，且

尸(A)=0.15,P(B)=0.25

故至少有一粒发芽的概率为：

P(A+B)=1-P(A+8)=1-P{AB)

=1-P(A)P(B)=1-0.15x0.25=0.9625

例32已知事件A,8,C互相独立，试证(A+6)与C互相独立.

证由于事件A,B,C互相独立，即

P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C)

且P[(A+B)C1=P(AC)+P(BC)-P(ABC)

=P(A)P(C)+P(B)P(C)—尸(A)P(8)尸(C)

=[P(A)+P(B)-P(A)P(8)]P(C)=P(A+B)P(C)

所以(A+8)与C互相独立.

第8章随机变量与数字特性

复习知识点：

两类随机变量、常见分布(二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布)、盼望与方差

复习规定：

⑴了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质；

⑵了解随机变量盼望和方差的概念及性质，掌握其计算方法；

⑶了解二项分布，记住它的盼望与方差；

(4)理解正态分布、标准正态分布，记住其盼望与方差.纯熟掌握将正态分布化为标准

正态分布的方法.纯熟掌握正态分布的概率计算问题.

将一般正态分布X~N(〃,cr2)化为标准正态分布Y~N(0,1)的公式：

Y=X-A

a

它们的概率计算公式:

h—na—LI

P(a<Y<b)=①(。)一①(。)，P(a<X<b)=0(—出)-<D(—

<ya

下面举几个例子说明本章的重点：

例33设随机变量X的概率分布为

-10

0.10.2a0.4

则〃=.

解根据离散型随机变量的概率分布的性质:ZP«=1

k

对的答案：0.3

例34设乂~8(n，p),且E(X)=6,D(X)=3.6,则〃=

解根据二项分布的盼望和方差的定义：

£(X)-np-6,D(X)-np[\-p)-3.6

得1—。=0.6,p=0.4,n

对的答案：15

例35设随机变量X的密度函数为

3(%-2)a<x<3

/(x)=,

0其它

求(1)常数。；⑵E(X)

解(1)根据密度函数的性质

»1=ff(x)dx=f33(x-2)2dx=(x-2)3|3=1—(a-2)3

J-aoJaIa

得a=2

3(x-2)22<x<3

/(x)=<

0其它

E(X)=[4(x)dx=13x(无一2)?dx

例36某类钢丝的抗拉强度服从均值为100(kg/cn?),标准差为5(kg/cm2)的

正态分布,求抗拉强度在90~110之间的概率.(①⑴=0.8413,①(2)=0.9772)

解设钢丝的抗拉强度为X,则X-N(100,5?),且---------N(0,l).

90-100X—100110-100

P(90<X<ll0)=P(<----------<

<D(2)-①(一2)=2①(2)-1=0.9544

第9章

复习知识点：

矩阵概念与矩阵的运算、特殊矩阵、矩阵的初等行变换与矩阵的秩、可逆矩阵与逆矩阵

复习规定：

⑴了解矩阵概念，理解矩阵可逆与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概

⑵纯熟掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质；

⑶了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质.

(4)理解矩阵初等行变换的概念，纯熟掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、

行简化阶梯形矩阵，纯熟掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵.

矩阵乘法是本章的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：

矩阵乘法不满足互换律，即AB^BA一般不成立.

矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵AC=及矩阵CHO,不能推出A=8.但当。可

逆时，AC=BC=>A=B.

矩阵AHO,3WO,也许有AB=().

下面举例说明本章的重点：

例37设矩阵A=[l-23],/是单位矩阵，则人丁人―/=.

-23

解由于AT=[1-23]-24-6

3-69

0-230-23

所以-23-6.对的答案：-23-6

3-683-68

该例题说明，可转置矩阵不一定是方阵;假如矩阵运算ATA成立,A也不一定是方阵.

13-210

01100

例38矩阵的秩是（)

0010()

01000_

B.2C.3D.4

解化成阶梯形矩阵后，有3个非0行,故该矩阵的秩为3.

对的答案:C

11

2-3

例39设矩阵A0-2B=计算（BA）工

0-12

20

1

2-3-5-3

解由于8A=0-2

0242

20

-5-310-111

(BA/)=

420420

11-1-1101%

0-24501-2

1%

所以(BA)1

-2—5/,

1-32

例40设矩阵A-301，求矩阵A-1

11-1

1-32100

解由于[AI]-301010

11001

1-321001「1—32100

-0—97310->0-11112

04-3-10104-3-101

10-1-2-3-6-100113-

f0-11112foi0237

9J|_00

001341349

113

所以A-'=237

349

例41设A,8均为”阶对称矩阵，则A8+BA也是对称矩阵.

证。由于A,B是对称矩阵，即AT=A,夕丁=6

且(AB+BA)r=(AB)，+(BA)T=8TA1+ArBr

=BA+AB=AB+BA

根据对称矩阵的性质可知，4B+A4是对称矩阵.

第10章线性方程组

复习知识点：

线性方程组、消元法、线性方程组有解鉴定定理、线性方程组解的表达

复习规定：

⑴了解线性方程组的有关概念，纯熟掌握用消元法求线性方程组的一般解;

⑵理解并纯熟掌握线性方程组的有解鉴定定理.

非齐次线性方程组4X=b的解的情况归纳如下：

AX=b有唯一解的充足必要条件是秩(彳)=秩(4)=〃;

/X=%有无穷多解的充足必要条件是秩(彳)=秩(A)<〃；

AX无解的充