Taylor公式应用研究报告

.zTaylor公式应用研究**：**专业：****：**内容提要本文对泰勒公式及其在高等数学上的几个重要应用与技巧进展了探究，比方在求极限、近似计算、研究函数性质、等式和不等式的证明、求*点处函数的高阶导数的应用以及求行列式值等上的应用.其中每一应用都给出了相应的实例，这样有助于我们加深对每一应用的理解与掌握，进而能够很好地把泰勒公式这一多功能数学工具应用到解题过程中.关键词:泰勒定理麦克劳林公式应用目录引言………………3根底知识…………31.1泰勒公式…………………31.2常见简单函数的泰勒展开式及其应用…………………51.2.1常见简单函数的泰勒展开式……51.2.2简单应用…………5泰勒公式常见的一些应用………62.1求极限……………………62.2近似计算…………………72.3探究函数简单性质………82.4证明等式与不等式………102.5求*点处函数的高阶导数………………112.6求解行列式值……………123.参考文献…………13Taylor公式应用研究0.引言我们知道只能使用加、减、乘三种运算的多项式是初等函数里最简单的函数,可想而之知假设能用多项式函数初近似代替初等超越函数、无理函数以及有理分式函数，并且又在误差允许*围内的情况下，则这将对函数值的近似计算以及函数性态的研究都有着很是重要的意义.由此想到一个函数在满足什么样条件下才能使用多项式函数来近似代替呢.所求函数与替代它的多项式函数的各项系数的关系如何呢.两者之间的误差又将怎么样呢.学习了数学分析，我们了解到泰勒公式恰好是利用了一种叫“无限逼近〞思想近似地把*些繁杂的函数表示成了简单的多项式函数,掌握了这种化繁为简的思想对于我们分析和研究其他数学问题就像搬运重物时使用的一个有力杠杆.1.根底知识1.1泰勒公式〔1〕带有佩亚诺〔Peano〕型余项的泰勒公式对于一个函数假设能满足以下两个条件：=1\*GB3①在点的*领域有直到阶的连续函数导数；=2\*GB3②EMBEDEquation.3存在.则可以表示为：〔2〕带有拉格朗日〔Lagrange〕型余项的泰勒公式我们知道对于带有佩亚诺型余项的泰勒公式,需要引起注意的有两点：其一，适用*围很小，它只适用于那些“自变量必须充分接近于点〞的函数，即带有佩亚诺型余项的泰勒公式只“在小*围内〞刻画了函数；由此我们更想“在大*围内〞也能那样做；其二，得到的误差也应该有清晰、明确的表达式，那样才便于我们求解.从这以上两个方面做进一步的研究，我们很容易得到一下的结果：①函数在闭区间上有直到阶的连续函数；②函数在开区间内有阶导数.则对于,至少存在一点，使得EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4泰勒定理又称泰勒中值定理，上式即称作在点处泰勒公式，称为在点处的泰勒多项式，称为在点处泰勒公式的余项，另外假设在时，泰勒定理即为拉格朗日中值定理.泰勒公式在时又变为上式称作(带有拉格朗日型余项的)麦克劳林公式.1.2常见简单函数的泰勒展开式及其应用1.2.1常见简单函数的泰勒展开式〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕EMBEDEquation.3〔6〕1.2.2简单应用例1求以下函数的阶展开(1)〔2〕解:〔1)因为，所以〔2)由于又，所以求函数的展开式关键是求出高阶导数并写出余项，可以用前面求高阶导数的知识、方法和技巧来完成.这种间接法展开则是一种常用方法，结合给出的展开式、四则运算以及导数运算就可解决，这样就简化了计算过程.2.泰勒公式常见的一些应用2.1求极限很多时候我们需要对极限进展化简运算,而这时如果我们试着用泰勒展开式来代替原来的难以化简的单项式,使其转变为类似多项式的有理式极限,或许就能起到事半功倍的效果。比方下面的例子：例2.求极限.分析：上式是型的极限,可用我们学习过得洛必达法则这种常用求解极限的方法来求解此题，但显然过程复杂不易求解,假设将、两者分别运用泰勒公式展开,则就能化简此比式型极限.解：由，用代替2.1.2.1节公式〔1〕中的，便得则得极限在利用泰勒公式求解极限问题时，常可使用麦克劳林公式，以及附带使用佩亚诺型余项来解决，遇到分式型极限式时，此时只需将分子、分母展成同阶的麦克劳林公式，再通过比拟便可求出此极限.2.2近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,比方利用的麦克劳林展开式得到函数的近似计算式如下式：其中误差是余项.例3.计算的值，使其误差不超过.解：,由,得到有:故,当时,便有从而略去而求得的近似值为可以得出：当所求式子为不易求的准确值的算式时，此时应用泰勒公式能求解出其近似的值，由此可以得出泰勒公式是解此类问题的一种不错的方法.而且在解题的过程中，突破了查表和应用微分求近似值的局限.计算更加准确，可以满足在精细仪器设计过程中的计算需要.2.3探究函数性质例4.假设函数在区间[0,1]上存在2阶导数，且在点可以满足求证：证明：点是函数最大值点，并且在开区间〔0，1〕内，根据费马原理，这样一来，在点处函数的2阶泰勒公式是取得到再取得到综合以上两式，我们有因此〔这里注意〕证毕.例5.设函数的一阶导数存在，并且有.求解是否是曲线的拐点.解：对一阶导数使用泰勒公式且由题设知则有不妨设，于是存在使得时，从而；另在满足时，则有，所以在两侧附近不同符号的值，综上可得到就是曲线上的拐点.2.4在证明等式及不等式上的应用例6.〔中值公式〕设在上三次可导,试证:使得〔1〕证：不妨假设一实数能使得下式成立〔2〕这时，我们的问题归为证明:使得〔3〕令〔4〕则根据罗尔定理,,使得,由〔4〕式,即〔5〕显然这是一个与有关的方程，我们知道在点处的的泰勒展开式应为〔6〕注意到，由上面的〔5〕，〔6〕两式可得〔3〕式，证毕.例7.用泰勒公式证明：证：设则，即分别取得将以上不等式两边相加，得取，则在之间，故即得2.5求*点处函数的高阶导数假设能求解出函数在*点处的则很容易得出在点处的泰勒级数或泰勒公式.相反，假设已得到在*点处的泰勒公式或泰勒级数，则根据幂级数展开具有惟一性，以及它与的关系，得在*点处的例8.求解在点处的各阶导数的值.解：利用麦克劳林〔Maclaurin〕公式对其展开，可求得的麦克劳林公式则的麦克劳林公式为由麦克劳林公式及其各项系数之间所具有的联系可知而在处的其他各阶导数为零.2.6在求解行列式值上的应用遇到*些特殊的行列式，即可以看成是一个含有的函数(通常是的次多项式)时,令其为,这时，可使用让泰勒公式在*点处展开的方法求解行列式的值,使用此种法可以很方便的求解这些行列式.例9.求解如下阶行列式〔1〕解：令,我们让泰勒公式在*点处获得展开，则有(2)易知(3)由(3)得时全部满足.则依据行列式的求导法则,可得由于因此我们可得在点处的各阶导数如下各式把以上各导数代入(2)式中,有假设有假设有通过对以上九个例子的分析、求解，我们可以看出泰勒公式在微积分上有着非常广泛的应用，只是在使用泰勒公式处理问题时要特别强调函数展开要降阶〔通常降一阶即可〕,并且要恰中选择等