数列极限归纳法练习题教师版

-.z数列极限归纳法练习题〔教师版〕1，.02〔2005春季9〕设数列的前项和为〔〕.关于数列有以下三个命题：〔1〕假设既是等差数列又是等比数列，则；〔2〕假设，则是等差数列；〔3〕假设，则是等比数列.这些命题中，真命题的序号是.〔1〕、〔2〕、〔3〕3〔2005春季12〕函数，数列的通项公式是〔〕，当取得最小值时，.1104〔2005年70〕计算：=__________。解答：=35〔2005年12〕用个不同的实数可得到个不同的排列，每个排列为一行写成一个行的数阵。对第行，记，。例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，，则，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，=________。解答：在用1，2，3，4，5形成的数阵中，每一列各数之和都是360，6〔2006春季1〕计算：.7〔2006春季12〕同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，则班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，则班级的平均分将提高.这两个事实可以用数学语言描述为：假设有限数列满足，则〔结论用数学式子表示〕.和8〔2006年4〕计算：＝；解：；9〔2007春季1〕计算.10〔2007年15〕设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立〞．则，以下命题总成立的是〔D〕Ａ．假设成立，则当时，均有成立Ｂ．假设成立，则当时，均有成立Ｃ．假设成立，则当时，均有成立Ｄ．假设成立，则当时，均有成立11〔2008春季2〕计算：12〔2008春季5〕数列是公差不为零的等差数列，.假设成等比数列，则13〔2008春季9〕无穷数列前项和，则数列的各项和为14〔2008春季11〕；〔是正整数〕，令，，.*人用右图分析得到恒等式：，则.二．解答题：解答以下各题必须写出必要的步骤.15〔2005春季20〕(14分)此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分.*市2004年底有住房面积1200万平方米，方案从2005年起，每年撤除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.〔1〕分别求2005年底和2006年底的住房面积；〔2〕求2024年底的住房面积.〔计算结果以万平方米为单位，且准确到0.01〕[解]〔1〕2005年底的住房面积为：〔万平方米〕,2006年底的住房面积为：〔万平方米〕∴2005年底的住房面积为1240万平方米，2006年底的住房面积约为1282万平方米.……6分〔2〕2024年底的住房面积为：……10分〔万平方米〕∴2024年底的住房面积约为2522.64万平方米.……14分16〔2005年20〕〔此题总分值14分〕此题共有2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分． 假设*市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房．预计在今后的假设干年后，该市每年新建住房面积平均比上年增长8%．另外，每年新建住房中，中底价房的面积均比上一年增加50万平方米．则，到哪一年底 〔1〕该市历年所建中低价房的累计面积〔以2004年为累计的第一年〕将首次不少于4750万平方米. 〔2〕当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.解：〔1〕设中低价房面积形成数列，由题意可知是等差数列，其中a1=250，d=50，则令即∴到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.〔2〕设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1=400，q=1.08，则bn=400·(1.08)n－1由题意可知有250+(n－1)50>400·(1.08)n－1·0.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6，∴到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.17〔2006春季22〕(此题总分值18分)此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值8分.第3小题总分值6分.数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列〔〕.〔1〕假设，求；〔2〕试写出关于的关系式，并求的取值*围；〔3〕续写数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把数列推广为无穷数列.提出同〔2〕类似的问题〔〔2〕应当作为特例〕，并进展研究，你能得到什么样的结论.[解]〔1〕.……4分〔2〕，……8分，当时，.……12分〔3〕所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.……14分研究的问题可以是：试写出关于的关系式，并求的取值*围.……16分研究的结论可以是：由，依次类推可得当时，的取值*围为等.……18分18〔2006年21〕〔此题总分值16分，此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值6分〕有穷数列共有2项〔整数≥2〕，首项＝2．设该数列的前项和为，且＝＋2〔＝1，2，┅，2－1〕，其中常数＞1．〔1〕求证：数列是等比数列；〔2〕假设＝2，数列满足＝〔＝1，2，┅，2〕，求数列的通项公式；〔3〕假设〔2〕中的数列满足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值．(1)[证明]当n=1时,a2=2a,则=a；2≤n≤2k－1时,an+1=(a－1)Sn+2,an=(a－1)Sn－1+2,an+1－an=(a－1)an,∴=a,∴数列{an}是等比数列.(2)解：由(1)得an=2a,∴a1a2…an=2a=2a=2,bn=(n=1,2,…,2k).〔3〕设bn≤,解得n≤k+,又n是正整数,于是当n≤k时,bn<；当n≥k+1时,bn>.原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－)=(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk)==.当≤4,得k2－8k+4≤0,4－2≤k≤4+2,又k≥2,∴当k=2,3,4,5,6,7时,原不等式成立.19〔2007春季21〕(18分)第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分值8分.我们在下面的表格内填写数值：先将第1行的所有空格填上1；再把一个首项为1，公比为的数列依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和〞的规则填写其它空格.第1列第2列第3列…第列第1行111…1第2行第3行……第行(1)设第2行的数依次为，试用表示的值；(2)设第3列的数依次为，求证：对于任意非零实数，；(3)请在以下两个问题中选择一个进展研究(只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问〕.①能否找到的值，使得(2)中的数列的前项()成为等比数列.假设能找到，m的值有多少个.假设不能找到，说明理由.②能否找到的值，使得填完表格后，除第1列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列.并说明理由.[解](1)，所以.……4分(2)，，……7分由，得.……10分(3)选择第〔〕问.①先设成等比数列，由，得，.此时，，所以是一个公比为的等比数列.……13分如果，为等比数列，则一定是等比数列.由上所述，此时，，，，…由于，因此，对于任意，一定不是等比数列.……16分综上所述，当且仅当且时，数列是等比数列.……18分②设和分别为第列和第列的前三项，，则，.……13分假设第列的前三项是等比数列，则由，得，，.……16分同理，假设第列的前三项是等比数列，则.当时，.所以，无论怎样的，都不能同时找到两列数(除第1列外)，使它们的前三项都成等比数列.……1820〔2007年20〕〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值6分，第3小题总分值9分．如果有穷数列〔为正整数〕满足条件，，…，，即〔〕，我们称其为“对称数列〞．例如，由组合数组成的数列就是“对称数列〞．〔1〕设是项数为7的“对称数列〞，其中是等差数列，且，．依次写出的每一项；〔2〕其中是首项为，公差为的等差数列．记各项的和为．当为何值时，取得最大值.并求出的最大值；〔3〕对于确定的正整数，写出所有项数不超过的“对称数列〞，使得依次是该数列中连续的项；当时，求其中一个“对称数列〞前项的和．解：〔1〕设的公差为，则，解得，数列为．〔2〕，，当时，取得最大值．的最大值为626．〔3〕所有可能的“对称数列〞是：①；②；③；④．对于①，当时，．当时，．对于②，当时，．当时，．对于③，当时，．当时，．对于④，当时，．当时，．21〔2008春季21〕(此题总分值16分)此题共有3个小题，第1小题总分值3分，第2小题总分值5分，第3小题总分值8分.在直角坐标平面上的一列点，简记为.假设由构成的数列满足，其中为方向与轴正方向一样的单位向量，则称为点列.〔1〕判断，是否为点列，并说明理由；〔2〕假设为点列，且点在点的右上方.任取其中连续三点，判断△的形状〔锐角三角形、直角三角形、钝角三角形〕，并予以证明；〔3〕假设为点列，正整数满足，求证：.[解]〔1〕，，显然有，是点列.3分〔2〕在△中，，.……5分点在点的右上方，，为点列，，，则.为钝角，△为钝角三角形.……8分〔3