八年级数学全等三角形与动点问题

一、解题思路1、利用图形想到三角形全等，相似及三角函数；2、分析题目，了解有几个动点，动点的路程，速度（动点怎么动）；3、结合图形和题目，得出已知或能间接求出的数据；4、分情况讨论，把每种可能情况列出来，不要漏；5、动点一般在中考都是压轴题，步骤不重要，重要的是思路；6、动点类题目一般都有好几问，前一问大都是后一问的提示，就像几何探究类题一样，如果后面的题难了，可以反过去看看前面问题的结论。二、三角形全等之动点问题（题型讲解）例题1、如图，AB=18cm,动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向点B运动，动点Q从点B出发，沿BA以1cm/s的速度向点A运动。P，Q两点同时出发，当点P到达点B时,点P,Q同时停止运动。设点P运动的时间为t秒,请回答下列问题：（1）AP=2t，QB=t（含t的式子表达）；（2）在P，Q相遇之前，若P，Q两点相距6cm，则此时t的值为4s。例题1图知识点总结：由点速度已知的运动产生的几何问题称为动点问题，这类问题的解决方法如下：研究背景图形，标注；2、分析运动过程，分段；3、表达线段长度，建立等式。例题2、如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=10，点E为边AD上一点，且AE=7。动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC向点C运动，连接AP，DP。设点P运动时间为t秒。（1）当t=1.5时，4ABP与4CDE是否全等？请说明理由；（2）当t为何值时，△DCP0△CDE。例题2图解：（1）当t=1.5时，4ABP0△CDE；理由如下：如图，由题意得BP=2t•.当t=1.5时，BP=3VAE=7,AD=10・•・DE=3,BP=DE在矩形ABCD中AB=CD,ZB=ZCDE在^ABP和^CDE中・•AB=CD,ZB=ZCDE,BP=DE•・AABP0ACDE(SAS)(2)如图，由题意得BP=2tBC=10.•・CP=10-2t若使△DCP04CDE,则需CP=DE即10-2t=3,t=3.5.当t=3.5时，ADCP0△CDE。例题3、如图，在等腰Rt^ABC中，NACB=90°,AC=CB,F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且始终保持AD二CE。连接DE、DF、EF。(1)求证：4ADF0△CEF；(2)试证明ADFE是等腰直角三角形。例题3图证明：(1)7在Rt△ABC中，NACB=90°,AC=CB,F是AB边上的中点•.CF±AB,CF平分ZACB(等腰三角形中角平分线、中线、高三线合一)•・AF=CF,ZA=ZFCB=45°在△ADF和△CEF中・•・SAABP=1/2AB?BC=1/2X4X5=10；・•・SAABP=1/2AB?BC=1/2X4X5=10；.•・BD=1/2AB=5.•・BD=1/2AB=5•「AF=CF,ZA=ZFCB=45•「AF=CF,ZA=ZFCB=45AD=CE•・AADF0ACEF(SAS)(2)由(1)知AADF0ACEF得DF=EF,ZAFD=ZCFE「ZAFD+ZDFC=ZAFC=90°•・ZCFE+ZDFC=ZDFE=90°•.ADFE是等腰直角三角形例题4、如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=90°,AD=12,BC=24,动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AD向点D运动，动点Q从点C出发以每秒2个单位的速度沿CB向点B运动，P,Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，连接PQ,DQ。设点P运动时间为t秒，试求当t为何值时，APDQ0ACQD。例题4图解：如图，由题意得AP=t,CQ=2t「AD=12・•・DP=12-t要使APDQ0ACQD,则需DP=QC即12-t=2t,t=4当t=4时，APDQ0ACQD(SAS)例题5、如图，在AABC中，AB=AC=10cm,BC=8cm,点D为AB的中点，动点P在线段BC上以每秒3cm的速度由点B向点C运动，同时动点Q在线段CA上由点C向点A运动。设点P运动时间为t秒，当t为何值时ABPD0ACQP,试求此时t的值及动点Q的运动速度。例题5图解：如图，由题意得BP=3t「BC=8 PC=8-3t「AB=10,D为AB中点①要使ABOP0△CPQ，则需BD=CP,BP=CQ即5=8-3t,t=1.•・CQ=3t=3则Q的速度为SQ=S/t=3/1=3(cm/s)即当t=1,Q的速度为每秒3cm时，ABOP0△CPQ。②要使ABOP0ACaP,则需BP=CP,BD=CQ即3t=8-3t,CQ=5・•.t=4/3则Q的速度为SQ=S/t=5X3/4=15/4(cm/s)即当t=15/4(cm/s),Q的速度为每秒15/4cm时，ABOP0△CQPo综上所述，当t=1时，Q的速度为每秒3cm或t=4/3时，Q的速度为每秒15/4cm时，ABPO0ACQPo例题6(单动点问题)、如图，在矩形ABCD中，AB=DC=4,AD=BC=5。延长BC到E,使CE=2,连接DEo动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P运动时间为t秒。(1)请用含t的式子表达AABP的面积S；(2)是否存在某个t值，使得ADCP和ADCE全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在，请说明理由。例题6图解：(1)①当动点P在BC上时，如图，由题意得BP=2t(0WtW2.5)•・SAABP=1/2AB?BP=1/2X4X2t=4t；②当动点P在CD上时，(2.5<tW4.5)③当动点P在AD上时，由题意得AP=14-2t(4.5<tW7)•・S△ABP=1/2AB?AP=1/2X4X(14-2t)=28-4t。①当动点P在BC上时，如图，由题意得BP=2t要使△DCP04DCE,则需CP=CE・「CE=2.•・5-2t=2,t=1.5即当t=1.5时，ADCP0△DCE当动点P在CD上时,不存在t使△DCP和△DCE全等当动点P在AD上时,由题意得BC+CD+DP=2t・•BC=5,CD=4,.DP=2t-9要使△DCP04CDE,则需DP=CE即2t-9=2,t=5.5即当t=5.5时，^DCP0△CDE。综上所述，当t=1.5或t=5.5时，ADCP和ADCE全等。例题7(双动点问题)、如图，在矩形ABCD中，AB=CD=3cm,AD=BC=5cm,动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC方向向点C运动，动点Q从点C出发，以每秒2cm的速度沿CD-DA-AB向点B运动，P,Q同时出发，当点P停止运动时，点Q也随之停止，设点P运动时间为t秒。请回答下列问题：(1)请用含t的式子表达4CPQ的面积S,并直接写出t的取值范围；(2)是否存在某个t值，使得4ABP和4CDQ全等？若存在，请求出所有满足条件的t值；若不存在,请说明理由。例题7图解：(1)①当动点Q在CD上时，如图，由题意得CQ=2t,BP=t•・CP=5-t(0Wt<1.5)•・SACPQ=1/2CP?CQ=1/2(5-t)?2t=5t-t"2；②当动点Q在DA上时，(1.5<tW4)•.SACPQ=1/2CP?CD=1/2(5-t)X3=7.5-1.5t；③当动点Q在AB上时，由题意得BQ=11-2t(4<tW5)•・SACPQ=1/2CP?BQ=1/2(5-t)X(11-2t)=t"2-21t/2+55/2。(2)①当动点Q在CD上时，不存在t使4AB