薄板弯曲问题2

12.1IntroductionandAssumptions

12BendingofThinPlates12.2DifferentialEquationforBendingofThinPlate12.3StressResultantsandStressCouples12.4BoundaryConditions12.5ASimpleSolutionforEllipticalPlates12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeries12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeries边界条件下面以矩形板为例，说明各种边界条件：求薄板的小挠度弯曲问题，就是在满足板边的边界条件下，由方程求出挠度w如图所示矩形板，OA边固定，OC边简支AB、BC边是自由边一、边界条件12.4BoundaryConditionsAOBCabxy边界条件：a、OA边b、OC边OC边的边界条件为：如果OC边作用有分布力矩M，则边界条件为：或写为：c、AB、BC边（自由边）AOBCabxyAB边：BC边：AOBCabxy边界条件中的扭矩可以变换为等效剪力，与原来的剪力合并

二、扭矩的等效剪力例如，上述AB边上，其扭矩如何转换为等效剪力？ABdxdxEFG将微段EF上的扭矩等效变换成两个力，一个在E点，方向向下，一个在F点，方向向上？将微段FG上的扭矩等效变换成两个力，一个在F点，方向向下，一个在G点，方向向上？ABEFG将每一点的等效剪力叠加，得：相应的分布剪力为：AB边上的总剪力为：A点：B点：AB边的边界条件：AOBCabxyAOBCabxyBC边的边界条件：将My、Mx、Qy、Qx、Mxy=Myx的表达式代入，得最后边界条件：AB边：BC边：如果边界上的力矩M和横向荷载V不为零，则边界条件中，等式右边不为零，如AB边：AOBCabxy在两条边的交点，如B点若B是自由点，则RB=0，即若B有支座，则B点的条件为：四边简支的矩形薄板的重三角级数解12.6Navier’sSolutionbyDoubleTrigonometricSeriesOBCabxyA图示四边简支的矩形薄板，边界条件为：Letusconsiderasimplysupportedrectangularplatesubjectedtoanytransverseloading.Theboundaryconditionsare:OBCabxyA纳维叶(Navier)把挠度w的表达式取为如下的重三角级数：其中，m、n是正整数将w代入边界条件，全部都能满足将w代入方程：Theseconditionscanbesatisfiedbytaking将q=q（x，y）也展开为重三角级数：将q左右两边同乘（i为任意整数）并对x积分：由于：所以，上式变为：同理，将上式两边同乘（j为任意整数），并对y积分后得：将i、j替换为m、n，上式变为：将m、n代入q式，得：将上式代入微分方程：最后求得Amn：代入w的表达式，即可求出w，然后用公式可以求应力和内力例如，当薄板在任意点上受集中力P时，如何计算？可以用微面积dxdy上的均布荷载来代替qAmn表达式中，除了在（，）处等于q外，其余各处均为零积分后得：挠度的表达式：由此，根据内力表达式可以求内力矩形薄板的单三角级数解图示矩形薄板，两边简支，承受任意横向荷载q（x，y），可以用较简单的单三角级数求解（李维解法）Oab/2xyb/2a可假设：12.7Levy’sSolutionbySingleTrigonometricSeriesYm是y的任意函数，m为正整数边界条件：将w代入边界条件，均能满足将w代入方程：并要求满足时的边界条件将q/D展开为傅立叶级数，得：将此式代入上述微分方程，得：此常微分方程的解答为：其中，fm（y）是任意一个特解，由的结果而定Am、Bm、Cm、Dm是任意积分常数，由的边界条件来确定最后求得w的表达式：注意：

应用本节所述的李维(Levy)解法，可以得出四边简支的矩形薄板受各种横向荷载时的解答，还可以得出薄板在某一边界上受分布力矩作用或发生沉陷时的解答，利用这些解答，再根据结构力学的方法，可以得出任意薄板受任意横向荷载作用时的解答很多专著给出了矩形薄板在各种边界条件下承受各种横向荷载作用时的挠度和弯矩，供工程设计使用

很多专著给出