第二章极限与连续

第二章极限与连续第一页，共一百零三页，2022年，8月28日第一节数列的极限一、数列的概念数列,直观地说就是将一些数排成一列,这样一列数就称为一个数列．有限数列:数列中的数可为有限多个;无限数列:数列中的数为无限多个.第二页，共一百零三页，2022年，8月28日定义1设xn=f(n)是一个以正整数集为定义域的函数，将其函数值xn按自变量n的大小顺序排成一列x1,x2,x3,…，xn,…称为一个数列．数列中的每一个数叫做数列的项，第n项xn叫做数列的一般项或通项．数列也可表示为{xn}或xn=f(n)．第三页，共一百零三页，2022年，8月28日定义2若数列{xn}满足x1≤x2≤…≤xn≤…，则称{xn}是单调递增数列．如果x1≥x2≥…≥xn≥…，则称{xn}是单调递减数列．如果上述不等式中等号都不成立，则称{xn}是严格单调递增数列或严格单调递减数列．单调递增和单调递减数列统称为单调数列．第四页，共一百零三页，2022年，8月28日定义3若存在M＞0，使得对一切xn,n=1,2,…，都有｜xn｜≤M，则称数列｛xn｝是有界的，否则称{xn}是无界的．xn≤M的充要条件是-M≤xn≤M,即xn∈[-M,M].如果我们将xn用数轴上的点表示，则从几何上看，所谓{xn}有界，就表示存在一个关于原点对称的区间[-M.M]，使得所有的xn均落在这一对称区间内，即xn∈[-M,M].反之亦然.第五页，共一百零三页，2022年，8月28日二、数列的极限定义4设{xn}为一数列，若当n取正整数且无限增大时,数列中对应的项xn(即通项)无限接近于一个确定的常数A,则称{xn}收敛于A，或称A为{xn}的极限,记作=A,或xn→A(n→∞)，此时也称{xn}的极限存在.否则称{xn}的极限不存在，或称{xn}发散．只是极限的描述性定义,在这个定义中没有讲清楚“n→∞”和“xn→A”的具体数学含义．

第六页，共一百零三页，2022年，8月28日研究数列将数列中的项依次在数轴上描出要说明“当n越来越大时,xn越来越接近于1”就只须说明“当n越来越大时,∣xn-1∣会越来越接近于0”．第七页，共一百零三页，2022年，8月28日只须说明“当n充分大时,∣xn-1∣能够小于任意给定的无论多么小的正数ε”就行了，换一句话说，无论你给一个多么小的正数ε,当n充分大时,∣xn-1∣可以比ε还小,由于ε是任意的,从而就说明了当n越来越大时,∣xn-1∣会越来越接近于0．

第八页，共一百零三页，2022年，8月28日定义5设{xn}是一个数列,A是一个常数,若对任给的ε＞0,存在正整数N,使得当n＞N时,都有∣xn-A∣＜ε,则称A是数列{xn}的极限,或称{xn}收敛于A,记作=A,或xn→A(n→∞)．此时也称数列{xn}的极限存在.否则,称{xn}的极限不存在,或称{xn}发散．第九页，共一百零三页，2022年，8月28日(2)一般说来，定义中的N是随ε的变化而变化的，给定不同的ε，所确定的N一般也不同．(3)定义中“当n＞N时，有∣xn-A∣＜ε”的意思是从第N+1项开始，以后的各项都满足∣xn-A∣＜ε．至于第N+1项前面的项(即第1项，第2项，…，第N项)是否满足此式则不必考虑．

注意:(1)定义中的ε是预先给定的任意小的正数，因此，ε既具有任意性，又具有确定性．第十页，共一百零三页，2022年，8月28日(4)数列极限的几何意义．xn→A(n→∞)就是对以A为心，以任意小的正数ε为半径的邻域U(A,ε),总能找到一个N,从第N+1项开始,以后的各项(无限多项)都落在邻域U(A,ε)内，而在U(A,ε)外，至多有N项(有限项).{xn}的聚点第十一页，共一百零三页，2022年，8月28日例解第十二页，共一百零三页，2022年，8月28日三、数列极限的性质及收敛准则定理1(唯一性定理)若数列{xn}收敛,则其极限值必唯一．定理2(有界性定理)若数列{xn}收敛，则{xn}必是有界数列．定理3(保序性定理)设{xn},{yn}的极限存在,且,则存在正整数N,当n＞N时,有xn＞yn.第十三页，共一百零三页，2022年，8月28日推论1(保号性定理)设{xn}的极限存在，且(或),则存在正整数N,当n＞N时,有xn＞0(或xn＜0)．推论2设{xn},{yn}的极限存在,若xn≤yn(当n＞N时),则．特别地,若xn≥0(或xn≤0),则[或].第十四页，共一百零三页，2022年，8月28日定理4(夹逼定理)设数列{xn},{yn},{zn}满足xn≤yn≤zn(当n＞N时)，且,则．定理5(单调有界数列收敛准则)单调递增且有上界的数列必有极限；单调递减且有下界的数列必有极限．即单调有界数列必有极限．第十五页，共一百零三页，2022年，8月28日第二节函数的极限一、x→∞时,函数的极限1.概念定义1设y=f(x)在(-,-M)∪(M,+)内有定义,其中M＞0.若对任给的＞0,存在正实数X＞0,当∣x∣＞X时,相应的函数值f(x)满足∣f(x)-A∣＜,则称A为f(x)的当x→时的极限,记作f(x)=A,或f(x)→A(x→).此时也称当x→时,f(x)的极限存在,否则称当x→时,f(x)的极限不存在．第十六页，共一百零三页，2022年，8月28日任给＞0,存在N,当n＞N时,有∣xn-A∣＜与数列极限定义比较“xn=f(n)”换成了“y=f(x)”

“存在正整数N”换成了“存在实数X＞0”n是离散变化的,x是连续变化的对任给的

＞0,存在正实数X＞0,当∣x∣＞X时,相应的函数值f(x)满足∣f(x)-A∣＜第十七页，共一百零三页，2022年，8月28日如果x＞0且无限增大时,f(x)无限接近于常数A,则记作f(x)=A,或f(x)→A(x→+∞).如果x＜0且x无限增大时,f(x)无限接近于A,则记作f(x)=A,或f(x)→A(x→-)．定理1

f(x)=A的充要条件是f(x)=f(x)=A．第十八页，共一百零三页，2022年，8月28日2.几何意义f(x)=A的几何意义是：对任给的＞0,作直线y=A±,存在X＞0,当x＞X时,y=f(x)的函数图形夹在两平行直线y=A±之间.y=f(x)应以直线y=A为渐近线第十九页，共一百零三页，2022年，8月28日例试由极限的几何意义确定arctanx和arctanx,并问arctanx是否存在．解当x→+时,arctanx以直线y=为渐近线.而当x→-时,arctanx以直线y=-为渐近线．第二十页，共一百零三页，2022年，8月28日第二十一页，共一百零三页，2022年，8月28日二、

x→x0时,函数的极限

1.概念定义2设y=f(x)在x0的某去心邻域(x0)内有定义.如对任给的＞0,存在＞0,当0＜x-x0＜时,对应的函数值f(x)满足

f(x)-A＜,则称A为f(x)的当x趋近于x0时的极限,记作f(x)=A,或f(x)→A(x→x0).此时也称当x→x0时f(x)的极限存在,否则称当x→x0时f(x)的极限不存在.第二十二页，共一百零三页，2022年，8月28日任给的＞0,存在＞0,当0＜x-x0＜时,对应的函数值f(x)满足f(x)-A＜数列极限定义比较任给

＞0,存在N,当n＞N时,有

xn-A

＜“xn=f(n)”换成了“f(x)”

“存在正整数N”换成了“存在＞0”“n＞N”换成“0＜

x-x0

＜”N和的含义是不一样的,都随的变化而变化的,但N往往很大,而则往往很小.第二十三页，共一百零三页，2022年，8月28日2.几何意义如果f(x)=A,则表示对任给的＞0,存在＞0,当0＜x-x0＜时,有

f(x)-A＜,即A-＜f(x)＜A+.就是当x落在(x0,)内时,函数图形夹在两平行直线y=A±之间.第二十四页，共一百零三页，2022年，8月28日例证第二十五页，共一百零三页，2022年，8月28日3.左、右极限定义3设f(x)在(a,x0)[或(x0,b)]内有定义,若对任给的＞0,存在＞0,当0＜x0-x＜(或0＜x-x0<)时,有∣f(x)-A∣＜,则称A为f(x)当x→x0时的左(或右)极限.左极限记作f(x)=A,或f(x0-0)=A,或f(x)→A(x→)．右极限记作f(x)=A,或f(x0+0)=A,或f(x)→A(x→)．第二十六页，共一百零三页，2022年，8月28日定理2

f(x)=A的充要条件是f(x)=f(x)＝A．即f(x)当x→x0时的极限存在的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在并相等．例解第二十七页，共一百零三页，2022年，8月28日三、函数极限的性质定理3若limf(x)存在,则其极限必惟一.其中“lim”表示任一极限过程．定理4(1)若f(x)存在,则必存在X＞0和M＞0,使得当x＞X时,有

f(x)≤M．(2)若f(x)存在,则必存在

＞0和M＞0,使得当0＜

x-x0

＜时,有

f(x)≤M．第二十八页，共一百零三页，2022年，8月28日定理5(1)若f(x)=a且a＞0(或a＜0),则存在X＞0，当∣x∣＞X时,f(x)＞0[或f(x)＜0].(2)若f(x)=a且a＞0(或a＜0)，则存在＞0,当0＜∣x-x0∣＜时，有f(x)＞0[或f(x)＜0]．定理6(1)若当x∈(x0)时,有f(x)≥0[或f(x)≤0],且

f(x)存在,则f(x)≥0[或f(x)≤0]．(2)若当∣x∣＞X时,有f(x)≥0[或f(x)≤0],且f(x)存在,则f(x)≥0[或f(x)≤0].第二十九页，共一百零三页，2022年，8月28日定理7(夹逼定理)若当x∈(x0)（或∣x∣＞X)时,有g(x)≤f(x)≤h(x),且g(x)=h(x)=A,则f(x)=A.第三十页，共一百零三页，2022年，8月28日第三节无穷小量、无穷大量一、无穷小量1.无穷小量的概念定义1若limf(x)=0,则称f(x)是该极限过程中的一个无穷小量．符号“lim”表示任一极限过程．无穷小量与极限过程分不开,不能脱离极限过程说f(x)是无穷小量．不要把无穷小量与非常小的数混淆.第三十一页，共一百零三页，2022年，8月28日定义2如果对任给的＞0,存在＞0(X＞0),当0＜x-x0＜时(

x

＜X时),有

f(x)

＜

,则称f(x)是x→x0(x→∞)时的无穷小量．定理1limf(x)=A的充要条件是存在该极限过程的无穷小量(x)，使得f(x)=A+(x)，其中A为常数．若当x→x0时,f(x)以A为极限,则当x→x0时,f(x)将越来越接近于A,从而f(x)-A越来越接近于0,即(x)=f(x)-A是x→x0时的一个无穷小量,因此f(x)=A+(x).

第三十二页，共一百零三页，2022年，8月28日2.无穷小量的运算定理2在某极限过程中,有限多个无穷小量的代数和仍为无穷小量．证只证明两个无穷小量的情形．设(x)→0,(x)→0(x→x0),对任给的＞0,由于/2也是一个正数,存在一个公共的

＞0,当0＜

x-x0＜时,有(x)＜/2,

(x)</2

第三十三页，共一百零三页，2022年，8月28日注意:无限多个无穷小量的和不一定是无穷小量．第三十四页，共一百零三页，2022年，8月28日定义3在x→x0(或x→∞)的极限过程中,若存在M＞0，当x∈(x0)(或∣x∣＞X＞0)时，有∣f(x)∣≤M,则称f(x)为x→x0(或x→∞)时的有界量．定理3在某极限过程中,无穷小量与有界量之积仍为无穷小量．证设g(x)为x→x0时的有界量,而(x)→0(x→x0)

存在1＞0,当0＜x-x0＜1时,有g(x)≤M．任给＞0,由于(x)→0(x→x0),对

/M

＞0而言,存在2＞0,当0＜x-x0

＜2时,有(x)＜

/M．第三十五页，共一百零三页，2022年，8月28日取=min(

1,

2),则当0＜∣x-x0∣＜时,推论1在某极限过程中,常数与无穷小量之积仍为无穷小量．第三十六页，共一百零三页，2022年，8月28日定理4在某极限过程中,有限多个无穷小量之积仍为无穷小量．证只就x→x0和两个无穷小量的情形加以证明设(x)→0,(x)→0(x→x0),(x)是x→x0时的有界量,注意:两个无穷小量的商不一定为无穷小量.第三十七页，共一百零三页，2022年，8月28日例解第三十八页，共一百零三页，2022年，8月28日二、无穷大量1.无穷大量的概念定义4若对任给的M＞0(无论多么大),存在＞0(或X＞0),当0＜∣x-x0∣＜(或∣x∣＞X)时,有∣f(x)∣＞M,则称f(x)是x→x0(或x→∞)时的无穷大量,记作f(x)=∞或f(x)→∞(x→x0)[f(x)→∞(x→∞)]．如果当x∈(x0)时,f(x)＞0(f(x)＜0)且f(x)→∞(x→x0),则称f(x)是x→x0时的正(负)无穷大量,记作如果当x＞X＞0时,f(x)＞0(f(x)＜0)且f(x)→∞(x→∞),则称f(x)是x→∞时的正(负)无穷大量,记作第三十九页，共一百零三页，2022年，8月28日例试从函数图形判断极限:第四十页，共一百零三页，2022年，8月28日第四十一页，共一百零三页，2022年，8月28日2.无穷大量与无穷小量的关系定理5在某极限过程中,若f(x)是一个无穷大量,则为无穷小量;若f(x)为无穷小量(f(x)≠0),则为无穷大量．证只证x→x0的情形第四十二页，共一百零三页，2022年，8月28日定理5在某极限过程中,若f(x)是一个无穷大量,则为无穷小量;若f(x)为无穷小量(f(x)≠0),则为无穷大量．第四十三页，共一百零三页，2022年，8月28日3.无穷大量的运算性质(1)有限个正无穷大量之和为正无穷大量;有限个负无穷大量之和为负无穷大量．注意:两个无穷大量的和或差(即代数和)均不一定为无穷大量．(2)有限个无穷大量之积为无穷大量．第四十四页，共一百零三页，2022年，8月28日(3)非0常量C与无穷大量之积为无穷大量．(4)无穷大量与有界量之和为无穷大量.特别地,无穷大量与常量C之和为无穷大量.注意:无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量.特别地,无穷大量与无穷小量之积,无穷大量与无穷大量的商都不一定为无穷大量.第四十五页，共一百零三页，2022年，8月28日第四节函数极限的运算一、极限的运算法则定理1若limf(x)=A,limg(x)=B均存在,则(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)=A±B．(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B．(3)若B≠0,则lim==．(4)若C为常数,则lim[Cf(x)]=Climf(x)=CA．(5)若n为正整数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n=An．第四十六页，共一百零三页，2022年，8月28日证仅证明(2)lim[f(x)·g(x)]=limf(x)·limg(x)=A·B．因limf(x)=A,limg(x)=B均存在,由极限与无穷小量的关系定理,有f(x)=A+(x),g(x)=B+(x),其中lim(x)=0,lim(x)=0．第四十七页，共一百零三页，2022年，8月28日例解例解第四十八页，共一百零三页，2022年，8月28日例解第四十九页，共一百零三页，2022年，8月28日例解第五十页，共一百零三页，2022年，8月28日第五十一页，共一百零三页，2022年，8月28日设f(x)和g(x)分别为n次和m次多项式,即f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an,g(x)=b0xm+b1xm-1+…+bm,其中a0,b0不为0，则特别地,若g(x)=1,则(a0xn+a1xn-1+…+an)=∞,其中n≥1．第五十二页，共一百零三页，2022年，8月28日二、复合函数的极限用“换元法”简化运算例解第五十三页，共一百零三页，2022年，8月28日定理2设y=f((x))由y=f(u),u=(x)复合而成,若(x)=u0,而f(u)=A,且在(x0)内,(x)≠u0,则f((x))=f(u)=A．例解第五十四页，共一百零三页，2022年，8月28日第五节两个重要极限运用夹逼定理来证明作一单位圆,在第一象限中取此单位圆周上的两点A、B

△AOB面积＜扇形AOB面积＜△DOB面积，第五十五页，共一百零三页，2022年，8月28日第五十六页，共一百零三页，2022年，8月28日一般地,若在某极限过程中,lim(x)=0,则在该极限过程中有或记为其中表示在某极限过程中(x)→0．第五十七页，共一百零三页，2022年，8月28日例解例解第五十八页，共一百零三页，2022年，8月28日例解第五十九页，共一百零三页，2022年，8月28日利用单调递增并有上界的数列必有极限证明第六十页，共一百零三页，2022年，8月28日类似地第六十一页，共一百零三页，2022年，8月28日若将xn的展开式中各括号内的数都用较大的数1代替,并注意到2n-1＜n!(n＞1),有

xn单调递增且有上界,故xn存在．第六十二页，共一百零三页，2022年，8月28日当x取实数趋向于+∞或-∞时,函数的极限存在且都等于e,即综合起来,得到以下公式第六十三页，共一百零三页，2022年，8月28日例解例解第六十四页，共一百零三页，2022年，8月28日例解第六十五页，共一百零三页，2022年，8月28日第六节无穷小量的比较、极限在经济学中的应用一、无穷小量比较的概念无穷小量的商的几种情形:(1)当x→0时,→0,仍为无穷小量．(2)当x→0时,→3,极限为非0常数．(3)当x→0时,→1,极限为1.(4)当x→0时,→∞,为无穷大量．(5)当x→0时,,极限不存在且不为无穷大量.第六十六页，共一百零三页，2022年，8月28日定义设,是同一极限过程的两个无穷小量,即lim=0,lim=0,(1)若lim=0,则称是的高阶无穷小量,记作=o(),此时也称是的低阶无穷小量.(2)若lim=A≠0,则称与是同阶无穷小量,记作=O(),特别地,若lim=A≠0,则称是的k阶无穷小量.记作＝O(

k)．(3)若lim=1,则称与是等价无穷小量,记作～.在同一极限过程中,两个无穷小量虽然都是趋近于0的,但它们趋近于0的速度有快有慢.第六十七页，共一百零三页，2022年，8月28日二、关于等价无穷小量的性质和定理定理1设在某极限过程中,～,～.若lim=a(或为∞),则lim=lim.证第六十八页，共一百零三页，2022年，8月28日第六十九页，共一百零三页，2022年，8月28日定理2设在某极限过程中,～,z是该极限过程中的第三个变量.若lim

z=a(或为∞)，则limz=lim

z．证第七十页，共一百零三页，2022年，8月28日定理3设在某极限过程中,～,～,则～.常用的等价无穷小量:若在某极限过程中,(x)→0,则第七十一页，共一百零三页，2022年，8月28日例解例解第七十二页，共一百零三页，2022年，8月28日注意:定理2和定理3只保证了在求函数的乘积和商的极限时,可用等价无穷小量代换原无穷小量来求极限.第七十三页，共一百零三页，2022年，8月28日三、极限在经济学中的应用假定某家银行的最初存款为R,该银行最初可以发放出R(1-r)的贷款,假设这R(1-r)的贷款全被借贷者作为活期存款存入同自己有往来的银行中．这份存款又被银行贷放出去,根据存款保留率,第二次贷放的数额为R(1-r)-R(1-r)r＝R(1-r)2．…可以利用限极概念来研究存款形成总额及派生存款的创造系数．“存款保留率”r

第七十四页，共一百零三页，2022年，8月28日存款形成总额：最初存款D0=R，第一次贷放后D1=R＋R(1-r)，第二次贷放后D2=R＋R(1-r)+R(1-r)2，………………第N次贷放后DN=R+R(1-r)+R(1-r)2+…+R(1-r)N

第七十五页，共一百零三页，2022年，8月28日最终派生存款形成总额存款创造系数是存款保留率的倒数．

有称为存款创造系数第七十六页，共一百零三页，2022年，8月28日设有本金A0,年利率为r,则一年后得利息A0r,本利和为A0＋A0r＝A0(1＋r),n年后所得利息nA0r,本利和为An=A0+nA0r=A0(1+nr)．这就是单利的本利和计算公式．第二年以第一年后的本利和A1为本金,则两年后的本利和为A2＝A0(1＋r)＋A0(１＋r)r＝A0(１＋r)2，照此计算,n年后应得本利和为An＝A0(1＋r)n．这就是一般复利的本利和计算公式.

第七十七页，共一百零三页，2022年，8月28日资金周转过程是不断持续进行的,若一年中分t期计算,年利率仍为r,于是每期利率为,则一年后的本利和为A1＝A０(1＋)t，n年后本利和为An＝A０(1＋)nt

，若采取瞬时结算法,即随时生息,随时计算,也就是t→∞时,得n年后本利和为

这就是连续复利公式．第七十八页，共一百零三页，2022年，8月28日第七节

函数的连续性

一、函数连续性的概念定义1设f(x)在x0的某邻域U(x0)内有定义,若f(x)=f(x0),则称f(x)在点x0处连续,x0称为f(x)的连续点.否则称f(x)在x0处间断,x0称为f(x)的间断点(或不连续点).函数f(x)在点x0处连续,应该满足下列三点：(1)f(x)在点x0及其某邻域U(x0)内有定义;(2)f(x)=a存在;(3)a=f(x0).第七十九页，共一百零三页，2022年，8月28日定义2设函数f(x)在[x0,x0+](＞0为常数)内有定义.若f(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处是右连续的.设函数f(x)在(x0-,x0](＞0为常数)内有定义.若f(x)=f(x0),则称函数f(x)在点x0处是左连续的.函数在点x0处的左、右连续性统称为函数的单侧连续性.定理1

f(x)在点x0处连续的充要条件是f(x)在点x0处既是右连续的,又是左连续的.即f(x)=f(x0)的充要条件是f(x)=

f(x)=f(x0)．第八十页，共一百零三页，2022年，8月28日例证明函数f(x)=3x2-1在x=1处连续.证因为f(1)=3×1-1=2,故函数f(x)=3x2-1在x=1处连续第八十一页，共一百零三页，2022年，8月28日定义3若f(x)在区间(a,b)内的每一点均连续,则称f(x)在区间(a,b)内连续,记为f(x)∈C((a,b)).若f(x)在(a,b)内连续,且在x=a处右连续,在x=b处左连续,则称f(x)在区间[a,b]上连续,记作f(x)∈C([a,b]).

连续函数的几何意义:若函数y=f(x)在(a,b)内连续,则y=f(x)在(a,b)上的函数图形是一条连续而不间断的曲线,反之也对.第八十二页，共一百零三页，2022年，8月28日变量u的终值u2与它的初值u1的差u2-u1称为变量u的增量(或改变量),记为Δu＝u2-u1.Δu是一个整体记号,可取正值、负值或零,也称为变量u在u1处的差分.

对函数来说:设函数f(x)在U(x0)内有定义,x∈U(x0),则称x=x-x0为自变量x在点x0处的增量(或改变量).此时,x=x0+x.相应地,函数f(x)在点x0处有增量(或改变量),y=f(x)-f(x0)=f(x0+x)-f(x0)．定义4设f(x)在U(x0)内有定义,若y=0,则称f(x)在点x0处连续,其中y=f(x0+x)－f(x0).第八十三页，共一百零三页，2022年，8月28日二、函数的间断点若函数f(x)在点x0的某去心邻域(x0)内有定义,但在点x0处不连续,则称f(x)在点x0处间断,点x0称为函数f(x)的间断点．函数f(x)在点x0处间断,一般有下列几种情形：(1)f(x)在点x0处无定义；(2)f(x)在点x0处的左、右极限至少有一个不存在；(3)f(x)在点x0处的左、右极限存在，但不相等；(4)f(x)在点x0处的左、右极限存在且相等，但不等于函数f(x)在这点的函数值．第八十四页，共一百零三页，2022年，8月28日若f(x)=a存在,但函数f(x)在点x0处无定义,或者虽有定义,但f(x0)≠a,则称点x0为函数f(x)的可去间断点．例第八十五页，共一百零三页，2022年，8月28日例左、右极限均存在但不相等的函数的间断点为跳跃间断点．解第八十六页，共一百零三页，2022年，8月28日定义5若x0为函数f(x)的一个间断点,且f(x)与

f(x)均存在,则称点x0为函数f(x)的一个第一类间断点．定义6凡不属于第一类的间断点,称为函数的第二类间断点．函数的第二类间断点通常有无穷型间断点和振荡型间断点．第八十七页，共一百零三页，2022年，8月28日例解所以函数f(x)在点x0处间断,点x0=0为f(x)的第二类间断点,称之为无穷型间断点．第八十八页，共一百零三页，2022年，8月28日例解第八十九页，共一百零三页，2022年，8月28日三、连续函数的基本性质定理2若f(x),g(x)在点x0处连续,则(1)f(x)+g(x)在x0连续,其中,.为常数；(2)f(x)·g(x)在x0连续；(3)当g(x0)≠0时,在x0连续．定理3设y=f((x))由y=f(u),u=(x)复合而成.若u=(x)在x0处连续,u0＝(x0),而y=f(u)在u0处连续,则复合函数y=f((x))在x0处连续,即f((x))=f((x0)).第九十页，共一百零三页，2022年，8月28日推论若lim(x)=A,且y=f(u)在u=A处连续，则limf((x))＝f(lim(x))．换言之,若函数f(u)连续,则极限符号可以拿到连续函数符号里边去．例解第九十一页，共一百零三页，2022年，8月28日定理4设函数y＝f(x)在区间I上严格单调增加(减少)且连续,则其反函数x=f-1(y)在相应区间I*＝{y｜y=f(x),x∈I}上严格单调增加(减少)且连续．函数x=f-1(y)的图形与函数y=f(x)的图形相同,而y=f-1(x)的图形是y=f(x)的图形绕直线y=x翻转180°而成.故其单调性和连续性均保持.

第九十二页，共一百零三页，2022年，8月28日四、初等函数的连续性基本初等函数即常数函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数、反三角函数在其定义域内都是连续的．若f(x)是一初等函数,它在[a,b]上有定义,则对任何x0∈(a,b),有f(x)=f(x0).例解第九十三页，共一百零三页，2022年，8月28日幂指函数的连续性和幂指函数的极限称形为y=[f(x)]g(x)的函数为幂指函数,其中f(x)＞0．幂指函数可看作是由y=eu和u=g(x)·lnf(x)复合而成.由于eu连续,故当g(x)和f(x)都连续时,g(x)lnf(x)连续,进而[f(x)]g(x)=eg(x)lnf(x)连续.即,若f(x)=f(x0),g(x)=g(x0).则[f(x)]g(x)=