第五节极限运算法则

第五节极限运算法则演示文稿1当前1页，总共26页。2优选第五节极限运算法则当前2页，总共26页。【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.n个【例如】非无穷小当前3页，总共26页。【证】【定理2】有界函数与无穷小的乘积是无穷小.【分析】（仅证时）（注：M为定值）2）乘积的性质设又设即当时,有取则当时,就有【证完】故即是时的无穷小.当前4页，总共26页。【推论1】有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.【推论2】常数与无穷小的乘积是无穷小.【推论3】有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小【例1】【解】由定理2可知：【说明】

y=0是的渐近线.当前5页，总共26页。二、极限的运算法则【定理3】【证】由无穷小运算法则,得以下符号lim表示自变量的同一变化过程推广到有限项【声明】1.函数极限运算法则当前6页，总共26页。由第三节定理3*得当前7页，总共26页。【推论1】常数因子可以提到极限记号外面.【推论2】有界，函数和,差,积,商的极限等于极限的和,差,积,商.当前8页，总共26页。【定理4】设数列【注意】定理3及其两个推论成立的前提条件是：“f(x)与g(x)的极限存在”若则2.数列极限运算法则【提示】因数列是一种特殊的函数,故此定理4可由定理3（x→∞情形）与海因定理直接得出结论.当前9页，总共26页。【定理5】【证】令则由定理3可知由第三节函数极限的局部保号性的推论可知【证完】3.极限保序性当前10页，总共26页。【例2】【解】求极限方法举例当前11页，总共26页。【小结】需特别注意当前12页，总共26页。【解】商的法则不能用【例3】【方法】无穷大的倒数法x=1时分母=0,分子≠0,但因当前13页，总共26页。【解】【例4】【方法】消去零因子法在x→1（但x≠1）时是相同的函数,故而极限相等当前14页，总共26页。【例5】【解】【方法】抓大头（以消除不定性）—无穷小量分出法当前15页，总共26页。【小结】以分子、分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限的方法，称之.【无穷小量分出法】分式求极限一般有如下结果：为非负常数)当前16页，总共26页。【例6】【解】先变形再求极限.【方法】先变形再求极限法当前17页，总共26页。【小结】无穷多项和或积的极限的一般解法是：②利用夹逼准则（第六节内容介绍）①把无限和或积通过恒等变形化为有限表达式再求之.详见《高等数学学习指导》P21

例19【特别注意】含无穷多项和或积的极限，不能逐项求极限.应先写为有限表达式，再求极限.当前18页，总共26页。【例7】【解】左右极限存在且相等,【方法】分段函数在分界点的极限，一般考察左右极限.当前19页，总共26页。三、复合函数的极限法则【分析】需证有1.【定理6】当前20页，总共26页。【证明】有有……（1）……（2）当前21页，总共26页。【意义】（换元法求极限）（1）（2）两式同时成立即从而此即【证完】当前22页，总共26页。【注意】①为方便记忆，定理6可简单的叙述为内层函数极限存在、外层函数极限也存在，则复合后的函数极限必存在.(不严格)②若定理6中则类似可得2、【方法】直接代入法当前23页，总共26页。【例8】【解】【方法】先有理化后可变为定式当前24页，总共26页。三、小结1.【极限运算法则】(1)无穷小运算性质(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件当前25页，总共26页。(4)复合函数极限求法设中间变量(2)利用无穷小运算性质求极限(3)利用左右极限求分段函数极限2.【求函数极限的方法】(1)多项式、分式函数极限求法1)x→x0时,用代入法