第三节无穷小和无穷大

第三节无穷小和无穷大第一页，共二十二页，2022年，8月28日

无穷小量

1.定义1

设f(x)在某U◦(x0)内有定义.若

则称

f(x)为当x→x0时的无穷小量.例如：第二页，共二十二页，2022年，8月28日

(2)无穷小量与极限过程分不开，不能脱离极限过程谈无穷小量.如sinx是x0时的无穷小量，但注(1)无穷小量是变量，不能与很小的数混淆;(3)关于有界量.第三页，共二十二页，2022年，8月28日2.无穷小量的运算性质时,有定理1.有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设当时,有当时,有取则当因此这说明当时,为无穷小量.第四页，共二十二页，2022年，8月28日定理2.

有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

证:设又设即当时,有取则当时,就有故即是时的无穷小.推论1

.常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2

.有限个无穷小的乘积是无穷小.第五页，共二十二页，2022年，8月28日其中为时的无穷小量.定理2.3.1.

(无穷小与函数极限的关系)证:当时,有对自变量的其它变化过程类似可证.第六页，共二十二页，2022年，8月28日2.3.2、无穷大定义2

.若任给M>0,一切满足不等式的

x,总有则称函数当时为无穷大,

使对若在定义中将①式改为①则记作(正数X),记作总存在概念：在某个变化过程中，绝对值无限增大的函数，称为在此变化过程中的无穷大量.(非正常极限).第七页，共二十二页，2022年，8月28日注意:1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例如,函数当但所以时,不是无穷大!第八页，共二十二页，2022年，8月28日例.证明证:任给正数M,要使即只要取则对满足的一切x,有所以若则直线为曲线的铅直渐近线.渐近线说明:第九页，共二十二页，2022年，8月28日无穷小与无穷大的关系若为无穷大,为无穷小;若为无穷小,且则为无穷大.则

在自变量的同一变化过程中,第十页，共二十二页，2022年，8月28日无穷小量阶的比较都是无穷小,引例.但可见无穷小趋于0的速度是多样的.第十一页，共二十二页，2022年，8月28日若则称是比高阶的无穷小,若若若若或设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称是比低阶的无穷小;则称是的同阶无穷小;则称是关于的k阶无穷小;则称是

的等价无穷小,记作第十二页，共二十二页，2022年，8月28日例如

,当～时～～又如

，故时是关于x的二阶无穷小,～且第十三页，共二十二页，2022年，8月28日例1.

证明:当时,～证:～第十四页，共二十二页，2022年，8月28日～～证:即即例如,～～故第十五页，共二十二页，2022年，8月28日设且存在,则证:例如,第十六页，共二十二页，2022年，8月28日无穷小量的等价替换定理求两个无穷小量比值的极限时，分子及分母都可用等价无穷小量来代替因此，如果用来代替的无穷小量选取得适当，则可使计算简化

定理3.12的意义:2.3.3第十七页，共二十二页，2022年，8月28日～～～～～常用等价无穷小:第十八页，共二十二页，2022年，8月28日无穷小量的等价替换定理的几何意义第十九页，共二十二页，2022年，8月28日

解

当x0时tan2x~2xsin5x~5x所以第二十页，共二十二页，2022年，8月28日

说明只有对所求极限式相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中