第一章 机器人数学基础

第一章机器人数学基础第一页，共三十一页，2022年，8月28日1.1坐标系位姿的描述坐标描述：指坐标系的位置和方位（姿态）位置的描述方位的描述旋转矩阵的正交性坐标系位姿的描述第二页，共三十一页，2022年，8月28日1.1.1位置的描述在直角坐标系A中,空间任意一点p的位置(Position)可用3x1列向量(位置矢量)表示:第三页，共三十一页，2022年，8月28日1.1.2方位的描述空间物体B的方位(Orientation)可由某个固接于此物体的坐标系{B}的三个单位主矢量[xB,yB,zB]相对于参考坐标系A的方向余弦组成的3x3矩阵描述.第四页，共三十一页，2022年，8月28日1.1.3旋转矩阵R的正交性上述矩阵称为旋转矩阵,它是正交的第五页，共三十一页，2022年，8月28日1.1.4旋转矩阵的意义若坐标系B可由坐标系A,通过绕A的某一坐标轴获得,则绕x,y,z三轴的旋转矩阵分别为旋转矩阵的几何意义:1)可以表示固定于刚体上的坐标系{B}对参考坐标系的姿态矩阵.2)可作为坐标变换矩阵.它使得坐标系{B}中的点的坐标变换成{A}中点的坐标.3)可作为算子,将{B}中的矢量或物体变换到{A}中.第六页，共三十一页，2022年，8月28日1.1.5坐标系位姿的描述刚体位姿(即位置和姿态),用刚体的方位矩阵和方位参考坐标的原点位置矢量表示第七页，共三十一页，2022年，8月28日1.2不同坐标系间的映射映射（mappings）：将在一个坐标系下的描述改变为在另一个坐标系下的描述。平移映射旋转映射一般映射一般映射的奇次坐标表达方法第八页，共三十一页，2022年，8月28日1.2.1平移映射注意：只有在两坐标系平行的时候，才能将两坐标系的位置描述直接相加。坐标系{A}和{B}具有相同的方位,但原点不重合.则点P在两个坐标系中的位置矢量满足下式第九页，共三十一页，2022年，8月28日1.2.2旋转映射坐标系{A}和{B}有相同的原点但方位不同,则点P的在两个坐标系中的位置矢量有如下关系:第十页，共三十一页，2022年，8月28日1.2.3一般映射一般情况原点既不重和,方位也不同.这时有:第十一页，共三十一页，2022年，8月28日1.2.4一般映射的奇次坐标表达方法1、将1加到3维坐标的第4维，原坐标向量变成4×1的奇次坐标向量；2、将[0001]加到[RP]的最下面一行，构成4×4的奇次矩阵。P点在{A}和{B}中的位置矢量分别增广为:第十二页，共三十一页，2022年，8月28日1.3平移与旋转的奇次变换矩阵平移旋转绕Z轴旋转绕X轴旋转绕Y轴旋转绕多个轴的旋转复合运动：多次平移与旋转第十三页，共三十一页，2022年，8月28日

设:P＝（x,y,z)T;U＝P0=(x0,y0,z0)T

则:V＝P＋P0＝（x+x0,y+y0,z+z0)T可用齐次坐标表示为：平移齐次变换矩阵:Trans(x0,,y0,,z0)＝1.3.1平移第十四页，共三十一页，2022年，8月28日1.3.2绕Z轴旋转的方位描述设坐标系O1X1Y1Z1从OXYZ绕Z旋转θ而成，且有点：P1＝（x1,y1,z1)TP1在OXYZ中应表示为：P＝（x,y,z)T，则有：x=x1cosθ-y1sinθy=x1sinθ+y1cosθz=z1

P=R(Z,θ)P1；变换矩阵R(Z,θ)第十五页，共三十一页，2022年，8月28日1.3.2旋转的齐次变换矩阵Rot第十六页，共三十一页，2022年，8月28日1.3.2绕多个轴旋转的变换原始坐标系OAXAYAZA绕ＸＡ旋转α后得到坐标系O’X’Y’Z’；它再绕Y’旋转β后成”X’Y”Z”；又绕Z”旋转γ成为OBXBYBZBP”=R(Z”,γ)PBP’=R(Y’,β)P”=R(Y’,β)R(Z”,γ)PB=RYZ(β,γ)PBPA=R(XA,α)P’=R(XA,α)RYZ(β,γ)PB=R(XA,α)RY’(β)RZ”(γ)PB=RXYZ(α,β,γ)PB=R(α,β,γ)PB连续绕固定坐标系旋转→连续左乘广义R→连续旋转变换矩阵

第十七页，共三十一页，2022年，8月28日1.3.3复合运动相对于运动坐标系的变换，变换矩阵连续右乘第十八页，共三十一页，2022年，8月28日例：对点进行旋转操作的坐标变换？第十九页，共三十一页，2022年，8月28日例：对点进行旋转操作的坐标变换X’X”Z’Y”Z”Y’第一次绕Z轴旋转90o有R(Z,90o)第二次绕Y轴转动实际是绕X’轴旋转90o，所以有R(X’,90o)因此有Rot=Rot(Z,90o)Rot(X’,90o)第二十页，共三十一页，2022年，8月28日1.4齐次坐标的逆变换{B}相对于{A}:ABT;{A}相对于{B}:BAT;两者互为逆矩阵.求逆的办法:1.直接求ABT-12.简化方法第二十一页，共三十一页，2022年，8月28日1.4齐次坐标的逆变换一般,若则第二十二页，共三十一页，2022年，8月28日1.5变换顺序的相对性X’X”Z”1、当变换相对于运动系进行时，变换矩阵连续右乘，Rot=Rot(Z,90o)Rot(X’,90o)Y’2、当变换相对于固定系进行时，变换矩阵连续左乘，Rot=Rot(Z,90o)Rot(X,90o)先绕Z转90o再绕X’转90o先绕X转90o再绕Z转90oX”X’Z”Z’Y’Y”3、上述变换也可以Rot=Rot(Y,90o)Rot(Z’,90o)或Rot=Rot(Y,90o)Rot(Z,90o)实现Z’Y”V’第二十三页，共三十一页，2022年，8月28日1.6通用旋转变换1.通用旋转变换公式求:绕从原点出发的f旋转θ角时的旋转矩阵.{S}:物体上固接的坐标系{T}:参考坐标系{C}:Z轴与f重合的辅助坐标系xTYTZTTCSzSf,ZcO第二十四页，共三十一页，2022年，8月28日在{S}上取一点p,其坐标为向量{P},它绕{T}中直线f旋转θ角。1）将{S}上p点坐标变换到{T}中，其坐标为2）直接计算绕f旋转的坐标为，目前上式在{T}无法直接求。采取如下步骤：3）建立辅助坐标系{C}，使其Z轴与f重合。这样问题变为绕ZC旋转。将{S}中的点p变换到{C}中，变换为：4）在{C}中绕Z轴旋转有：5）将{C}中坐标变换回{T}中有，xTYTZTTCSzSf,ZcO1.6通用旋转变换第二十五页，共三十一页，2022年，8月28日根据坐标轴的正交性,,有令,则1.6通用旋转变换第二十六页，共三十一页，2022年，8月28日总结绕X、Y、Z轴旋转的R矩阵平移与旋转的齐次坐标变换矩阵多次变换的坐标系之间关系通用旋转变换齐次坐标的逆变换第二十七页，共三十一页，2022年，8月28日向量的点积和叉积

附录第二十八页，共三十一页，2022年，8月28日齐次坐标解释[0,0,0,n]T—坐标原点矢量的齐次坐标，n为任意非零比例系数[1000]T—指向无穷远处的OX轴[0100]T—指向无穷远处的OY轴[0010]T—指向无穷远处的OZ轴这样，利用齐次坐标不仅可以规定点的位置，还可以用来规定矢量的方向。第四个元素非零时，代表点的位置；第四个元素为零时，代表方向。加入一个比例因子w,如果x,y,z各除以w,则得到ax,by,cz。于是，这时向量可以写为：P=(x,y,z,W)’其中，X=ax*w,y=by*w,z=cz*w。随着w的变化，向量大小也随之发生变化，这类似于计算机图形学中对图片的放大或缩小。让我们来讨论一下w的取值w>1时，向量的所有分量都变大w=1时，各分量大小保持不变w<1时，向量的所有分量都变小w=0时，向量长度无穷大，方向由x,y,z确定第二十九页，共三十一页，2022年，8月28日附录Matlab使用与矩阵计算矩阵的输入:1)矩阵的直接输入.(操作)

以[]作为首尾,行分隔用”;”,元素分隔用”,”或空格.2)矩阵编辑器.(操作)

先在工作区定